自主建構(gòu) 促進(jìn)理解
——《乘法分配律》教學(xué)與思考

文|徐素珍

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一。在《乘法分配律》教學(xué)中，我們可以通過引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，在觀察、比較、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)中抽象出乘法分配律的本質(zhì)意義。這樣設(shè)計(jì)教學(xué)，既讓學(xué)生積累了大量的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又培養(yǎng)了抽象邏輯思維能力，同時(shí)也發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【教學(xué)過程】

一、初步感知規(guī)律

1.呈現(xiàn)信息，提出問題。

課件出示幾何圖。

請(qǐng)同學(xué)們提出與面積有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

師：兩個(gè)小長方形的面積合起來一共是多少？

2.列出算式，求出結(jié)果。

生：（28+22）×20=1000（平方分米）。

生：28×20+22×20=1000（平方分米）。

3.深度思考，算式表征。

第一種算法先求出兩個(gè)小長方形合起來的大長方形的長，再用長乘寬求出大長方形的面積；第二種算法是先求出左面長方形的面積，再求出右面長方形的面積，然后相加求出大長方形的面積。

4.啟發(fā)引導(dǎo)，建構(gòu)等式。

（28+22）×20=28×20+22×20

5.細(xì)心觀察，尋找異同。

相同點(diǎn)：等號(hào)左邊的三個(gè)數(shù)與等號(hào)右邊的三個(gè)數(shù)相同。

不同點(diǎn)：左邊是先求出兩個(gè)數(shù)的和，再乘第三個(gè)數(shù)；右邊是先用這兩個(gè)數(shù)分別去乘第三個(gè)數(shù)，再把兩次的積相加。

隱去等號(hào)右邊的算式請(qǐng)學(xué)生再把算式寫出來。

隱去等號(hào)左邊的算式請(qǐng)學(xué)生再把算式寫出來。

【設(shè)計(jì)意圖：課始，讓學(xué)生根據(jù)圖中的信息提出數(shù)學(xué)問題并列出綜合算式，通過意義表征、觀察比較、隱去算式、回想算式等數(shù)學(xué)活動(dòng)建構(gòu)乘法分配律的雛形，這樣的導(dǎo)入設(shè)計(jì)，合乎學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，方便學(xué)生建構(gòu)新知。】

二、自主建構(gòu)規(guī)律

1.意義表征，感受規(guī)律。

（1）細(xì)心思考，感受相等。

師：如果沒有圖支撐，也不準(zhǔn)計(jì)算，你有辦法證明左邊與右邊的算式是相等的嗎？

生：能，左邊是求出50個(gè)20是多少，右邊是28個(gè)20加上22個(gè)20，合起來也是50個(gè)20，所以兩邊算式的結(jié)果是相同的。

（2）尋找原形，理解規(guī)律。

師：有一個(gè)長方形，長是72米，寬是28米，它的周長是多少？你能像“（28+22）×20=28×20+22×20”這樣寫出類似的等式嗎？并說出算式的意義。

師：你能從兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算中整理出上面類似的等式嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：從計(jì)算長方形的周長與兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算中尋找乘法分配律的原型，使學(xué)生深刻地感受到知識(shí)之間的密切聯(lián)系，進(jìn)一步領(lǐng)略乘法分配律的價(jià)值。】

2.枚舉等式，驗(yàn)證規(guī)律。

呈現(xiàn)一半，猜出另一半。

（1）（21+79）×9=__________

（2）__________=55×6+45×6

師：像這樣的算式你能寫出多少個(gè)？

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生寫出類似的等式，既幫助學(xué)生積累感性材料，又豐富了學(xué)生的表象，進(jìn)一步感知了乘法分配律。】

3.合作交流，概括規(guī)律。

師：同學(xué)們，這里的算式是無限的，誰能用一個(gè)等式來表示這里所有的等式呢？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：剛才我們用字母來表示這里所有的算式，那這個(gè)等式到底是什么意思呢？你能不能用自己的話來說一說呢？

師：仔細(xì)觀察等號(hào)左邊的一組算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：仔細(xì)觀察等號(hào)右邊的一組算式，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

師：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，能不能用自己的話來說一說字母表示式的含義呢？

生：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加。

師：用字母和文字來表示乘法分配律，哪一種方法更簡單？

【設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)左邊一組算式和右邊一組算式的特點(diǎn)，再讓學(xué)生根據(jù)自己的發(fā)現(xiàn)歸納概括出乘法分配律，最后通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)用字母式表示乘法分配律比文字表達(dá)更簡潔，這樣層層遞進(jìn)的設(shè)計(jì)便于學(xué)生自主建構(gòu)乘法分配律，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。】

三、靈活運(yùn)用規(guī)律

1.闖第一關(guān)（填一填）。

（15+85）×7=□×□+□×□

46×72+54×72=（□+□）×□

（A+□）×B=□×□+□×□

2.闖第二關(guān)（用兩種不同的綜合算式解決問題，比一比，哪種方法簡單）。

（1）計(jì)算組合圖形的面積。

（2）大長方形的面積比小長方形多多少平方米？

3.闖第三關(guān)（算一算），用最快的方法計(jì)算。

48×75+52×75

（25+100+20）×4

27×75+27×26-27

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了三種層次的練習(xí)：首先設(shè)計(jì)了根據(jù)乘法分配律的概念進(jìn)行填空的練習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步理解乘法分配律的概念；其次設(shè)計(jì)了乘法分配律的變式延伸練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和敏捷性；最后設(shè)計(jì)了利用乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算，讓學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性。通過三種不同層次的練習(xí)，使不同層次的學(xué)生都得到相應(yīng)的發(fā)展。】

四、分享學(xué)習(xí)成果

師：這節(jié)課你有哪些收獲？請(qǐng)與同學(xué)們分享。

【課后思考】

1.基于數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)自主建構(gòu)。

《乘法分配律》是一堂概念課，概念建構(gòu)起始環(huán)節(jié)，課件呈現(xiàn)兩個(gè)寬相同的長方形拼貼成的組合圖形，請(qǐng)學(xué)生用兩種綜合算式求出組合圖形的面積；再根據(jù)圖形表征兩個(gè)算式的意義；然后讓學(xué)生觀察這兩個(gè)算式的異同點(diǎn)，初步感知乘法分配律的雛形。靈活運(yùn)用規(guī)律環(huán)節(jié)，筆者對(duì)起始環(huán)節(jié)呈現(xiàn)的組合圖形進(jìn)行改編，讓學(xué)生通過解決數(shù)學(xué)問題感受到乘法分配律的變式（a+b+c）×e=a×e+b×e+c×e以及（a-b）×c=a×c-b×c，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。

2.關(guān)注認(rèn)知起點(diǎn)，順應(yīng)學(xué)生思維。

《乘法分配律》是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形和正方形的面積、長方形的周長以及兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算基礎(chǔ)之上進(jìn)行教學(xué)的，課始，從求組合圖形的面積計(jì)算切入，通過列式、表征，初步感知乘法分配律；然后讓學(xué)生用多種綜合算式求出長方形的周長，感悟乘法分配律的原型；接著呈現(xiàn)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算過程，請(qǐng)學(xué)生從筆算中找到乘法分配律的運(yùn)用。通過層層遞進(jìn)式的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生真正感受到乘法分配律的價(jià)值所在。

3.巧妙設(shè)計(jì)練習(xí)，拓展學(xué)生思維。

教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)設(shè)計(jì)不同的學(xué)習(xí)材料讓學(xué)生進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)。在本節(jié)課的鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了填一填、比一比、算一算等不同層次的練習(xí)，首先通過填一填的練習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步理解乘法分配律的概念；其次通過比一比習(xí)題的設(shè)計(jì)，根據(jù)兩種不同的綜合算式構(gòu)建乘法分配律的變式，從而促進(jìn)學(xué)生思維的提升；然后通過算一算，讓學(xué)生感受到乘法分配律能夠使某些計(jì)算變得更加簡便。這樣設(shè)計(jì)，促進(jìn)了學(xué)生的深度思維，培養(yǎng)了學(xué)生的核心思維。