入情入境 逐層優化
——《打電話》教學設計

文|林醉絨

【教學內容】

人教版五年級下冊第102、103頁。

【教學過程】

一、情境導入

1.情境引入，確定方式。

師：2020年春節，新冠肺炎在湖北的武漢開始蔓延，全國各地開展了支援武漢的行動，我們來看看廣東的支援情況吧。

（觀看視頻，理清信息：147人，緊急出發，確保最快通知到）

師：哪一種聯系方式確保能夠通知到每個人？

生：打電話。

師：這節課我們就一起去探究打電話的奧秘。（板書課題：打電話）

2.模擬打電話。

請兩位學生模擬打電話通知。強調：最快的時間，要言簡意賅。明確通知信息：集合地點、時間、需要帶的東西、注意事項等等。

【設計意圖：結合疫情視頻，情境引入，激發學生的學習積極性，同時通過思考發現打電話最能確保消息傳遞，從而引出本課課題。創設模擬打電話環節，把數學生活化，同時進行防疫教育。】

二、探索新知

1.觀察思考，示范引導。

（1）化繁為簡，簡化信息。

師：盡快通知147位醫生，假設給一位醫生打電話需要1分鐘，該怎么打用的時間最少？當研究的數字太大時，可以從比較少的數目研究起，這樣就把繁雜的事情簡單化了。

簡化問題：領導先打給3位醫生，每分鐘通知1人，可以怎么打？需要多少分鐘？

師：疫情就是命令，救人如救火，怎么用最少的時間全部通知到？

（2）初步優化，形成思路。

①學生分組討論。

②匯報整理。依據學生的回答畫圖板書。

a.逐一打，需要3分鐘。

生：可以一個一個地打。

師：一個一個地打，我們叫做“逐一打”。具體怎么打？

生：第一分鐘，領導先打給第一位醫生；第二分鐘，領導打給第二位醫生；第三分鐘，領導打給第三位醫生。一共需要3分鐘。

師：好的，我們用“□”表示領導，用“○”表示醫生。線上的數字表示時間。（板書，如下圖）

b.同時打，需要2分鐘。

生：還有更好的方法，需要2分鐘。第一分鐘，領導打給第一位醫生；第二分鐘，領導打給第二位醫生，這時第一位接到通知的醫生同時幫忙打給第三位醫生。2分鐘就可以通知三位醫生。

師：你真厲害。在這種方法里，第一位接到通知的醫生在第二分鐘也幫忙打，所以，我們把這種方式叫做“同時打”。你能用畫圖的方式表示出這種方法嗎？

（學生嘗試畫圖，選取幾種方法展示，教師整理板書如下）

師：像這樣畫圖的方法，叫做樹形畫圖法。

2.討論不同，形成思路。

師：兩種通知方式為什么相差1分鐘？是什么原因造成的？

生：第一分鐘都是一樣的。不同在第二分鐘里。第一種方式，第一位醫生在第二分鐘里什么事也沒干，空閑著。第二種方式，在第二分鐘里，第一位醫生同時幫忙打，沒有空閑著，多打給1個人，所以節省了1分鐘。

師：還有沒有更快的方法？

生：沒有了。第二分鐘知道消息的人都同時幫忙打，沒有人空閑，不浪費時間了。

師：大家都分析得很有道理。在第二分鐘里，所有知道消息的人，包括領導和第一位醫生，都同時打，不浪費時間，最大地利用資源，是最快最優化的方法。

3.厘清思路，辨析優化。

（1）出示問題：領導怎么最快通知7位醫生？讓學生試試用樹形畫圖法，描述出最優化的思路。

（2）用畫圖的方式表示出來。

（3）微課講解7人分組打的情況。

分組打：第一種7人分成2組（3、4）用4分鐘或5分鐘。第二種7人分成3組（2、2、3）4分鐘或更多分鐘。這兩種方法都有人閑著。

（4）辨析小結。

師：微課里的分組情況為什么會用更多的時間呢？

生：因為從第二分鐘開始就有人閑著。閑的人越多，所需的時間就越多。

師：對。采用分組打的方法，如果安排不當，就有人閑著，造成資源的浪費。那么同時打的，有沒有造成浪費？

生：沒有，采用同時打的方法，所有知道消息的人在下一分鐘都幫忙打，沒有人閑著，最大地利用資源，這種方法更加省時高效，是最優化的方法。

師：最優化的安排就是每分鐘都沒有人空閑著。（板書：優化）

【設計意圖：尊重學生已有的知識基礎和生活經驗，初步建立優化思想，引導學生感受節省時間的必要性。通過指導樹形畫圖的方式，展現不同思路，展開討論，激發思考，理解辨析，在交流中體會節省時間的方法，為后面探索規律打下基礎。利用微課講解分組的情況，得出“分組打”浪費資源的原因所在，再對比“同時打”的最大的資源利用，讓學生的思維在交流中發生碰撞，在爭辯中得到完善。利用微課講解，優化課堂結構；利用化繁為簡的研究方式，潛移默化地對學生進行優化意識的培育。】

4.深入優化，探索規律。

（1）通知15位醫生，最少用幾分鐘？請描述出最優化的思路。

生1：我用畫圖的方法。原則是所有知道消息的人都同時打。第一分鐘，領導打給第一位醫生；第二分鐘，領導打給第二位醫生，這時第一位接到通知的醫生同時幫忙打給第三位醫生……

生2：你這樣太麻煩了。我是這樣想的，通過前面的學習已經知道3分鐘最多可以通知7個人，加上領導，知道消息的一共有8個人，第四分鐘里，這8個人可以通知新的8個醫生。在圖上接著畫出新的8個接到消息的醫生，湊起來是15人，符合題意，用4分鐘。

師：你真棒！懂得利用前面的圖和規律，這也是學習方法的優化選擇！（利用課件展示思路）

每個醫生接到通知后馬上通知其他人

生3：我不用畫圖也知道是4分鐘。第三分鐘已經有8個人知道，第四分鐘這8個人幫忙打，增加8個新通知人數，8×2=16（人），減去1個領導，就是15人。需要4分鐘。

師：太厲害了，你還發現了規律，利用了方法。下面我們利用表格進一步來研究規律。

（2）整理表格，發現規律。

學生獨立完成表格并討論以下問題：

①從第二分鐘開始，每一分鐘，新增通知到的人數和上一分鐘的新增通知人數有什么關系？

②從第二分鐘開始，每一分鐘，知道消息的總人數和上一分鐘知道消息的總人數有什么關系？

③在同一分鐘里，知道消息的總人數和接到通知的總人數相差幾？是誰？

（3）匯報發現，總結規律。

生：從第二分鐘開始，每一分鐘，新增通知到的人數是上一分鐘新增人數的2倍。

生：從第二分鐘開始，每一分鐘，知道消息的總人數是上一分鐘知道消息的總人數的2倍。

師：也就是說，每一分鐘，新增通知到的人數和上一分鐘新增通知的人數有什么關系？知道消息的總人數呢？你能舉例說明嗎？

生：它們都成2倍關系。例如第三分鐘，新增通知到的人數是4人，第四分鐘，新增通知到的人數是4×2=8人，它們是2倍關系。第四分鐘，知道消息的總人數是16人，第五分鐘，知道消息的總人數是16×2=32人，也是2倍關系。

師：說明得很好！通過觀察，我們知道，第一分鐘知道消息的總人數是2人，第二分鐘是4人，第三分鐘是8人……你能說明4、8、16……分別是怎么計算來的嗎？

生：第一分鐘，2人；第二分鐘，2×2=4（人）；第三分鐘，2×2×2=8（人）；第四分鐘，2×2×2×2=16（人）；以此類推下去。幾分鐘就有幾個2連乘下去的積。

師：能夠聯系前面所有的數據，又能以此類推，推導打電話最優化的規律，說得多好啊！大家的推理能力在不知不覺中都提高了。好，我們也來以此類推，n分鐘，知道消息的總人數是多少人？

生：n分鐘，知道消息的總人數是n個2連乘。

師：對。同一分鐘里，知道消息的總人數和接到通知的總人數相差幾？是誰？

生：我知道，相差1人，這個人是領導。

師：對。誰來歸納一下n分鐘打電話最多可以通知到多少人？

生：n分鐘打電話最多可以通知的人數是n個2連乘的積減去1。

師：對。為勤于思考、善于推理的你們點贊！n個2連乘的積也就是2n。板書：n分鐘打電話最多通知的人數=2n-1。

【設計意圖：借助畫圖法和表格法這兩個學習“支架”，幫助厘清最優化的原因所在，為學生的探究活動確定了方向，降低了學習的難度。通過一連串問題的追問，讓學生親歷知識的探索推理過程，歸納出“打電話”的規律，培養了邏輯推理能力。無論是樹形畫圖法還是表格法都只是一種學習手段，借助這些方法，經歷生活問題“數學化”“模型化”的過程，提升模型意識，提高研究能力和推理能力。】

三、運用規律，提升能力

1.快速反應：領導用了5分鐘打電話，每分鐘通知1個人，最多能通知到（ ）個醫生。有64名醫生，至少用（ ）分鐘就能通知到。

2.如果急診室有50人，最少花多少時間就能通知到每個人？

3.回歸主題：廣東支援隊共有147位醫生，要用多少分鐘通知？7分鐘夠嗎？7分鐘后還剩幾位醫生沒有接到通知？

4.如果一只“COVID-19”病毒3秒鐘能分裂感染兩個細胞，那么按照這樣的分裂繁殖方式，一只“COVID-19”病毒半分鐘后感染了多少個細胞？10個2連乘（2×2×2……×2=1024個）

5.聯系生活，探討計劃可行性。

師：在生活中，要緊急通知事情，同時打電話的方式是否可行？

生：可能不行。會出現重復通知的情況或是漏通知的情況。

師：對。所以，若是想執行這種方案，一定要提前做打電話的預案。確保不重復不漏打，才能使計劃可行。

四、總結學法，體驗交流

1.這節課，你有什么收獲？你是如何獲得的？

2.防疫教育。

【設計意圖：本課設計，以抗擊疫情開始，以防疫教育結束，全程以疫情扣緊學生心弦，激發學習興趣，彰顯數學與生活的密切聯系。運用規律解決問題，在進一步深化所學知識的同時，使學生感受到運籌思想在解決實際問題中的妙用，增強了學生學習數學的興趣。同時不忘強調數學規律在現實生活中運用的實際情況，增加可信度，使學生更加深刻地感受到學有所用。】