換個角度看軸對稱圖形

盧奕斌

[摘? 要] 許多課，大家上得大同小異，除了教材編寫的原因之外，還因為我們對某個概念的認識是相近的。一堂幾乎改頭換面的數學課，背后更多的是對某個概念地進一步理解。對于北師大三下《軸對稱（一）》一課中軸對稱圖形的概念，我們普遍把其定義成“對折后兩邊能夠完全重合的圖形。”張奠宙教授在《小學數學教材中的大道理》一書中從剛體運動的角度對“軸對稱圖形”有不一樣的認識，以此為據，換個角度看《軸對稱（一）》一課，有可以改進的空間。

[關鍵詞] 角度;軸對稱圖形

緣起

佛家有句話，叫“相由心生”，說的是你的內心決定你的外貌。許多課，大家上得都差不多，除了教材編寫的原因之外，還因為我們對某個概念的認識是相近的。網上有句名言，“喬布斯重新定義了手機”，他把手機定義成了一個微型電腦，一個電話，一個瀏覽器，從此實體鍵盤開始遠離手機，只剩一個大屏幕。手機再次長成了大同小異的樣子。我們的數學課堂也是一樣，在一段時間里，對某個概念的教學總是相近的，但如果有專家對某個概念進行了重新定義，某位名師進行了精彩的演繹，和這個概念相關的課堂就可能會發生很大的變化。寒假里，筆者研讀了一本書張奠宙老師的《小學數學教材中的大道理》，他對軸對稱圖形下了一個不太一樣的定義，如果從他給的定義出發來上一堂《軸對稱圖形》課，應該會有一個不太一樣的課堂。

軸對稱圖形

一、教材這樣編

先看看北師大三下課本《軸對稱（一）》是怎么編排這一內容的，教師用書上確定的學習目標是：

1. 通過觀察和操作活動，初步認識軸對稱圖形。

2. 會直觀判斷軸對稱圖形，能用對折的方法找出軸對稱圖形的對稱軸。

所以教材提供了如下主題圖

這是一組由圖案、圖形和文字組成的材料，讓孩子通過觀察，發現這些圖形兩邊一樣，通過操作折一折驗證兩邊一樣，從而引出兩個概念：軸對稱圖形和對稱軸。后面是幾組直觀判斷和對折找對稱軸的材料。

一路下來，許多老師給軸對稱圖形下的下定義就是對折后兩邊能夠完全重合的圖形。一些負責任的老師還把這句話抄下來讓孩子去讀，去背。在實際教學中，孩子們對以上圖形并不會有爭議，部分孩子很難接受的是長方形的對角線居然不是對稱軸，平行四邊形居然不是軸對稱圖形，它們明明也分成了完全一樣的兩部分，怎么就不行了。問題出在哪？原因之一是孩子們對軸對稱圖形的理解停留在“相同”，我們在帶孩子們認識的第一份材料里，帶給孩子對軸對稱圖形的初體驗就是兩邊一樣，雖然安排了對折環節試圖去強調“重合”的相同，但是沒有讓孩子看見在“重合”的相同之外還有“不重合”的相同;原因之二有方法難實現，孩子們能接受對折是驗證軸對稱圖形的好方法，可面對印在紙上的圖形，要在頭腦中完成對圖形進行對折的想象實在太難了。

二、教授這樣說

張奠宙教授是怎么看待這一內容的？

平移、旋轉和翻折這三種運動是最基本的平面圖形運動。在小學數學教材中，往往把平移旋轉放在一起，而把翻折放在“對稱”一節，并稱作軸對稱。為了對剛體運動有一個完整的認識，并為中學里學習平面幾何打基礎，建議明確提出“翻折”運動，并和平移、旋轉放在一起考查。

張奠宙教授的觀點和課本最大的差別在于：課本是從名詞的角度來介紹軸對稱圖形，有的圖形具有軸對稱的性質，怎么知道？對折一下，用是否重合做判斷。張老師認為應該從動詞的角度來認識軸對稱運動，把一個圖形翻過來，得到一個位置不同的圖形。如果從名詞的角度出發，我們的課堂更多的精力放在觀察、判斷、驗證上，如果從動詞的角度出發，我們的課堂應該往認識翻折，想象翻折上使點力。可不可以在觀察操作之外，增加一段翻折的體驗，在保證認識名詞的“軸對稱圖形”的同時，也認識一下動詞的“軸對稱變化”？

三、我想加一環

在經歷完教材安排的觀察、發現、驗證、總結之后我增加了這樣一個環節：

問孩子們數學的平面圖形里有軸對稱圖形嗎？大部分情況下都會有孩子提到平行四邊形，如果沒有孩子提出，教師也可以自己給出平行四邊形。問題提出后就聚焦問題：要知道平行四邊形是不是軸對稱圖形，你會怎么折？

根據學生回答，呈現各種折痕

師：仔細觀察，同學們想到的各種折法都做到了一件事，這件事是什么呢？

生：兩邊完全一樣。

師：接下來我們就要實際驗證一下，看看對折之后——

生：能不能完全重合。

師：同桌合作，完成所有折痕的操作，并總結你的發現。

在操作之后，孩子們會發現所有的折法都不符合軸對稱圖形的要求，明明兩邊看著完全一樣，折起來卻不能完全重合，這對大部分孩子而言，打擊是巨大的，是觀念不能承受之重。

人人有話說：兩邊完全一樣并不一定是兩邊能夠完全重合。

進一步啟發學生思考：為什么這些圖形兩邊完全一樣都不能完全重合呢？讓孩子們選取幾個上臺演示，看見把折的那一邊翻了一下，體會“翻折”兩字。

如果我們選取這個平行四邊形的一半——三角形為材料，翻折一下，你能創造出怎樣的軸對稱圖形？

孩子們實物操作用三角形在作業紙上翻折，描出軸對稱圖案

觀察翻折的兩邊一樣，和不是翻折的兩邊一樣有什么不一樣？

教師根據學生回答，旋轉這些圖形，感受軸對稱圖形的美——平衡

結語

一個概念的定義發生變化，一堂課的樣子就發生變化，我不止一次見證這樣的情況發生，從教多年，觸動最大的一堂課是：認識方程。

在很多年以前，老師們認可的方程的定義就是：含有未知數的等式。我們的課堂可以是這樣的：教師不斷在天平兩邊放180克香蕉，未知質量的蘋果和300克的砝碼，生成許多學習材料：x+30=180，180+□=300，180+x=300，180+x>300，180+x<300……接著，教師指導學生把以上式子進行分類，先把式子分成等式和不等式，再把等式分成有未知數和沒有未知數，最后給含有未知數的等式一個名稱，叫作方程。

近兩年，多次聽到完全不同的版本，有的老師認可張奠宙老師的定義：為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系。他的課堂就是為了讓學生感受列方程的目的是尋找未知數，關鍵是等式關系。有的老師認可史寧中老師的定義：方程描述的是現實世界中與數量有關的兩個故事，其中一個用字母表示未知量，這兩個故事有一個共同點，數量相等。他的課堂就是為了讓學生感受兩個主角干同一件事。

之所以會呈現出兩類三堂天差地別的《認識方程》課，原因都在于不同的人心里裝了一個不一樣的方程的概念。勝者就是那個真正抓住方程的本質的老師。從前，筆者更偏向于看名師實錄型圖書，與其告訴我為什么要那樣做，不如直接告訴我應該怎么做;現在，我卻越來越偏愛看偏理論的圖書，不必告訴我應該怎么做，請告訴我這到底是什么東西，它從哪里來，要往哪里去。那一堂堂迥然不同的課的背后是對概念理解的差異，是對孩子理解的差異，是對課堂理解的差異，是我們的認知定義了我們課堂的樣子。