對有關科里奧利力的疑難問題探討

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

1 引出問題

如圖1所示[1]，水平圓盤以角速度ω繞圓心勻速轉動，若質點在沿半徑方向的光滑直槽里相對于圓盤以速度vr做離心運動，則受到槽壁的彈力作用，產生橫向加速度即科氏加速度，公式為

圖1 水平轉盤上的相對運動

aC=2ω×υr

由牛頓第二定律可知,質點受到槽壁的彈力即約束反力為

Fn=2mω×υr

質點相對于圓盤做勻速直線運動，若以圓盤為參考系，則質點受力平衡，因此，在垂直于軌道方向，還受到一個反向的慣性力，即科氏力

FC=-2mω×υr

對于“落體偏東”現象，在非慣性系中，物體受到科氏力

FC=-2mω×υr

應用右手螺旋定則可判斷科氏力的方向向東，則科氏加速度的方向也向東，且公式為

aC=-2ω×υr

為何科氏加速度有兩個公式？如何判斷科氏力的方向？科氏加速度與科氏力是否遵循牛頓第二定律？

2 解決問題

出現問題的根源在于是否存在約束軌道，或者說相對運動的質點是否受到剛性約束.若存在約束軌道，則相對運動質點受到約束反力，產生科氏加速度，與科氏力的方向相反；若不存在約束軌道，則相對運動質點在非慣性系中受到科氏力，產生科氏加速度，與科氏力的方向相同.由此可見，科氏加速度不一定由科氏力產生，科氏加速度與科氏力不一定遵循牛頓第二定律.因此可用多種方法判斷科氏力的方向.

2.1 利用假設法判斷科氏力的方向

對于在赤道上方自由下落的小球，假設小球在固定于赤道地面的豎直細管內運動，由于地球的自轉，小球受到垂直于細管的約束反力為

Fn=2mω×υr

應用右手螺旋定則可知約束反力的方向向西，實際是細管側壁對小球產生向西的彈力.這表明，自由下落的小球有向東偏轉的趨勢，若沒有豎直細管的約束，則小球將向東偏轉，出現“落體偏東”現象，由此認為自由落體受到科氏力的方向向東.

2.2 利用矢量式表示科氏力的方向

無論相對運動質點是否受到轉動物體的剛性約束，科氏力公式都為

FC=-2mω×υr

反映了各矢量的方向關系.地球自轉方向由西向東，對于從赤道地面豎直上拋的小球，若不受剛性約束，則受到科氏力為

FC=-2mω×υr

應用右手螺旋定則并考慮負號即可判斷小球受到向西的科氏力，因此科氏加速度的方向向西.若小球在固定的足夠長的豎直細管內上拋，考慮到地球自轉方向，與圖1情境進行類比可知小球受到管壁向東的彈力，即受到約束反力的方向向東，因此科氏加速度的方向向東，或者利用公式

Fn=2mω×υr

判斷，結果相同.

雖然科氏力只有一個公式，但科氏加速度可有兩個公式，而且科氏加速度與科氏力的方向有時相同，有時相反.因此可利用科氏加速度的方向來判斷科氏力的方向，但需根據相對運動物體是否受到剛性約束來確定科氏加速度公式不同的叉積形式.

3 例題分析

【例1】如圖2所示[1]，用位于豎直平面內的圓周表示地球的一條經線，豎直直徑表示地軸，上端為北極.已知地球自轉角速度為ω，半徑為R.假設在北半球有一段鐵路與經線重合，在北緯30°，列車由北向南勻速行駛，相對于地面的速度大小為v，試求列車科氏加速度的大小和方向以及科氏力的方向.

圖2 例1情境圖

解析：由于地軸上方為北極，則地球按逆時針方向(俯視)自轉，由右手螺旋定則可知角速度矢量的方向豎直向上.在北緯30°，地球半徑與地軸的夾角θ=60°，列車相對于經線的速度大小vr=v，沿切線方向，即與水平方向的夾角θ=60°，則角速度矢量與相對速度的夾角

β=90°+θ

科氏加速度公式為

aC=2ω×υr

可知科氏加速度的大小為

aC=2ωvrsinβ=2ωvcosθ=ωv

結合科氏加速度公式和圖2中兩個矢量的方向，應用右手螺旋定則可知科氏加速度的方向垂直于圓面向里，即垂直于軌道沿地面向東.由于列車受到剛性約束，則科氏力與科氏加速度的方向相反.

對于因空氣對流形成的貿易風，不受地球的剛性約束，只受到科氏力FC=-2mω×υr，在北半球，地面附近的氣流由北極向赤道推進，則地球自轉角速度矢量與氣流相對速度的夾角為鈍角，如圖2所示，應用右手螺旋定則并考慮負號可知科里奧利力的方向垂直于圓面向外，即沿地面向西，使氣流向西偏轉，由此形成東北貿易風[1].

【例2】[2]在赤道上方200 m處，從靜止的直升飛機上自由下落一小球，不計空氣阻力和風力，試求：小球落地位置將向東偏離其正下方地面位置多遠？

解析：科里奧利力的大小與相對速度成正比，方向始終與相對速度垂直，類似于帶電粒子在勻強磁場中受到的洛倫茲力，由此可聯想到帶電小球在水平方向的勻強磁場中自由下落的運動.小球相對于地球赤道下落的初速度為零，可等效為在水平方向的兩個反向初速度v1和v2，且v1=v2=v0，如圖3所示[2].

圖3 分解小球初速度

小球不受地球的剛性約束，在非慣性系中受到科里奧利力

Fy=-2mω×υx

地球自轉的角速度矢量方向垂直于圓面向里，應用右手螺旋定則并考慮負號可知這兩個初速度分別產生向上的科里奧利力F1和向下的科里奧利力F2.若使向上的科里奧利力跟重力抵消，即

F1=2mωv1=mg

則小球的一個分運動是水平向右的勻速直線運動，速度vx=v1=v0,剩下的力為科里奧利力F2，始終與相對速度v2垂直，且大小恒定，因此充當向心力，則小球的另一個分運動是在豎直面內沿逆時針方向的勻速圓周運動，如圖4所示[2].

圖4 一個分運動是圓周運動

由向上的科氏力跟重力抵消，即

F1=2mωv1=mg

得勻速運動速度

由向下的科氏力提供向心力，即

得圓周半徑

可知角速度

以初始位置O為坐標原點，建立一個相對于地球靜止的非慣性坐標系如圖4所示，利用運動的合成可知小球位移的參數方程為

x=v0t-rsinθ=v0t-rsin (ω′t)

y=r-rcosθ=r-rcos(ω′t)

即為[2]

由于θ=2ωt很小，則由泰勒級數展開式可知

代入位移方程中可得

令y=H，可得

其中ω≈7.27×10-5rad/s，H=200 m，取g=9.78 m/s2，可得x≈6.2 cm[2].

這種解法是利用運動的合成與分解法以及等效法，所得精確結果與常規解法所得結果完全相同，殊途同歸，不僅避免了繁瑣的微積分運算，而且還揭示了“落體偏東”的運動軌跡為一段旋輪線.特別是利用數學中的兩個近似公式對復雜的物理結果進行化簡，數理結合，奇妙無比.

還可從旋輪線的角度大致畫出小球的運動軌跡為一段曲線OA′，如圖5所示.當t=0時圓輪邊緣上的一點P與坐標原點重合，可知圓輪前進的位移OD與轉過的弧長DP相等，即v0t=rθ.若利用圖5來分析位移的參數方程即圓輪邊緣上一點P(x,y)的坐標，則比較直觀.

圖5 落體偏東軌跡是一段旋輪線

4 結論

總之，對于因地球自轉而引起的落體偏東現象以及貿易風現象，由于相對運動物體不受地球的剛性約束，則在非慣性系中的運動方向發生偏轉，原因是受到科氏力的作用，產生加速度，那么科氏加速度公式需帶負號.利用科氏力的公式和右手螺旋定則可判斷科氏力的方向；也可利用假設法來判斷科氏力的方向，既可對沒有約束軌道的相對運動假設有約束軌道，也可對有約束軌道的相對運動假設沒有約束軌道.科氏力只存在于非慣性系，屬于慣性力，只有一個公式，但科氏加速度有兩個公式，分別屬于不同性質的參考系，在慣性系中由約束反力產生，在非慣性系中由科氏力產生.