別讓粗心成為借口
——初中數(shù)學(xué)直觀錯(cuò)誤淺析

□永安市第一中學(xué)附屬學(xué)校 魏蘭

一、對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的膚淺性

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，對(duì)一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理沒(méi)有深刻的理解，僅僅停留在表面概括上，無(wú)法把握事物的本質(zhì)。因此學(xué)生在分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往只善于處理一些直觀的或熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而對(duì)那些間接使用定理的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往不能抓住其本質(zhì)。

例題一：6a-a=6

對(duì)于剛從小學(xué)升上初中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，減去即等于消失，所以這樣的錯(cuò)誤并不少見(jiàn)，他們沒(méi)有意識(shí)到6a是6個(gè)a，而只是簡(jiǎn)單地讓字母a 去除。同時(shí)，6a 減a 也涉及合并同類項(xiàng)的概念，正是由具有抽象性的字母計(jì)算來(lái)代替具體數(shù)字的一個(gè)重要概念。初中學(xué)生正處于經(jīng)驗(yàn)型思維到邏輯型思維轉(zhuǎn)換的過(guò)程，無(wú)法將抽象的概念運(yùn)用于實(shí)際的題目中，往往做題時(shí)還是依賴自己的直觀感知。甚至到了初三，這樣的問(wèn)題還會(huì)出現(xiàn)，個(gè)別學(xué)生會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤

二、僅憑直觀，粗淺判斷

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生一些直覺(jué)是正常的，有時(shí)還是很可貴的，但是數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，產(chǎn)生直覺(jué)后還要周密地思考、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝评?、精密地?jì)算，否則以眼睛的直覺(jué)代替理性的思維就很可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例題二：如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到CE，連接BE，若∠DAB=10°，則∠ABE是 A. 75°B.78°C.80°D.90°

因?yàn)槠渲姓f(shuō)明了是旋轉(zhuǎn)線段CD，應(yīng)該是得到△BEC 全等于△ADC，從而得到∠EBC=∠DAC=40°，可是學(xué)生只是根據(jù)看到圖形，經(jīng)過(guò)最簡(jiǎn)單的直觀判斷，選D的人居多。天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“當(dāng)知識(shí)通過(guò)感官被直接提供給心靈時(shí)，是模糊、混亂和矛盾的，從而也就不可靠的?！苯處熞獣r(shí)刻教育學(xué)生確定事物的本質(zhì)，不能只靠感覺(jué)，應(yīng)該多一些理性的思考。

三、受思維定式的影響

學(xué)生受先前形成的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、習(xí)慣的影響，容易形成認(rèn)知的固定傾向，從而影響后來(lái)的分析判斷，形成思維定式。在環(huán)境不變的條件下，定式會(huì)使人能夠應(yīng)用已掌握的方法，迅速解決問(wèn)題，但是如果環(huán)境改變，也會(huì)影響人們的創(chuàng)造性。

例題三：一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)選擇一條路徑，那么它獲得食物的概率是多少？

圖1

圖2

圖1和圖2看上去圖形非常類似，只不過(guò)圖1有六個(gè)樹枝，而圖2 有七個(gè)樹枝。但是他們的概率卻完全不一樣。圖1 找到食物的概率是而圖 2 找到食物的概率是學(xué)生通常用求圖1 的概率方法來(lái)做第二幅圖的題目，卻得出了錯(cuò)誤答案。沒(méi)有意識(shí)到圖1中每個(gè)樹枝是等可能性的，而圖2卻不是。學(xué)生常常尋求表面上相似的東西，而忽略結(jié)構(gòu)上、本質(zhì)上的差異，最終導(dǎo)致理解錯(cuò)誤。因此作為教師要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，首先應(yīng)該明白對(duì)一個(gè)問(wèn)題不要急于按原先的套路求解，應(yīng)該從模仿的路子跳出來(lái)，避免按部就班，而要先仔細(xì)地觀察，學(xué)貴存疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)，這才有可能讓學(xué)生針對(duì)性地解決問(wèn)題。

四、知識(shí)的負(fù)遷移

知識(shí)的負(fù)遷移是學(xué)生形成思維障礙的重要原因，面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生首先是聯(lián)想與之形似或意似、且熟悉的問(wèn)題，然后遷移解決問(wèn)題的方法，將當(dāng)前的問(wèn)題與頭腦中已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間建立起某種聯(lián)系。這種以類比、聯(lián)想為基礎(chǔ)的思維活動(dòng)，如果伴隨著突破或者創(chuàng)新，那么就是課改所倡導(dǎo)的創(chuàng)新思維能力。如果只是一味地機(jī)械照搬，那么思維會(huì)呈現(xiàn)呆板，產(chǎn)生錯(cuò)誤。如學(xué)習(xí)了有理數(shù)加法法則對(duì)乘法法則的學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生負(fù)遷移，學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法對(duì)冪的乘方產(chǎn)生負(fù)遷移。

五、分析問(wèn)題不夠全面

由于初中學(xué)生的年齡小，知識(shí)面較為狹窄，邏輯思維能力較為薄弱，分析問(wèn)題時(shí)通常不夠全面細(xì)致，而且通常在潛意識(shí)中容易出現(xiàn)臆斷，造成解題過(guò)程中常常出現(xiàn)顧此失彼的現(xiàn)象。在學(xué)生進(jìn)入初中高年級(jí)以后，數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的面加寬、難度明顯增大，而且有些問(wèn)題已帶有開放性的特征，如果學(xué)生一味依靠模仿與死記硬背的學(xué)習(xí)方法就難以奏效。表現(xiàn)在數(shù)學(xué)習(xí)題的解題中，就是缺少開放性思維方法，思路較為狹窄，往往就是顧此失彼，或者是解答過(guò)程簡(jiǎn)單化。

例題四：（17 年福建）如圖，矩 形ABCD中 ，AB= 6,AD= 8P,E分別是線段AC、BC上的點(diǎn)，且四邊形PEFD為矩形。

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

△PCD是等腰三角形有三種情況PC=PD，CP=CD，DP=DC但是很多學(xué)生會(huì)被原題中給出的圖形固定住思維，負(fù)略了P、E是可以動(dòng)的，只考慮了DP=DC。

數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。教師在授課過(guò)程中應(yīng)該有意識(shí)地強(qiáng)調(diào)和培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，不要受現(xiàn)有圖形和既定做法的影響。

六、將圖形當(dāng)成已知條件

將圖形中出現(xiàn)的貌似的形狀當(dāng)成條件來(lái)解答，這在初中，尤其低年級(jí)學(xué)生群體中更是屢見(jiàn)不鮮。由于年齡段的特征，初中學(xué)生的智力還處于較為低級(jí)的階段，對(duì)新生事物的認(rèn)識(shí)、理解能力較差，而直觀感知的能力卻較強(qiáng)，他們常常會(huì)將圖形中出現(xiàn)的類似等邊三角形、直角三角形的圖形當(dāng)成已知條件來(lái)應(yīng)用，教師應(yīng)該及時(shí)提醒、糾正，引導(dǎo)學(xué)生由形象思維向抽象思維過(guò)渡。

例題五：已知：AB 是⊙O 的直徑，AB=4，∠ABC=30°，D 是BC中點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)D 作DE⊥AC。求證：DE與⊙O相切。

這道題學(xué)生做輔助線通常是連接AD，然后說(shuō)明因?yàn)锳B為直徑，所以∠ADB=90°，但是實(shí)際上題目沒(méi)有任何語(yǔ)句說(shuō)明點(diǎn)D 在圓上，這個(gè)結(jié)論是需要證明的。但是學(xué)生就是將圖中看到的當(dāng)成了已知條件，想當(dāng)然地認(rèn)為，點(diǎn)D已經(jīng)在圓上了，忽略了對(duì)它的證明過(guò)程。

上述這些錯(cuò)誤在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中并不少見(jiàn)，學(xué)生經(jīng)常僅靠直觀判斷犯想當(dāng)然的錯(cuò)誤，當(dāng)代科學(xué)家波普爾認(rèn)為：“錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素?！币虼私處熢诮虒W(xué)過(guò)程中應(yīng)不斷地分析教材、研究學(xué)生，將那些容易出錯(cuò)的問(wèn)題作為范例，認(rèn)真上好錯(cuò)例分析課，直擊要害，讓學(xué)生體驗(yàn)錯(cuò)誤，探究癥結(jié)所在。而且應(yīng)力爭(zhēng)在課堂上給學(xué)生的不是一道題目的正確答案，而是一種思維方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的所在以及錯(cuò)誤發(fā)生的原因，從中吸取教訓(xùn)，舉一反三。在辨析錯(cuò)因、啟發(fā)糾錯(cuò)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、廣闊性、深刻性和創(chuàng)造性，讓學(xué)生在錯(cuò)誤中尋求正確的方向，反思錯(cuò)誤的原因。然后對(duì)癥下藥，形成正確合理的認(rèn)識(shí)，找到知識(shí)的薄弱環(huán)節(jié)并盡快彌補(bǔ)，力求在以后的解題中少出現(xiàn)錯(cuò)誤或不出錯(cuò)，這也是學(xué)生反思成長(zhǎng)的過(guò)程。

教師應(yīng)該盡量在教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)理性思維。初中學(xué)生的理性思維發(fā)展是靠數(shù)學(xué)來(lái)完成的。特別是學(xué)生的思維正處于從直觀歸納向邏輯抽象思維轉(zhuǎn)變的階段。后續(xù)的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)思維嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性的要求更高，而且數(shù)學(xué)的理性思維方式遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了數(shù)學(xué)試題的本身，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)甚至人文科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中，也對(duì)學(xué)生今后生活長(zhǎng)期發(fā)揮積極的作用。所以不能只靠眼睛看到的表面現(xiàn)象來(lái)直觀判斷事物的屬性，應(yīng)該學(xué)會(huì)更深入理智地思考問(wèn)題的本質(zhì)，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶給學(xué)生真正的意義。