一次驚喜的“教學意外”

裴炎鈿

【摘要】數學課堂教學，可以有目的、有計劃、適量地引導學生一題多解訓練，有利于開拓學生的解題思路，培養和發展學生的數學思維能力，鍛煉學生數學思維的靈活性，使學生把所學知識融會貫通，使知識系統化。同時，這樣的課堂既能調動學生學習積極性，又能培養學生數學思維的廣闊性、深刻性和創造性。當然，在學生的分享討論中，有些奇思妙想會存在思維嚴謹性和思維方法上的欠缺，或是認識上的偏差，教師應給予鼓勵性指導和點撥。

【關鍵詞】一題多解;數學思維;思維教學

正值期末復習，數學課大多都是試卷講評課，為了讓筆者執教的數學課堂不枯燥、不乏味，筆者常常放手讓學生“掌管”課堂，分配任務“承包到組”，班里的八個小組像“八仙過海，各顯神通”，這讓數學課堂呈現一片生機盎然。當然，筆者也常常收到驚喜的“教學意外”。

一、例題呈現

如圖，四邊形ABCD為矩形，C點在x軸上，A點在y軸上，D點坐標是（0，0），B點坐標是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點A落在邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點的坐標是（2，4）。

（1）求G點坐標;（2）求直線EF解析式

二、學情分析

學生已完成了對北師大版八年級上冊的學習，能熟練掌握勾股定理的應用及全等三角形的證明，會用待定系數法求一次函數解析式，對中點坐標以及含有30°角的直角三角形性質有一定了解。這道題的出題意圖在于復習直角坐標系中的折疊問題，讓學生掌握勾股定理和一次函數的綜合應用。

三、解題思路

（1）由題意可知，FG=AF=2， FB=1，因為四邊形ABCD是矩形，所以∠B=90°，BG=，所以點G的坐標為（3，4-）。第一問的解法幾乎是一致的，意外的是第2問，在第1小組分享完后，每個小組陸續提出自己的想法及優化解法，也有小組另辟蹊徑，驚喜連連。

第一小組分享：利用股定理及方程思想

解法一：如圖1，過點E作EH⊥BC，構造直角三角形EGH，設0E的長度為x，則AE=4-x，因為△AEF沿直線EF折疊，所以EG=AE=4-x，GH=4--x ，根據勾股定理可得EG2=EH2+GH2 ，（4-x）2=

32+（4--x）2，求得E（0，4-2），已知F（2，4），根據待定系數法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第二小組分享：利用含有30○ 角的直角三角形性質

解法二：上述方法計算量大，特別是解（4-x）2=32+（4--x）2，計算步驟繁瑣，第二小組觀察的到FB：FG=1：2，聯想到“在直角三角形中，30○ 角所對的邊是斜邊的一半”的逆應用，因此，判斷∠FGB=30○，則∠BFG=60○，因為折疊，所以∠AFE=∠EFG=60○，∠AEF=30○，由此得出AE=AF=2，E（0， 4-2）。已知F（2，4），根據待定系數法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第三小組分享：利用含有30°角的直角三角形性質優化解法一

思維敏捷的第三小組受解法二的啟迪，若是在作輔助線EH后，結合含有30°角的直角三角形性質輔助，會大大減少計算量，讓過程變得更簡便。于是乎就有了改良版解法三：如圖1，由FB：FG=1：2，∠FGB=30○，因為折疊，∠FGE=∠FAE=90○，所以∠EGH=60○，∠GEH=30○，根據GH：EH=1：，得GH=，HC=4-2，所以E（0， 4-2）。已知F（2，4），根據待定系數法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第四小組分享：構造全等三角形

解法四：如圖2，延長直線GB交直線EF于H點，因為FB：FG=1：2，∠FGB=30○，則∠BFG=60○，因為折疊，∠AFE=∠EFG=60○，∠AFE=∠HFB=60○，等量代換可得∠BFG=∠HFB=60○，∠FBH=∠FBG=90○，FB為公共邊，可證△HFB≌△GFB，求得H（3，4+）， 已知F（2，4），根據待定系數法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第五小組分享：利用互相垂直的兩直線K值相乘為-1

解法五：已知F（2，4），G（3，4-），根據待定系數法，解得直線FG的解析式為y=-x+4+2。因為折疊，∠FGE=∠FAE=90°，FG⊥EG，根據互相垂直的兩直線K值相乘為-1，設直線EG的解析式為y=x+b，已知G（3，4-），解得直線EG的解析式為y=x+4-2。因而得到E（0， 4-2），已知F（2，4），根據待定系數法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第六小組分享：作輔助線構造兩直線互相垂直

解法六：如圖3，連接AG，交EF于H，因為折疊AF=FG，∠AFH=∠GFH，FH為公共邊，可證△AFH≌△GFH，所以∠AHF=∠GHF=90○，AG⊥EF 。由A（0， 4），G（3，4-），根據待定系數法，解得直線AG的解析式為y=-x+4。根據互相垂直的兩直線K值相乘為-1，設直線EF的解析式為y=-x+b，已知F（2，4），代入求得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第七小組分享：巧用對稱的性質及中點坐標優化解法四

觀察仔細的第七小組發現，由于△AEF沿直線EF折疊到△GEF，連接AG，直線EF其實是A點關于G點的對稱軸，根據對稱的性質，直線EF垂直且平分線段AG，兩直線的交點O則是線段AG的中點。于是乎就有了改良版解法七：利用中點坐標公式求得O（，），已知F（2，4），根據待定系數法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。不得不說，改良后的解題過程簡單方便，大大提高解題效率。

第八小組分享：相似三角形

聽完前七個小組的精彩分享，第八小組躍躍欲試，一個學生猶豫地舉起手說：“老師，我也想到一種方法，但不知對不對？”“沒事，上臺說說你的想法”，在筆者的鼓勵下，這位學生講起了自己曾自學過相似三角形，解法八：如圖4，過點E作EH⊥BC，構造直角三角形EGH，因為折疊，∠FGE=∠FAE=90○，所以∠FGB+∠EGH=90○，又因為∠EGH+

∠GEH=90○，可得∠FGB=∠GEH，且∠FBG=∠EHG=90○，可證△FBG∽

△GEH， BG：EH=FB：GH，求得GH=，則OE=4-2，E（0， 4-2）。已知F（2，4），根據待定系數法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

隨著八個小組分享結束，下課鈴聲響起，這節課學生們的臉上寫滿了喜悅與收獲，就連平日里對數學課提不起興趣的學生也瞪大了好奇的雙眼，連連為每個小組鼓掌，感嘆同學們的發散思維，紛紛點贊這節“頭腦風暴課堂”。

四、結語

這讓筆者更加堅定，數學課堂教學可以有目的、有計劃、適量地引導學生一題多解訓練，有利于開拓學生的解題思路，培養和發展學生的數學思維能力，鍛煉學生數學思維的靈活性，使學生把所學知識融會貫通，使知識系統化。同時，這樣的課堂既能調動學生學習積極性，又能培養學生數學思維的廣闊性、深刻性和創造性。當然，在學生的分享討論中，有些奇思妙想會存在思維嚴謹性和思維方法上的欠缺，或是認識上的偏差，教師應給予鼓勵性指導和點撥，保護思維的“火花”不被冷水澆滅，讓數學課堂真正成為思維教學，激勵學生創造性思維，敏銳地捕捉并利用生成，讓學生的思維“滿地開花”。

責任編輯? 李? 源