質心動能定理與相對動能定理

湯幼強

(南昌縣蓮塘第一中學 江西 南昌 330200)

黃亦斌

(江西師范大學物理與通信電子學院 江西 南昌 330022)

1 理論

質點系的動能定理其實不止一種，正如質點系角動量定理可以對靜點，亦可對質心，不止一種一樣.我們先來梳理一下質點系動力學.

對于一個一般的質點系，可以對其中每個質點列出質點動力學方程(動能定理、動量定理和角動量定理)，其中每個方程的左邊涉及到力(包括內力和外力)，而右邊則涉及對運動的描述(動能、動量和角動量).將這些方程相加，左邊就是內力和外力的貢獻，右邊則出現系統的總動能、總動量或總角動量.

下面是牛頓第三定律上場.這個定律似乎存在感不強，其實相當重要.正是由于這個定律，使得一對內力的沖量之和為零，力矩之和為零.這就使得質點系的動量定理和角動量定理的左邊不出現內力，只有外力.多大的簡化！遺憾的是，一對內力的做功問題要復雜.由牛頓第三定律，一對內力做功之和不一定為零，但也簡單到僅依賴于兩相互作用質點的距離變化.于是有質點系動能定理：外力功和內力功之和等于系統動能的變化

(1)

A內+A外=dK

接下來，我們進入力學量的分解.對任意質點系都可以定義質心，注意這里沒有任何前提條件.質心是質點系的平均位置，是各質點以質量為權的加權平均位置

(2)

由此自然引申出質點系的平均速度——質心速度和質點系的平均加速度——質心加速度

(3)

顯然，質心運動代表著質點系的整體運動.此外，每個質點還存在對質心的相對運動

ri=rC+r′ivi=vC+v′iai=aC+a′i

(4)

質心運動和相對運動有時又稱為外部運動和內部運動，在剛體情況下也稱為平動和轉動，或公轉(軌道運動)和自轉(自旋運動).

我們知道，對于一般的質點系，利用速度分解式(4)，可以得到動能分解的柯尼希定理

(5)

K=KC+K′

恰好是式(1)右邊的分解，其中右邊兩項分別是質心動能和相對動能，在剛體情形又分別叫做平動動能和轉動動能.左邊是不是也可以分解呢？定義了質心后，質點系動量定理等價于質點系質心運動定理

(6)

其中左邊只有外力，沒有內力.將上式兩邊點乘質心位移drC，可得到

(7)

此式右邊是質心動能的增量，故這就是質心動能定理.在這個定理中，內力根本不出現，而各外力所點乘的位移并不是式(1)中各自受力點的位移，而是統一為質心位移.式(1)中左邊的外力功又可依式(4)變為

(8)

此式可理解為外力功的分解.聯立式(1)、(5)和(7)，馬上得到相對動能定理

(9)

其中外力點乘的位移是各自受力點相對于質心的位移，而內力功部分的位移仍為兩質點間的相對位移：dr′ji=drji.相對位移與慣性系還是質心系無關.

以上內容可以總結如下

(10)

其中，3個橫式分別為質點系的(總)動能定理、質心動能(平動動能)定理和相對動能(轉動動能)定理，3個豎式分別為內力功、外力功和動能的分解式.可以看出，每個外力功可分解為質心運動部分和相對運動部分，而內力功則只有相對部分，這是因為內力不會影響質心速度和整體運動.

作為對比，我們看看對角動量定理的分解.對靜點的質點系角動量定理為

(11)

其中，右邊存在角動量分解(類似于動能的柯尼希定理)

(12)

兩項分別為質心角動量(將整個系統的質量集中于質心后對靜點的角動量)和相對(于質心的)角動量.而左邊的合力矩可依式(4)分解為

(13)

式(12)、(13)中，左邊是對應的[見式(11)]，右邊第二項也是對應的(即對質心的角動量定理)，故有如下表示

(14)

其中，3個橫式分別為質點系的(總)角動量定理、質心角動量(軌道角動量)定理和相對角動量(自轉角動量)定理，兩個豎式分別為力矩和角動量的分解式.與式(10)不同的是，此處沒有內力項.

2 例題

以常見的一道柔鏈題為例[1]進行分析.題目如下：

一柔鏈條長為L，單位長度的質量為λ，鏈條放在有一小孔的桌面上，一端由小孔稍伸下來，其余部分堆在小孔周圍，如圖1所示.由于某種擾動，鏈條因自身重量開始下落.求鏈條下落速度與落下距離之間的關系.所有摩擦不計.

圖1 柔鏈放置圖

可以看出，由于存在完全非彈性碰撞(上部的靜止鏈條被下部的運動鏈條突然拉扯)，此系統機械能不守恒.文獻[1]給出多種方法，此處用質心動能定理求解.

質心動能定理中的功是“質心功”，有兩個要素：一是只有外力，沒有內力；二是位移只是質心位移.此題中的外力是支持力和重力，其中支持力做(總)功為零，但其質心功為負(質心下移)；重力當然包括上部的重力和下部的重力，然后還要乘以(整個系統的)質心位移，故都做正功.

此題的關鍵是要確認：系統所受外力之和等于下部的重力.考慮一微元過程：上部相接處的一小段鏈條被下部拖動.此過程中，該小段與上部之間并無相互作用，只存在該小段與下部之間的拉扯，故上部所受的支持力除了抵消上部的重力外無額外的部分.于是，支持力與上部重力之和為零，二者的質心功之和為零，只剩下下部重力的質心功——下部重力(λyg)乘以整個系統質心的位移(dyC).于是，根據質心動能定理，有

(15)

容易計算出

代入式(15)，化簡即得

文獻[1]對此題進行了詳盡的分析，給出多種解法以及一些概念辨析.可以看出，本文上述解法實質上就是文獻[1]的解法三，只不過該解法在那里被誤判了.