把握幾何問題本質 彰顯習題教育價值

白雪峰 張燕霞

[摘? 要] 基于對一道課本習題證明拓展過程的深度反思，闡明了改進和優化例題、習題教學的三條基本策略，旨在引導教師聚焦培養學生數學思維品質、發展學生數學學科素養的育人目標，深度挖掘教材中例題、習題所具有的拓展延伸和探究發現的教育價值.

[關鍵詞] 課本習題;證明拓展;教學反思;教育價值

眾所周知，教材（也稱教科書或課本）是依據課程標準編制的，它既是課程資源的核心，又是系統反映學科內容的教學用書，也是學生系統學習科學文化的主要來源[1]. 近年來，研究如何有效“用教材教”已然成為研究教學活動的重要組成部分.

數學教材當然也不例外，它是數學教師備課、上課、布置作業和評定學生學業水平的主要依托.在數學教材中，包含了目錄、章引言（含圖）、正文、練習、習題、章小結等構成要素，這些內容也成為教師落實數學課程目標的重要途徑. 特別是，教材中的例題和習題是教材編者認真遴選、深入研究、精心構思、反復研討并最終敲定的，對于學生理解和掌握數學基礎知識、形成和發展數學基本技能都具有重要的示范意義和指導價值，其中一些經典例題、習題的解題思路和方法往往也具有一定的典型性和拓展性，是學生獲得數學知識方法、增強數學思維品質、提高數學解題能力和發展數學核心素養的重要載體，需要數學教師提高認識、倍加重視，通過精心研究、精致設計和精準實施，切實發揮教材例題、習題的育人功能和學科價值. 下面，筆者就以人教版九年級數學教材上冊習題24.2第12題為例，談談這方面的實踐與思考，期待與同行交流.

原習題證明思路解析

AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線相垂直，垂足為點D，求證：AC平分∠DAB.

問題分析 從過去到現在，人教社將上述問題不是作為例題，就是作為習題編入初中幾何教材. 在初中升學考試中，本題及其逆命題作為試題也被考查多年，足以見得其在圓的內容中的典型性. 圓的背景下所涉及的定理很多，比如圓周角定理、切線的性質與判定定理、弦切角定理、垂徑定理等等，這些內容對培養學生的識圖能力、辨析能力、推理能力、應用能力以及有條理的思考和表達能力等，都具有十分重要的作用. 經過多年教學和探究，筆者發現大家對本題的拓展卻是極少的，實際上，該題的拓展探究過程同樣具有強大的數學教育價值.

正如G·波利亞所強調的：在一個精心構造的棋局中，沒有一顆棋子是多余的. 因此，在走每一步棋時，需要將所有的棋子都考慮在內[2]. 可以說，解題就像下棋一樣，要想正確迅速地解答問題，就必須通過認真審題，準確把握題設中的一切條件和數據，充分理解所求結論及其可能轉化的表達形式. 通過審題，不難看出本習題中（如圖2）主要有三個重要條件，即：⊙O的直徑AB、⊙O的一條切線及其切點、垂直于該切線的線段AD.而本題所要求證明的結論則是：AC平分∠DAB.如果我們將結論的表達形式進行轉化，也就是要證明兩個角相等，即∠DAC=∠BAC.下面，筆者給出本題的三種證明思路，以便為后續的拓展及其證明奠定基礎.

思路1 如圖2，連接OC，在⊙O中，因為OA=OC，所以∠1=∠2.又因為DC是⊙O的切線，所以OC⊥DC.因為AD⊥CD于點D，容易得到AD//OC，所以∠3=∠2，這樣就得到∠1=∠3，所以AC平分∠DAB.

思路2 如圖3，連接BC，因為AB為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，得到∠2+∠3=90°.又因為DC為⊙O的切線，所以根據弦切角定理可得∠1=∠2，等量代換得到∠1+∠3=90°.進一步的，因為AD⊥DC于點D，所以∠4+∠3=90°，根據同角的余角相等，得到∠1=∠4，所以AC平分∠DAB.

思路3 如圖4，設AD與⊙O相交于點E，連接BE，則∠AEB=90°.因為AD⊥DC于點D，所以∠ADC=90°，而且DC∥EB.又注意到DC為⊙O的切線，進而根據切線的性質定理和垂徑定理可以證得EC=CB，故 = .所以∠1=∠2，結論得證.

說明 縱觀上述三種證明思路，大家可以明顯看出其中的聯系與區別. 思路1是學生使用較多的一種方法，這或許緣于原教材在把它編為例題時，證明過程采用的就是思路1，旨在指導學生復習鞏固切線的性質定理.在思路2中，筆者采用了弦切角定理，雖然這是教材中沒有、課標中也不要求的內容，但對于學有余力的優秀生的確不失為一種簡潔明快的有效方法. 在思路3中，筆者根據“平行弦夾等弧”這個重要定理的“推廣”，直接獲得結論 = .我們知道，切線是割線的一種極端情形，即當割線與圓的兩個交點重合時，割線就變為切線了.事實上，當兩條平行弦中的“一條弦”變化為“切線”時，結論依然成立，即“仍夾等弧”. 因為教材中沒有這個定理，對此同學們還不十分熟悉，因此，在解題教學過程中，需要教師利用幾何畫板軟件，通過動態演示割線變切線的過程，幫助學生理解這一結論的正確性.對于數學思維比較敏捷的學生，可以通過深度解析兩種思路，引發學生深度思考，指導學生開展比較研究，從而進一步發展學生的邏輯推理素養.

原習題的拓展探究

基于原習題的證法，我們可以連接BC. 如圖5，因為AB為⊙O的直徑，所以BC⊥AC，也就是說BC垂直于∠DAB的平分線AC. 若再延長BC與AD的延長線交于點E，則△ABE為等腰三角形，即AB=AE，BC=CE. 當我們把原習題變化為圖5后，就為原習題的拓展做好了準備.

1. 拓展1將圓的切線變為割線

在圖5中，DC為⊙O的切線，筆者把切線DC變化為⊙O的割線DC C ，此時，所得結論是什么呢？這是一個值得研究的問題.

事實上，我們可以從以下兩個角度進行思考：

思考一 根據文[3]中的分裂合并原理可以知道，通過分裂三角形中特殊的線，比如三角形的中線、高線或角平分線，可以構造出非常多的幾何圖形，發現并獲得更多圖形的性質和結論，進而編制出非常有趣的幾何問題. 如果將原習題中∠DAB的平分線AC“分裂”為∠DAB的內等角線AC ，AC ，即∠DAC =∠BAC ，又會得到怎樣的結論呢？

思考二 原習題演變為圖5后容易得到AB=AE，而當切線DC變化為割線DC C 后，AB不變，AE變化為AE ，AE ，那么AE ，AE 與AB又存在怎樣的數量關系呢？是2AB=AE ·AE ？還是AB2=AE ·AE ？經過反復論證，可以判斷AB2=AE ·AE .

同樣地，圖5中BC=CE，當CE變化為C E 和C E 后，可以判斷BC ·BC =C E ·C E .

拓展問題1 如圖6，AB為⊙O直徑，點C ，C 在⊙O上，過點A作⊙O割線C C 的垂線AD，D為垂足，連接BC ，BC 并且延長，與AD的延長線分別交于點E ，E .

求證：（1）∠DAC =∠BAC ;

（2）AB2=AE ·AE ，BC ·BC =C E ·C E .

證明：（1）如圖6，設AD與⊙O交于點G，連接BG，因為AB為⊙O的直徑，所以∠AGB=90°. 又因為AD⊥DC C ，所以∠ADC =90°. 于是得到GB∥DC C .根據平行弦夾等弧，所以 = ，進而證得∠DAC =∠BAC .

（2）在⊙O中，因為AB為直徑，所以∠AC B，∠AC E ，∠AC B和∠AC E 都等于90°. 在Rt△AC B和Rt△AC E 中，容易證得∠BAC =∠E AC ，所以Rt△AC B∽Rt△AC E . 根據相似三角形的性質，我們可以得到下面的等式，即 = = . ①

再根據∠BAC =∠E AC ，可以證明Rt△AC B∽Rt△AC E ，進而得到下面的等式，即 = = . ②

由上述等式①和②可以得到 = · =1，所以AB2=AE ·AE ;

再由①與②還可以得到 · = · =1，所以BC ·BC =C E ·C E .

2. 拓展2將圓的直徑“分裂”為平行且相等的弦

進一步地，還可以根據文[3]中的分裂合并原理，把圖5中⊙O的直徑AB“分裂”為平行且相等的弦（A B =A B 且A B ∥A B ），又可以形成下面的問題. [4]

拓展問題2 如圖7，在⊙O中，弦A B =A B ，且A B //A B ，點C在 上，過A ，A 作過點C的切線的垂線，垂足分別為D ，D ，連接B C并延長交A D 的延長線于點E ，連接B C并延長交A D 的延長線于點E ，連接A C，A C. 通過類似于拓展1的探究過程可以得到如下結論：

求證：（1）∠B A C=∠D A C，∠B A C=∠D A C;

（2）A B =A E ·A E ，B C·B C=CE ·CE .

證明：（1）如圖7，我們設A E 與⊙O交于點G，再連接GB . 首先因為A B 與A B 平行且相等，所以 與 、 與 分別相等，所以 + =180°，所以∠B GA =? =90°. 進一步地，通過證明D C∥GB ，可以知道 = ，所以根據“等弧所對的圓周角相等”證得∠D A C=∠B A C.再根據A D ⊥D C，A D ⊥D C，可以證明A D ∥A D . 又根據A B ∥A B ，可以得到∠D A B =∠D A B ，所以∠B A C=∠D A C.

（2）如圖7，一方面∠A B C=? = （ - ）= （ - ）;另一方面，根據文中的“分裂合并、連續變化”兩原理可知∠A E B = （ - ）. 又 = ，所以∠A B C=∠A E B . 注意到∠B A C=∠CA E . 所以△A B C∽△A E C得證.

根據相似三角形的性質得到等式 = = .①類似地，一方面，∠A CE =∠A CD +∠D CE =∠A CD +∠B CF=? +? =? ;同時∠A CB =? ，由于 = ，故得到∠A CB =∠A CE . 而另一方面∠B A C=∠E A C已證，所以易證△A CB ∽△A CE .

再根據相似三角形的性質得到等式 = = . ②

由①與②得 · = · =1. 所以A B ·A B =A E ·A E ，即A B =A E ·A E .又因為 · = · =1. 所以證得CB ·CB =CE ·CE .

深度反思與教學啟示

波利亞認為：數學解題是一項實踐性的技能，學解題就好比學游泳，是需要通過模仿和實踐才能學會的. 因此，教師要想提高學生的解題能力，就必須認真研究、深入揣摩教材中的例題和習題，通過深挖蘊含在題目中的數學本質和教育價值，發現其拓展延伸和探究發現的空間，并在解題教學中給學生預留足夠的時空，創設更多的機會，引導學生通過觀察與模仿等實踐活動，踐行發現、提出、分析和解決問題的生動過程，將培養學生思維里潛在地對數學解題的興趣落到日常教學實處.

1. 深刻挖掘習題教育價值

全面回顧上述課本習題的分析、證明與拓展全過程，我們可以看到，本題在促進學生鞏固平面幾何的基礎知識、強化基本技能以及提高學生幾何證明的推理能力和創造能力等方面具有重要的學科功能，其中蘊含著豐富的數學教育價值. 特別是變與不變、特殊與一般之間的辯證關系等，都有明確的體現.

比如，本題中的切線與割線是兩個不同的概念，但是，如果能從運動變化的角度出發，遵循特殊與一般之間這種普遍的、辯證的、聯系的觀點去審視，那么這兩個概念之間就存在著重要且深刻的關系. 事實上，切線就是割線的一種特例，也就是當直線與圓的兩個交點重合時的特殊情形. 這種研究數學問題的視角和觀點是十分有必要讓學生去理解和體驗的.

再如，“類比與歸納”這種研究方法也是需要通過解題實踐的全過程，讓學生切身體驗的. 當切線演變成割線后，到底原問題的結論將怎樣變化？結論的表達應該是什么形式？這種形式是否正確？等等，諸如此類的問題，都將激起學生的研究熱情. 有效類比、大膽猜想、可靠驗證及嚴謹推理等思維過程，不僅可以幫助學生學會解題，同時可以促進學生學會根據類比歸納形成并作出猜想，這是一種研究數學問題的普適方法. 教師希望培養學生的創新精神和實踐能力，就必須正確且持續地指導學生學到“搞發明和做歸納”的這種思考能力和研究能力[5].

由此可見，教師要特別重視教材中例題、習題的知識鞏固、技能示范、思維指導等教育功能，善于通過適時適度的拓展延伸發揮其引導探究與猜想發現的育人價值.

2. 適度開展習題拓展探究

應該說，數學教育的一個基本任務就是將學科的數學轉化為教育的數學[6]. 這就需要教師精心設計例題、習題的教學過程，把枯燥乏味的解題訓練轉化為充滿生機與活力的育人實踐，以便把數學這種最為精細和精確的思維方式，以最具有親和力的途徑，讓學生深切地感悟和體驗到. 這就需要教師深度研究教材例題、習題的類型結構、功能特點，全面分析典型題目的條件結論，深入挖掘例題、習題的多種解法和基本變式，依據學情精準適度地設計例題、習題的拓展探究過程，通過巧妙地“借題發揮”，強力助推不同層次學生的學習過程和思維拓展.

在本題的解題過程中，學生要想自然而然地獲得拓展的思路，就需要從條件出發，借助歸納推理來“預測”數學結論，再借助演繹推理“驗證”數學結論. 在這個思維過程中，還需要教師通過精準設計問題，在引發學生獨立思考的基礎上組織開展同伴之間的對話交流和思維碰撞，以便使解題學習過程充滿研究的味道和思辨的樂趣.

因此，筆者認為數學解題教學的過程，應該是教師指導學生學會數學發現、數學思考與數學表達的全過程，這個過程需要教師以學生的學習為中心，依據課程目標和學生素養水平進行精心設計與精致實施.

3. 有效指導題后回顧反思

實際上，在精心設計與精致實施解題教學的過程中，指導學生自覺而有效地開展題后回顧與反思的過程是師生都最容易忽略和遺漏的. 其實，通過回顧完整的解答過程，重新斟酌和審查結果以及獲得結果的不同途徑，不僅能鞏固學生的數學基礎知識，還能提高他們的解題能力. 因此，波利亞提醒教師要讓學生深刻地認識到：沒有一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做，比如，徹底檢查每個解題步驟，改進和優化解題方法，深化對解題過程與答案的理解，等等[7]. 在解題拓展之后，教師可以引導學生深入思考：以前是否有過類似的解題經歷，二者之間有哪些異同，據此可以獲得哪些解題基本經驗，甚至可以引導學生想象一些情況，去思考這些解題經驗和已經獲得的結論還可以在哪些方面得到更為廣泛而靈活地運用，等等.

長此以往，上述問題就可以顯現出特有的力量，使學生們在不斷地自我追問與主動思辨中充分意識到：數學問題之間是存在著普遍而深刻的內在聯系的，轉化與歸納、聯系與發展是產生創新思維的重要思維過程. 當然，這種運用聯系的觀點認識和研究問題的意識也將有效促進學生再創造思維能力的提高，積極應變和主動求變將使學生的數學核心素養獲得持續而有效的發展.

參考文獻：

[1] 王本陸. 課程與教學論（第3版）[M]. 北京：高等教育出版社，2017（12）.

[2] [6] （美）G·波利亞.怎樣解題——數學思維訓練的新方法[M]. 上海：上海科技教育出版社，2007（5）.

[3] 楊之，郭璋.計算機輔助教學的四條原理[J]. 數學通報，2004（04）.

[4] 白雪峰.探究促拓展 老題生新花——以一道常見幾何試題的三個拓展為例[J]. 數學通報，2019（01）.

[5] （美）G·波利亞.數學與猜想——數學中的歸納和類比[M]. 北京：科學出版社，2001（7）.

[7] 史寧中. 數學思想概論[M]. 長春：東北師范大學出版社，2009（8）.