幾類對數型函數的積分公式

黃華平

基金項目： 重慶市自然科學基金面上項目（cstc2020jcyj-msxmX0762）， 重慶三峽學院人才引進科研啟動基金項目（2104/09926601）， 重慶三峽學院教改項目（JGZC2124， JGYB2003）

摘要：利用換元積分法和分部積分法，結合一定的變換技巧，得到了幾類對數型函數的積分公式.

關鍵詞：對數型積分; ?換元積分法;分部積分法;調和數; 積分公式

中圖分類號：O172.21 ? ? ? 文獻標識碼：A

1 引言

定積分與導數概念一樣也在數學分析[1]，物理科學等應用過程中逐漸形成并發展起來的. 定積分的原始問題是求平面圖形的面積，計算不規則幾何圖形面積的定積分思想和方法可追溯到古希臘數學家阿基米德（Archimedes）的“窮竭法”，盡管現代積分學的理論和方法有了質的飛躍，但求面積、路程等基本問題的計算依舊是定積分最基本的背景和應用[2].

定積分的概念先于微分學概念的形成[3]，但直到17世紀中葉偉大的數學家牛頓（Newton）和萊布尼茲（Leibinz）發現了積分和微分之間的聯系，從而得到了計算積分的一般方法. 也就是說，利用牛頓-萊布尼茲公式進行計算.眾所周知，計算定積分通常有兩種方法，即換元積分法和分部積分法. 然而很多函數不易找出其原函數，故有時根本無法計算其不定積分和定積分.

基于此， 本文按通常的方法，針對幾類比較難計算的對數函數，采用特殊的變換技巧，給出了它們的積分表達式的一般公式. 所謂對數型積分是指被積函數與對數相關的積分[4]. 本文采用換元積分法和分部積分法，利用一定的變換，得到了幾類對數型積分的計算公式，從而彌補了對數型積分難求或不可求的缺陷.

2 主要結果

參考文獻：

[1]華東師范大學數學科學學院. 數學分析（下冊） [M]， 第五版. 高等教育出版社， 2019， 179-181.

[2] 張高明，周靜. 高等數學[M]， 第1版. 北京科學技術出版社， 2010， 158-181.

[3]章學誠，劉西垣. 微積分[M]， 第1版. 武漢大學出版社， 2007， 202-228.

[4]鄭一. 關于對數積分的基本理論[J].青島建筑工程學院學報，2002， 3（2）： 84-89.