2020 年高考“三角恒等變換”問題聚焦

■何 敏 劉大鳴(特級教師)

2020年高考“三角恒等變換”主要圍繞“三角函數的定義、三角函數的求值、方程組觀念的應用、合理的降次和輔助角公式及與其他知識的交匯應用”等展開,彰顯“整體變量觀念、轉化化歸和數形結合”的數學素養的具體應用。

聚焦1：利用和差角公式求值

回味：解答三角函數的給值求值問題,關鍵是用所求角表示已知角,再對條件和三角公式進行溝通,凸顯目標意識下靈活選用公式并進行計算的學科素養。

聚焦2：利用二倍角公式求值

回味：由題設條件和二倍角的余弦公式,求得cosα的值,再利用同角關系得出結果。

變式訓練2：已知α為第四象限角,則( )。

A.cos2α＞0 B.cos2α＜0

C.sin2α＞0 D.sin2α＜0

聚焦3：三角恒等變換的綜合問題

例3 (2020年高考北京卷)2020年3月14日是全球首個國際圓周率日(πDay)。歷史上,求圓周率π的方法有多種,與中國傳統數學中的“割圓術”相似,數學家阿爾·卡西的方法是:當正整數n充分大時,計算單位圓的內接正6n邊形的周長和外切正6n邊形(各邊均與圓相切的正6n邊形)的周長,將它們的算術平均數作為2π的近似值。按照阿爾·卡西的方法,π的近似值的表達方式是( )。

回味：理解π的近似值的意義,把握圓內接正六邊形和圓外切正六邊形的關系,構造直角三角形,利用邊長之間的關系求解,凸顯三角恒等變換的工具性和應用性。

變式訓練3：已知函數f(x)=cos2x+cos2(x+α)+cos2(x+β),其中α,β為常數,且滿足0≤α＜β≤π。對于任意實數x,問是否存在α,β,使得f(x)是與x無關的定值。若存在,求出α,β的值;若不存在,請說明理由。

聚焦4：三角恒等變換與三角函數性質的交匯問題

例4 (2020年高考北京卷)若函數f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值為2,則常數φ的一個取值為____。

回味：求三角函數的最值,實質上是輔助角公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ)的應用,凸顯數學運算、數學建模的學科素養。

變式訓練4：已知函數f(x)=2cos2xsin2x+2,則( )。

A.f(x)的最小正周期為π,最大值為3

B.f(x)的最小正周期為π,最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2π,最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2π,最大值為4