讓靜止的圖形動起來
——《滾動中的圓》教學(xué)設(shè)計與意圖

文|章愷欣 吳玉蘭

在《圓的周長與面積》單元學(xué)習(xí)結(jié)束時，對一個班40名學(xué)生進(jìn)行了測查，其中“已知圓的面積是12.56cm2，求圓的周長”這一題，只有3人不能正確解答；而“一個直徑為1cm的圓，繞著長是5cm，寬是3cm的長方形外側(cè)無滑動地滾動一周，求圓心經(jīng)過的路線長度”這一題，僅有4人能正確解答。可見，學(xué)生已熟練掌握圓周長與面積計算的基本公式，能正確解答靜止?fàn)顟B(tài)下圓的周長與面積的相關(guān)問題。但當(dāng)圖形運(yùn)動變化后，學(xué)生就很難建立運(yùn)動前后圖形的方位和相互的位置關(guān)系，想象圖形的動態(tài)變化過程成了學(xué)生解決問題中的一大難點(diǎn)。

如果能將靜止的圖形動起來，是否能降低學(xué)生思考的難度，搭建學(xué)習(xí)的橋梁？是否利于學(xué)生積累活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)空間觀念？于是，我們進(jìn)行了嘗試，將圓繞多邊形外側(cè)無滑動滾動的問題匯總成一節(jié)數(shù)學(xué)思維拓展課，借助微課動態(tài)呈現(xiàn)圓的運(yùn)動過程，將空間想象與動態(tài)操作相結(jié)合，力圖培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和推理能力，積累活動經(jīng)驗(yàn)。

【教學(xué)過程】

一、運(yùn)動中引入，奠定基礎(chǔ)

1.開門見山，揭示課題。

師：今天我們一起來研究滾動中的圓。（板書課題）

2.出示線段OA。

師：這兒有一條線段，如果把它繞著定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，會形成什么圖形？

生：圓或圓面。

師：（幾何畫板演示）確實(shí)，動點(diǎn)A經(jīng)過的軌跡是一個圓，線段OA運(yùn)動后會形成一個圓面。

【設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)從簡單的線段的運(yùn)動引入，讓學(xué)生初步體會點(diǎn)與線運(yùn)動后會形成新的圖形，為后續(xù)的研究奠定基礎(chǔ)。同時，先想象，再動態(tài)展示變化過程，利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。】

二、操作中探究，突破難點(diǎn)

1.想象圓沿直線滾動。

提出問題：還是這個圓，如果沿著這條直線向前滾動，想象一下，圓心A經(jīng)過的路線會是怎樣的，能用手比劃一下嗎？如果圓滾動了一周，那么圓心經(jīng)過的路線會有多長呢？

在學(xué)生比劃的基礎(chǔ)上用課件動畫演示圓滾動的過程，得出“圓心經(jīng)過的長度=圓的周長”。

2.探究圓沿長方形外側(cè)滾動。

（1）提出問題。

師：如果這個圓沿著長方形的外側(cè)滾動一周，圓心經(jīng)過的路線會怎樣？

（2）獨(dú)立研究。

師：老師為大家準(zhǔn)備了四份不同的學(xué)習(xí)任務(wù)，分別是智慧卡A、B、C、D。

活動建議：

①先看智慧“A卡”，如果還有困難，可以看“B卡”，以此類推。

②選擇一張適合自己的智慧卡進(jìn)行研究，智慧A、B、C卡任務(wù)相同。

學(xué)習(xí)任務(wù)：

如圖所示，一個直徑為1cm的圓，繞著長是5cm，寬是3cm的長方形外側(cè)無滑動地滾動一周。

任務(wù)1：畫出圓心經(jīng)過的路線。想一想，圓心經(jīng)過拐角時，會形成怎樣的路線呢？

任務(wù)2：試著求出圓心經(jīng)過的路線長度。

智慧D卡將任務(wù)1調(diào)整為：畫出圓心經(jīng)過的路線。想一想，圓心經(jīng)過拐角時，會形成怎樣的路線呢？可以先用材料包中的小圓片擺一擺，滾一滾，再畫一畫。

不同層次的智慧卡提供了不同的配圖，分別如下：

智慧A卡

智慧B卡

智慧C卡、D卡

（學(xué)生選擇適合自己的學(xué)習(xí)任務(wù)卡進(jìn)行獨(dú)立研究）

（3）四人小組交流。

交流建議：選D卡的先說，然后按C、B、A卡的順序進(jìn)行補(bǔ)充；推選一人準(zhǔn)備匯報。

（4）全班交流。

師：哪個組愿意上來與大家分享你們的研究成果？

生：我們覺得圓心經(jīng)過的路線的長度是一個大長方形的周長。這個大長方形長5+1=6cm，寬3+1=4cm，周長是（6+4）×2=20cm。所以圓心經(jīng)過的路線長度是20cm。

生：我們組有不同的想法。我們覺得圓在長方形頂點(diǎn)處滾動時，圓心經(jīng)過的路線不是直的，是有弧度的，像這樣。所以圓心經(jīng)過的路線應(yīng)該是原來長方形的周長再加上一個直徑為1cm的圓的周長。

師：看來目前大家有兩種不同的想法，到底哪種是對的呢？

師：請兩方的支持者各自說自己的理由，并請選擇智慧D卡的學(xué)生用小圓片演示圓在頂點(diǎn)處的滾動過程，其他同學(xué)想象圓心經(jīng)過的軌跡是怎樣的。

師：剛才大家都想象了圓心經(jīng)過的路線，爭議最大的就是圓在長方形頂點(diǎn)處無滑動滾動時到底會形成怎樣的路線。接下來，我們就一起來看一段微課，看看正確的路線到底是怎樣的。

（播放微課，微課里動態(tài)展示圓的運(yùn)動過程，并結(jié)合運(yùn)動過程顯示圓心經(jīng)過的軌跡。同時通過與原來長方形的比較以及四個扇形的剪拼，發(fā)現(xiàn)“圓心經(jīng)過的路徑的長度=長方形的周長+圓的周長”）

【設(shè)計意圖：在前期的測查中發(fā)現(xiàn)全班40名學(xué)生中，只有4人能正確解答圓沿長方形一周無滑動滾動的問題。在不能正確解答的36人中，有6人能正確畫出運(yùn)動軌跡，但計算錯誤；有23人嘗試畫出軌跡，但不能正確描畫圓心在長方形頂點(diǎn)處的運(yùn)動軌跡；剩余的7人畫不出軌跡，沒有任何解決問題的方法。可見，面對同一個問題，學(xué)生有著不同的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與能力。因此，本環(huán)節(jié)借助“分層智慧卡”為學(xué)生提供了不同提示的圖示，并為學(xué)習(xí)能力最弱的學(xué)生提供了圓片，使他們能借助操作想象運(yùn)動過程。“分層智慧卡”的設(shè)置，為不同層次的學(xué)生提供個性化的幫助，使每一層次的學(xué)生都能借助“分層智慧卡”獨(dú)立研究并獲得成功。

自主研究后，本環(huán)節(jié)還安排了交流過程，呈現(xiàn)學(xué)生不同的研究成果。在雙方辨析的基礎(chǔ)上播放微課，動態(tài)演示運(yùn)動過程，呈現(xiàn)運(yùn)動軌跡。這樣的處理，使學(xué)生先經(jīng)歷想象、審辯的過程，再借助微課，使靜態(tài)的圖形動起來，很好地建立了圖形運(yùn)動前后相互的位置關(guān)系，更利于學(xué)生高階思維與空間觀念的培養(yǎng)。】

三、猜測后驗(yàn)證，得出規(guī)律

1.初次研究，提出猜想。

師：剛才小圓沿著長方形外側(cè)滾動一周，圓心經(jīng)過的路線長度等于長方形的周長加上圓的周長。那如果沿著三角形、五邊形的外側(cè)無滑動滾動，圓心經(jīng)過的路線長度又會有多長？

（學(xué)生提出各種猜想）

2.再次研究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（1）獨(dú)立研究。

研究建議：同桌分工，一人研究一個圖形；畫一畫、算一算，有困難可以動手滾一滾；完成后可以向同桌介紹研究成果。

（2）全班交流。

生：我研究的是圓沿三角形外側(cè)無滑動滾動，路線是這樣的。我發(fā)現(xiàn)圓心經(jīng)過的路線是“圓的周長+三角形的周長”。

生：我研究的是圓沿五邊形外側(cè)無滑動滾動，路線是這樣的，我發(fā)現(xiàn)圓心經(jīng)過的路線是“圓的周長+五邊形的周長”。

（3）驗(yàn)證。

播放微課，驗(yàn)證研究結(jié)果是否正確。以下是微課中的部分畫面。

（4）質(zhì)疑。

師：看完微課，大家還有什么要問的嗎？

生：微課里幾個扇形拼在一起看上去正好是一個圓。是不是真的是一個圓？會不會有誤差？

生：如果不拼，能驗(yàn)證剩下的幾個扇形合在一起是一個圓嗎？

師：有人能解決嗎？

生：來看我畫的這幅圖。

生：這是一個周角，等邊三角形的每個內(nèi)角都是60°。360°-60°=300°，再去掉邊上兩個長方形的兩個直角，300°-90°×2=120°。所以每個扇形圓心角都是120°，120°×3=360°，正好可以拼成一個圓。

（五邊形研究過程略）

小結(jié)：小圓沿著長方形、等邊三角形和五邊形外側(cè)無滑動滾動一周，圓心經(jīng)過的路線長度都是圓的周長加里面圖形的周長。

3.應(yīng)用規(guī)律，進(jìn)行推理。

師：如果沿六邊形、七邊形等的外側(cè)無滑動滾動，圓心經(jīng)過的長度又會是怎樣的？現(xiàn)在你有什么想說的？

生：圓沿任意多邊形外側(cè)無滑動滾動，圓心經(jīng)過的路線長度=圓的周長+任意多邊形的周長。

【設(shè)計意圖：在突破了“圓心在圖形頂點(diǎn)處滾動時的路線”這一難點(diǎn)后，本環(huán)節(jié)設(shè)計了圓沿任意多邊形外側(cè)無滑動滾動的研究，從簡單的長方形，逐步走向三角形、五邊形以及其他多邊形，從特殊逐漸走向一般，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“想象猜測、操作驗(yàn)證、歸納發(fā)現(xiàn)”的過程，體會數(shù)學(xué)思想。同時，從“想象、畫路線”“微課動態(tài)操作”逐步走向用數(shù)學(xué)的方法說理，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解釋、說明問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。這樣的“想-做-想”的過程，也利于學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。】

四、梳理中小結(jié)，練習(xí)提升

提出新問題：研究到這兒，你有什么想說的？你還有什么想研究的？

生：我還想研究圓在圖形內(nèi)部滾動，圓心經(jīng)過的路線是不是也會有規(guī)律。

生：我還想研究圓在圖形內(nèi)部或外部滾動時，掃過的面積是怎樣的。

指明后續(xù)研究方向：運(yùn)動中的圓還有很多值得我們研究的地方，有興趣的同學(xué)課后也可以像今天這樣，想一想，畫一畫，遇到困難也可以動手做一做，看看是否存在規(guī)律。

【設(shè)計意圖：本課的最后，讓學(xué)生繼續(xù)提出還想研究的問題，將學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行了延伸，從圓在圖形外側(cè)的滾動走向圖形內(nèi)側(cè)的滾動，從周長的研究走向面積的探索，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的欲望。同時，教師小結(jié)中的“想一想，畫一畫，做一做”，也是學(xué)習(xí)方法的梳理，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)。】