淺談含彈簧能量信息給予問題的解題策略

■竇傳家

在我們遇到的含彈簧問題中,與彈簧相接觸的物體運動時,彈簧被壓縮或被拉伸,彈簧的彈力發生變化,彈簧的彈力對物體做功是變力做功,彈簧儲存的彈性勢能也隨之發生變化。下面根據這類問題信息給予的不同特點,探討相應的解題策略,希望對同學們有所啟發。

一、兩個狀態下彈簧的伸長量(壓縮量)相等

彈簧發生形變時,彈簧儲存彈性勢能。同一彈簧,若在兩個狀態下的伸長量(壓縮量)相等,則說明彈簧儲存的彈性勢能相等。

例1 如圖1所示,在輕質彈簧的下端懸掛一個質量為m的小球A,將小球A從彈簧原長位置由靜止釋放,小球A能夠下降的最大高度為h。若將小球A換為質量為3m的小球B,仍從彈簧原長位置由靜止釋放(重力加速度為g,不計空氣阻力),則小球B下降高度h時的速度為( )。

圖1

答案：A相等,且彈性勢能的大小關系也不確定。

二、兩個狀態下彈簧的壓縮量與伸長量相等

彈簧發生形變時,彈簧儲存彈性勢能。同一彈簧,若在兩個狀態下的伸長量與壓縮量相等,則說明彈簧儲存的彈性勢能相等。

例2 如圖2所示,質量均為m的A、B兩物體用勁度系數為k的輕質彈簧拴接在一起,豎直放置在水平地面上,處于靜止狀態。在物體A正上方h高處有一質量也為m的小球C。將小球C由靜止釋放,小球C與物體A發生碰撞后立刻粘在一起,向下壓縮彈簧,彈簧始終在彈性限度內,忽略空氣阻力,重力加速度為g,要使物體B剛好被拉離地面,求高度h(用m、g、k表示)。

圖2

因為A、B兩物體的質量均為m,物體A處于靜止狀態時彈簧的壓縮量與物體B剛要離開地面時彈簧的伸長量相等,所以在這兩個狀態下彈簧儲存的彈性勢能相等。如果A、B兩物體的質量不相等,那么物體A處于靜止狀態時彈簧的壓縮量與物體B剛要離開地面時彈簧的伸長量就不相等,在這兩個狀態下彈簧儲存的彈性勢能也不相等。

三、兩個狀態下彈簧的壓縮量和伸長量不相等

彈簧發生形變時,彈簧儲存彈性勢能。同一彈簧,若在兩個狀態下的伸長量與壓縮量不相等,則彈簧儲存的彈性勢能不相等,但彈簧儲存的彈性勢能之差保持不變。

例3 如圖3所示,質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上質量為m2的物體B相連,彈簧的勁度系數為k,物體A、B均處于靜止狀態。一條不可伸長的輕繩繞過兩個輕小定滑輪,一端連接物體A,另一端連接一輕質掛鉤。開始時,各段繩都處于伸直狀態,物體A上方的一段繩沿豎直方向。現在掛鉤上掛一質量為m3的物體C并由靜止釋放,它恰好能使物體B離開地面但不繼續上升。已知重力加速度為g。

(1)求在此過程中物體A上升的高度。

(2)求在此過程中彈簧彈性勢能的增加量。

(3)若將物體C換成另一個質量為m1+m3的物體D,仍從上述初始位置由靜止釋放,則這次物體B剛要離開地面時,物體D的速度是多大?

圖3

物體A、B的質量不相等,彈簧最初的壓縮量和物體B剛要離開地面時彈簧的伸長量不相等,在這兩個狀態下彈簧儲存的彈性勢能不相等,但是在這兩個狀態下彈簧儲存的彈性勢能之差是保持不變的。本題(3)問若是問物體B離開地面之前(之后)的某時刻,物體D的速度大小,則根據題目已有的信息是無法求解的。

圖4

A.彈力對小球先做正功后做負功

B.有兩個時刻小球的加速度等于重力加速度

C.彈簧長度最短時,彈力對小球做功的功率為零

D.小球到達N點時的動能等于其在M、N兩點的重力勢能差

2.如圖5甲所示,輕質彈簧原長為2l,將彈簧豎直放置在地面上,在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放,當彈簧被壓縮到最短時,彈簧長度為l。如圖5乙所示,將該彈簧水平放置,一端固定在A點處的豎直墻壁上,另一端與物塊P接觸但不拴接。AB段是長度為5l的水平軌道,在B點與半徑為l的光滑半圓形軌道BCD相切,半圓的直徑BD豎直。物塊P與軌道AB間的動摩擦因數μ=0.5。用外力推動物塊P,將彈簧壓縮至長度為l,然后放開物塊P,它將沿軌道運動。已知重力加速度為g,物塊P的質量為m。求物塊P到達B點時速度的大小。

圖5

3.如圖6所示,質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上質量為m2的物體B相連,彈簧的勁度系數為k,物體A、B都處于靜止狀態,此時彈簧的彈性勢能為Ep1。一條不可伸長的輕繩繞過兩個輕小定滑輪,一端連接物體A,另一端連接一輕質掛鉤。開始時,各段繩都處于伸直狀態,物體A上方的一段繩沿豎直方向。現在掛鉤上掛一物體C并由靜止釋放,它恰好能使物體B離開地面但不繼續上升,此時彈簧的彈性勢能為Ep2。已知重力加速度為g。求物體C的質量。

參考答案：

圖6