在經歷中發現 在探究中建模
——“分率變化引起面積變化”教學實錄與評析

江蘇省常州市懷德苑小學 徐麗華

【內容簡述】蘇教版六年級上冊第五單元“分數四則混合運算”后安排了“動手做”，這一內容是這樣描述的：

【教學目標】

1.幫助學生借助數學實驗探索分率變化引起面積的變化規律問題的模型。

2.讓學生經歷“提出猜想—探究驗證—總結應用”的探究過程，進一步發展學生推理的能力，提升學生數學思維力，激發學生學習數學的興趣。

【教學重難點】探究解決此類面積變化的模型規律。

【學情分析】

六年級學生具有較強的計算能力和較豐富的解決問題能力，會根據題意選擇適當的方法和策略解決實際問題。因而本課教學的重難點在于幫助學生調動已有知識經驗，讓學生在畫圖、操作、計算中觀察、比較、總結，在一次次經歷中研究出分率變化引起面積變化的規律，促使學生主動探究，建構知識模型，提升思維品質。

【教學準備】磁力片、方格紙、學習實驗單。

【教學設計】如下。

一、情境中激趣，初建模型

師：我們學校自從開辟了“魔法農學院”，每個班都在自己的自留田上種植蔬菜，為了獎勵我們班種植效果不錯，學校想把咱班菜圃擴大些，你有什么辦法嗎？

生：把長增大，或者把寬增大。

生：可以把長和寬同時增大。

師：是呀！如果把長、寬增大，菜圃的面積也就隨之變大了。今天這節課我們就來研究面積的變化規律。

評析：課始，結合學校開展的品格提升勞動教育，創設魔法農學院種植需要擴大面積的情境，引發學生探究面積變化規律的熱情和欲望，讓學生感知要擴大長方形面積需要增大長或寬，初步建構“形”與“量”的變化結合，為后面進一步探討整體建構鋪下伏筆。

二、多維中探究，經歷模型

（一）第一次實驗：從特例出發建構模型

師：猜想對嗎？怎樣得到正確的結論？

生：可以動手畫一畫，算一算；可以拼一拼，比一比。

師：那就采用你們自己的方法動手實驗一下吧！

出示實驗要求：

1.用自己喜歡的方法：可以拼一拼、畫一畫、比一比等，表示出變化后的長方形。

2.寫一寫或算一算：變化后長方形的面積是原來的幾分之幾？

生1：用磁力片拼一拼。

假設長是4厘米，寬是2厘米，就用8塊磁力片拼成一個長方形，根據題意，長和寬分別增加那么現在長方形用磁力片拼成的新長方形就需要用到18塊，新長方形的面積與原面積的比是18:8，化簡成分數后就是

師：通過磁力片的拼擺，讓我們從比與分率的角度思考，能在直觀的操作中體會到新面積與原面積之間的關系。

生2：用方格紙畫一畫。

借用方格紙圖更容易看出新長方形和原長方形之間的面積關系。從圖中直接能得出新長方形的面積是原長方形面積的

師：不管是剛才的磁力片，還是現在的畫圖，大家采用的實驗工具不同，但通過數形結合的方式都能獲得同一種結論。

生3：用計算的方法。

原長方形長4厘米，寬2厘米，新長方形的長是6厘米，寬是3厘米，面積是6×3=18（平方厘米），而原長方形的面積是8平方厘米，新長方形的面積就是原來面積的

師：計算出數據，可以精確地算出結果，得到結論。

評析：探究分率的變化引起長方形面積變化規律，需要從具體的圖形、數據入手逐步建構。為此，教師創設開放的問題情境，讓學生先進行猜測，然后從“拼一拼”“比一比”“畫一畫”“算一算”等環節逐步驗證，學生從簡單的特例開始研究，把抽象的比較在直觀具體的素材和學生親身經歷豐富多彩的學習操作活動中，發現新長方形和原來長方形面積間的關系，進而為研究兩者面積關系建構模型，為特例到眾例的探究做好充分的準備。

（二）第二次實驗：從眾例出發建構模型

師：剛才我們通過拼一拼、畫一畫、算一算，發現將這個長4厘米，寬2厘米的長方形的長和寬分別增加得出變化后的面積是原來的研究到這，你們有什么疑問嗎？

生：僅從一個長4厘米，寬2厘米的長方形，得出變化后的面積是原來的那么其他的長方形會不會還是原來的

師：是呀！每位同學想的長方形可能都不一樣，將它的長和寬分別增加變化后的面積又會是原來的幾分之幾呢？這就需要每位同學再次去求證。

出示實驗要求：

（1）舉例驗證：用你自己喜歡的方法去比較。

（2）交流分享：小組匯總所有情況，說一說形狀不同的長方形，你又有什么發現？

生1：我的長方形長是10厘米，寬是6厘米，經過計算比較發現變化后長方形的面積是原來的

生2：我的長方形長是12厘米，寬是8厘米，也能得出變化后長方形的面積是原來的

師：雖然同學們心中的長、寬都不一樣，但是都能得出一致的結論。仔細觀察一下，得出的結論與什么相關？與什么無關呢？

生：與長和寬的數據沒有關系，但與長和寬增加的分數有關。

評析：學生在第一次特例實驗操作中已經初步建構面積變化間的關系，但是數學學習的過程，往往都是從特殊開始，通過不斷驗證、總結、歸納，得出規律。教學中應注重讓學生經歷從特殊到一般的數學思想。

（三）第三次實驗：從多維度出發建構模型

師：長和寬的數據不斷在變化，我們為了方便研究，有什么方法可以表示出所有情況？

生：可以用字母來表示。

師：那原來的面積就是ab，根據題意，你能用含有字母的式子表示現在的長、寬和面積嗎？自己動手試一試。

師： 我們通過演繹推理，用字母表示所有的例子，現在我們可以得出變化后長方形的面積是原來的如果用積的變化規律能否解釋？誰能試著說一說？

師：那長方形面積的變化與什么有關？

生：與分率有關。

評析：學生在舉例過程中發現無法把所有情況一一列舉，當出現矛盾沖突后想到用數學符號來抽象概括。但是符號化思想的形成需要一個循序漸進的過程，因此，用字母表示所有情況不能作為一個單純的知識點學習，需要讓學生在一個又一個問題情境中關注學習方法，關注能力技巧訓練，把握其中滲透的數學符號化思想，為算術思維向代數思維的過渡打下堅實的基礎。

三、深度中思考，完善模型

（一）第四次實驗：從深層次出發建構模型

四、變式中應用，拓寬模型

師：由于菜圃面積的擴大，影響到了旁邊花圃的面

評析：通過變式梯度練習，讓學生在面對復雜問題時，能夠根據問題引導對知識進行系統梳理，利用建構的已有知識模型順勢遷移，將數形巧妙結合，從而找到最優方法解決問題，突出思維思考，使數學深度學習真實地發生，讓學習更深入、更有效。

五、回顧中反思，積累模型

師：這節課我們一起探究了分率變化引起面積變化的規律，回顧一下，你是怎樣得出規律的？還有什么新的疑惑或是想研究的問題？準備怎么去探究？

評析：在一次次回顧總結中幫助學生系統梳理知識，形成解決問題的策略模型，為今后研究新問題積累經驗。