機(jī)械載荷作用下梯度多孔材料圓板非線性力學(xué)行為的研究

孫昊棟馬連生王婭娟陳思陽

（1.河西學(xué)院，張掖 734000；2.蘭州理工大學(xué)，蘭州 730050）

梯度多孔材料因其在厚度方向上孔隙率的變化，致使其材料性能也沿厚度方向連續(xù)變化。這種材料性質(zhì)使得梯度多孔材料結(jié)構(gòu)具有許多優(yōu)異的力學(xué)性能。Magnucka-Blandzi[1]研究了邊緣簡支的圓形多孔板在徑向均布壓縮和均布載荷（壓力）作用下的力學(xué)特性。Jabbari等[2]研究了壓電層對板屈曲載荷、壓電層-多孔板厚度比以及孔隙率變化的影響，并基于Sanders非線性應(yīng)變-位移關(guān)系，將計(jì)算結(jié)果與均勻的、非線性、對稱分布的圓形板進(jìn)行了比較。Khorshidvand[4]研究了均勻徑向載荷作用下多孔材料圓板的屈曲力學(xué)行為，并分析了多孔板厚度比、孔隙率等對結(jié)果的影響。Feyzi和Khorshidvand[5]研究了多孔材料性質(zhì)對多孔圓板過屈曲行為的影響。Mojahedin等[6]基于經(jīng)典版理論，研究了多孔材料固體圓板的熱穩(wěn)定性和力學(xué)穩(wěn)定性。基于高階剪切變形板理論，文獻(xiàn)[7]研究了多孔材料固體圓板在徑向載荷作用下的屈曲問題。孫昊棟[8]研究了梯度多孔材料性質(zhì)、邊界條件以及載荷等因素對結(jié)構(gòu)單元力學(xué)性能的影響。

1 基本方程

假設(shè)圓柱坐標(biāo)系(r,φ,z)的原點(diǎn)在圓板的圓心，rφ平面置于圓板未變形時(shí)的幾何中面，z軸垂直于圓板的幾何中面。梯度多孔材料圓板半徑為b，厚度為h。圓板承受均布徑向載荷p和橫向面內(nèi)載荷q。

設(shè)梯度多孔材料的孔隙率沿厚度方向按以下兩種模型的方程變化[9]。

根據(jù)Zhang和Zhou[10]引入的物理中面概念，梯度多孔材料圓板的物理中面為：

運(yùn)用能量法推導(dǎo)出梯度多孔材料圓板的控制方程以及邊界條件，并退化到經(jīng)典板理論下的控制方程及邊界條件，用打靶法求解無量剛控制方程，得到了徑向載荷與面內(nèi)橫向載荷共同作用時(shí)圓板非線性力學(xué)行為的數(shù)值解。

無量綱控制方程及邊界條件為：

2 數(shù)值結(jié)果與分析

圖1給出了對稱材料模型下圓板在橫向載荷與徑向載荷共同作用時(shí)，中心撓度隨橫向載荷變化的曲線。圖1中實(shí)線表示e0=0（各向同性材料）時(shí)的彎曲路徑，虛線表示e0=0.5時(shí)的結(jié)果。可以得出，當(dāng)徑向載荷為定值時(shí)，圓板中心撓度隨橫向載荷的增大而增大。孔隙率越大，中心撓度增長越快，與曲線的變化趨勢一致。此外，邊界條件對結(jié)果也有顯著影響。

圖1 圓板中心撓度隨橫向載荷的變化曲線（對稱材料模型）

圖2給出了非對稱材料模型下，圓板在橫向載荷與徑向載荷共同作用時(shí)中心撓度隨橫向載荷變化曲線。可以看出，非對稱材料模型下，圓板的穩(wěn)定性更低。它的變化趨勢與對稱材料模型下的結(jié)果是相同的。

圖2 圓板中心撓度隨橫向載荷的變化曲線（非對稱材料模型）

圖3給出了對稱材料模型下，圓板在橫向載荷與徑向載荷共同作用時(shí)中心撓度隨徑向載荷變化的曲線。同樣的，圖3中實(shí)線表示e0=0（各向同性材料）時(shí)的結(jié)果，虛線表示e0=0.5時(shí)的結(jié)果。從圖3可以看出：當(dāng)橫向載荷為零時(shí)，圓板發(fā)生過屈曲變形；橫向載荷不為零時(shí)，圓板發(fā)生彎曲變形；在徑向載荷作用之始，圓板已經(jīng)發(fā)生彎曲變形。

圖3 圓板中心撓度隨縱向載荷的變化曲線（對稱材料模型）

圖4給出了非對稱材料模型下，梯度多孔材料圓板在橫向載荷與徑向載荷共同作用時(shí)中心撓度隨徑向載荷變化的曲線。圓板中心撓度的變化趨勢與對稱材料模型下的結(jié)果一致，但是圓板的穩(wěn)定性相對較低。

圖4 圓板中心撓度隨縱向載荷的變化曲線（非對稱材料模型）

3 結(jié)論

（1）孔隙率對圓板的穩(wěn)定性有顯著影響。當(dāng)徑向載荷為定值時(shí)，圓板的中心撓度隨著橫向載荷的增大而增大。相對于非對稱材料模型，對稱材料模型下圓板的有效剛度大，穩(wěn)定性高。

（2）邊界條件對圓板的穩(wěn)定性有重要影響。當(dāng)橫向載荷為零時(shí)，圓板發(fā)生過屈曲變形；橫向載荷不為零時(shí)，圓板發(fā)生彎曲變形；在徑向載荷作用之始，圓板已經(jīng)發(fā)生彎曲變形。