做“自能課堂”的踐行者

姚晉秋

摘 要：新課程要求在數學教學中發揮學生的主體地位。數學課堂以問題為導向，充分發揮學生的自主作用，強化數學知識的建構過程，激發學生學習數學的興趣。在教學過程中，將提高學生數學學科核心素養、養成良好的數學學習習慣、發展自主學習的能力等設為基本目標，逐步形成“自學-探究-導學-拓展”的“自能課堂”有效教學模式，提高教學效率，在教學實踐中踐行葉圣陶先生“教是為了不教”的教育思想。

關鍵詞：課例分析;問題導向;自能課堂

一、背景分析

2017版《普通高中數學課程標準》中明確指出：高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人的根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。在教學活動中，教師應準確把握課程目標、課程內容、學業質量的要求，合理設計教學目標，并通過相應的教學實施，在學生掌握知識技能的同時，促進數學學科核心素養的提升及水平的達成。

我校數學教研組努力踐行葉圣陶先生“教是為了不教”的教育思想，積極探索適合學生實際的有效教學模式。我們堅持在數學教學中發揮學生的主體作用，強化數學知識的建構過程以增強學生的學習體驗，努力提升學生自主學習能力和數學核心素養，逐步形成了“自學-探究-導學-拓展”的“自能課堂”有效教學模式，提高教學效率。

眾所周知，上好一堂觀摩課或展示課很不容易，它是授課者潛心鉆研、反復改進的智力成果，而上好每一堂日常課就更不容易了，因為日常教學工作量大，不可能每個教學環節都細細推敲琢磨，也不可能反復試教改進，只能一次成型。日常課構成了我們教學主題，直接影響著教學質量的高低。下面筆者以普通高中課程標準試驗教科書蘇教版必修一2.2.1分數指數冪為例，分析如何在日常課中優化教學內容，以問題為導向，發揮學生的主體作用，打造高效的“自能課堂”。

二、教學任務分析

1.教學目標

知識目標：理解根式的概念，n次方根的概念及二者的關系，掌握根式的性質，能利用根式的性質對根式進行運算。理解分數指數冪的含義，掌握根式與分數指數冪的互化。掌握實數指數冪的運算性質，并能對代數式進行化簡或求值。了解無理數指數冪的意義。

能力目標：通過對分數指數冪的基本性質的探究和應用，幫助學生通過問題解決并獲得數學知識。在學習過程中，發展數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學學科核心素養。

情感目標：通過課程的學習，激發學生學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力。

2.教學重點與難點

根式、分數指數冪的概念及其性質。

3.教學方法

通過對具體問題的探究過程，感知應用數學解決問題的方法，理解類比與轉化思想、分類討論思想在數學中的應用。

三、學情與教材分析

學生在初中學習了數的開平方、開立方以及二次根式的概念，又學習了正整數指數冪、零指數冪、負整數指數冪的概念，以及整數指數冪的運算法則。我校是普通中學三星級高中，學生的學習基礎和學習習慣較差。

分數指數冪這一部分內容是指數函數的序幕部分。承接指數部分內容，引導指數函數的開始。指數函數是應用廣泛的基本函數，是進一步學習數學的基礎。如果能深刻理解根式的概念和分數指數冪的含義，熟練掌握指數冪的運算性質，那么就可以為后續的學習打下扎實的基礎。

教材以細胞分裂為引例：某細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……如果分裂一次需要10 min，那么，一個細胞1 h后分裂成多少個細胞？這個引例與本節教學聯系不大，尤其是根式，更是沒有什么關系，筆者認為，把這個引例移至2.2.2指數函數一節，與“古蓮子半衰期問題”一同開啟指數函數的學習將更為妥帖些。本節內容以學生熟悉的指數與正整數指數冪運算引入。

四、教學過程分析

1.根式

[自學]

從這些熟悉的等式可知，2和-2是4的平方根，其中2叫做算術平方根;2是8的立方根;-2是-88的立方根……

歸納總結：如果，那么稱為的平方根;如果，那么稱為的立方根。根據定義，正實數的平方根有兩個，它們互為相反數，如4的平方根為±2，負數沒有平方根，一個數的立方根只有一個，如-8的立方根為-2;零的平方根、立方根均為零。

[探究1]

問題1：有沒有四次方根、五次方根……n次方根呢？

問題2：若，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？

問題3：若，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？

問題4：類比a的平方根及立方根的定義，如何定義a的n次方根？

通過剛才的導入，學生感覺新知識并沒有什么神秘感，是在已有認知基礎上的推廣。問題1至問題4均讓學生討論之后回答，不僅能培養學生用類比思想解決問題的能力，也能培養他們團結協作、與人溝通的能力。其中在定義的n次方根時，學生往往會遺漏“n>1，且n∈N*”這個條件，老師要做好引導工作，并且及時歸納總結如下：

（1）a的n次方根的定義

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

（2）a的n次方根的表示

n的奇偶性 a的n次方根的表示符號 a的取值范圍

n為奇數 a∈R

n為偶數 [0，+∞）

一個數到底有沒有n次方根，我們一定先考慮被開方數到底是正數還是負數，還要分清n為奇數或偶數這兩種情況.負數沒有偶次方根，0的任何次方根都是0.

（3）根式

式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數.

[導學]

例1 求下列各式的值：

[探究2]

問題5：根據n次方根的意義，可知肯定成立，那么等式一定成立嗎？

通過實例，使學生感受到“次方根”實際上就是平方根與立方根的推廣，這里引導學生由平方根與立方根的運算性質類比得到n次方根的性質，注意對n分奇偶數討論。

根式的運算性質：

（1）當n 為任意正整數時，

（2）當n為奇數時，

當n為偶數時，

2.分數指數冪

[探究3]

問題6：根據n次方根的定義和數的運算，得出以上式子，你能從中總結出怎樣的規律？

當a>0時，根式可以表示為分數指數冪的形式，其分數指數

等于根式的被開方數的指數除以根指數.我們常用的就等于。

分數指數冪的定義：

（1）規定正數的正分數指數冪的意義是：

;

（2）規定正數的負分數指數冪的意義是：

;

（3）0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義.

[探究4]

問題7：規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質對于有理數指數冪是否還適用？

提示：由于整數指數冪、分數指數冪都有意義，因此有理數指數冪是有意義的，整數指數冪的運算性質，可以推廣到有理數指數冪，即：

[導學]

例2 用根式的形式表示下列各式（x>0）：

通過實例可知，實數指數冪的化簡與計算中，分數指數冪形式在應用上比較方便。而在求函數的定義域中，根式形式較容易觀察出各式的取值范圍，故分數指數冪與根式的互化是學習的重點內容，要切實掌握。

例3 求下列各式的值：

分數指數冪是根式的另一種表示形式，根式與分數指數冪可以進行互化。在進行指數冪的運算時，一般地，化指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數進行運算，便于進行乘除、乘方、開方運算，以達到化繁為簡的目的，對含有指數式或根式的乘除運算，還要善于利用冪的運算法則。更多的運算練習將在下一節課中展開。

[拓展]

問題8：為什么教科書上寫“在本書中，若無特殊說明，底數中的字母均為正數”？

指數的概念從整數指數擴充到實數指數后，當a≤0時，

有時有意義，有時無意義。如但就不是實數了。又例如，而由 = 可得

，但后者卻無意義了。為了保證在取任何實數

時，都有意義，所以規定a>0。當被開方數中有負數時，冪指數不能隨意約分。

問題9：是否表示一個確定的實數？

當的不足近似值從小于的方向逼近時，的近似值從小于的方向逼近;當的過剩近似值從大于的方向逼近時，的近似值從大于的方向逼近。所以是一個確定的實數。在教學過程中，我們利用計算機操作，感受逼近過程。這部分閱讀材料是為引入指數函數做準備的。

問題10：無理數指數冪（a>0，α是一個無理數）有何意義？有怎樣的運算性質？

無理數指數冪的意義，是用有理數指數冪的不足近似值和過剩近似值無限地逼近以確定大小。一般來說，無理數指數冪（a>0，α是一個無理數）是一個確定的實數，有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪。

五、教學反思

以上就是2.2.1分數指數冪新課的完整教學內容。本課例以問題為導向，處處注意與初中所學知識作類比，如根式與平方根、立方根的類比，分數指數冪與整數指數冪的類比，使知識的形成水到渠成，學生在原有認知的基礎上進行有益的推廣，其學習是主動的、積極的，知識形成是自然的，沒有強加之嫌。在教師的引導下，學生始終處于“我要學”的狀態，并自覺去探究新的教學任務。整節課緊緊圍繞“自學-探究-導學-拓展”模式展開，很好地體現了“高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養”的基本理念。

葉圣陶先生曾經說過：教是為了不教。這就是說，教師要解決學生如何去學習的問題。這就要求我們的教學要有針對性，針對性地設計問題、提出問題及引導學生解決問題，從而達到有效教學的目的。由于本節課是一堂日常課，缺少時間打磨，十個問題的設計是否最合理，能否優化，還有待于備課組同仁的商討及實踐檢驗。在教學過程中發現，學生的參與度參差不齊，有些學生已經適應了“填鴨式”的教學模式，只專注于記筆記，缺少主動思考與探究，對這部分學生我們要格外關注。在今后的教學實踐中，我們要一如既往踐行葉老的教學理念，朝著“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”方向堅定地走下去。