一個基本向量等式的證明及其六個推論

魏建華

[摘? 要] 向量等式S? +S? +S? =0是一個基本的等式，證明綜合度大，技能要求高，數學思想豐富.該式除了形式具有對稱美外，是一個非常一般的結論，能夠和三角形的四心證明緊密結合. 文章在證明該式的基礎上通過推論的形式還給出了三角形四心常見的向量等價判定形式，最后對定理本身做了進一步的推廣.

[關鍵詞] 向量等式;六個推論;三角形的四心;等價判定;推廣

以前大家對該等式的證明及其與四心的聯系缺乏關注，一來未能體會到該等式的美感，二來缺乏對該等式證明過程中數學思想的挖掘、基礎知識的應用、基本技能的掌握，三來對四心向量等價等式的判定缺乏研究和代數直觀.因而作者寫成此文，旨在打通此教學關節.

定理及其證明

定理：已知點O為△ABC內的任意一點，則S? +S? +S? =0.

證法一：如圖1，延長BO交線段AC于點E，延長CO交線段AB于點F，設BF=λFA，CE=μEA. OF=t FC，OE=t BE，t ，t ∈（0，1），則 = =t ， = =t . 又因為點O為△ABC內任意一點，所以 + + =1，所以 =1- - =1-t -t . S? +S? +S? =0？圳? +? +? = ？圳t? +t? +（1-t -t ） =0？圳t? - +t （ - ）+ =0？圳t? +t? + =0（1）.

在△AFC中，可得 =t? +（1-t ） =t? +? .

同理在△ABE中，可得 =t? +（1-t ） =? +t? （2）.

則由平面向量基本定理有：t = （3）.

由（2）式可得 =? -t? （4）.

將（4）式代入（1）式可得：t? +? =0（5）.

由（3）式知（5）式顯然成立，此定理得證.

證法二：S? +S? +S? =0？圳S （ - ）+S? +S （ - ）=0？圳S? +S? =（S +S +S ） ？圳? +? =? = ？圳? +? = .

評注：本定理蘊含著三角形的面積守恒，面積守恒是結論成立以及充滿對稱美的內因，證明向量加減法、向量共線定理、線段定比分點、平面向量基本定理等基礎知識，通過等量代換進行消元.知識綜合度大，運算技能要求高.

六個推論及其證明

推論1：已知點O為△ABC內的一點，則O為△ABC的重心的充要條件為 + + =0.

證明：先證必要性. 當點O為△ABC的重心時，S =S =S = S ，結合定理充分性顯然. 再證充分性. 如圖3，取BC的中點D，則 + =2 =- ，則A，O，D三點共線，所以點O在△ABC的一條中線上，同理可證點O在△ABC的另外一條中線上，所以O為△ABC的重心.

推論2：已知點O為銳角三角形ABC內的一點，則O為△ABC的內心的充要條件為a +b +c =0.

證明：先證必要性. O為△ABC的內心，則點O到△ABC三條邊的距離都為r. 由定理有? +? +? =0，化簡得a +b +c =0（6）.

再證充分性. 記Q為△ABC的內心，則a +b +c =0（7）.

（6）式減去（7）式可得：（a+b+c） =0，則 =0，則點O與點Q兩點重合，則點O為△ABC的內心.

推論3：已知點O為銳角三角形ABC內的一點，則O為△ABC的內心的充要條件為sinA· +sinB· +sinC· =0.

證明：在△ABC中由正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（R為△ABC的外接圓半徑），由推論2知結論成立.

推論4：已知點O為△ABC內的一點，則O為△ABC的外心的充要條件為sin∠BOC· +sin∠AOC· +sin∠AOB· =0.

證明：先證必要性. 當點O為△ABC的外心時，S ∶S ∶S =sin∠BOC∶sin∠AOC∶sin∠AOB，結合定理則必要性顯然成立.

再證充分性. 將上式兩邊同時乘以 OA·OB·OC可得：

OC·S? +OB·S? +OA·S? =0（8）.

由定理可得S? =-S? -S? （9）. 將第（9）式代入第（8）式可得：（OC-OA）·S? +（OB-OA）·S? =0.

因為 ， 為非共線向量，所以有平面向量基本定理有OC-OA=0，OB-OA=0. 即OB=OA=OC，則O為△ABC的外心.

推論5：已知點O為△ABC內的一點，則O為△ABC的外心的充要條件為sin2A· +sin2B· +sin2C· =0.

證明：先證必要性.因為O為△ABC的外心，同弧所對的圓心角為圓周角的兩倍，此時sin∠BOC=sin2A，sin∠AOC=sin2B，sin∠AOB=sin2C，結合推論4必要性顯然成立.

再證充分性. 設點Q為△ABC的外心，則有sin2A· +sin2B· +sin2C· =0（10）.

將所證式減去第（10）式可得（sin2A+sin2B+sin2C）· =0成立.

因為sin2A+sin2B+sin2C=2sin（A+B）cos（A-B）+2sinCcosC=2sinC[cos（A-B）+cosC]=2sinC[cos（A-B）+cos（π-A-B）]=4sinAsinBsinC≠0.

所以 =0，則點Q與點O重合，所以點O為△ABC的外心.

推論6：已知點O為銳角三角形ABC內的一點，則O為△ABC的垂心的充要條件為tanA· +tanB· +tanC· =0.

證明：先證必要性.如圖4，S = ，S = ，S = ，則 = × = ， = × = = = .

則S ∶S ∶S =tanA∶tanB∶tanC. 結合定理顯然可得tanA· +tanB· +tanC· =0.

再證充分性. 以點B為坐標原點，建立如圖5所示平面直角坐標系. 設點O（x，y）. 因為tanA· +tanB· +tanC· =0，所以tanA· +tanB· +tanC· =0，所以tanA·（x-ccosB）+tanB·x+tanC·（x-a）=0. 解得x= .由正弦定理有a= ，c= ，所以x= = = .

又因為cosA=cos[π-（B+C）]=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC，

所以x= = = = = .？搖？搖又因為cosB=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC，x= = =ccosB.所以點O在BC邊的高線上.

同理可證點O還在AC，AB邊的高線上. 所以點O為△ABC的垂心.

評注：六個推論與定理緊密相連，凸顯此定理的基礎性的同時，借助定理更能建立三角形四心常見向量等價形式的代數直觀.推論證明過程充分運用同一法這種證明方法，充分運用正弦定理等解三角形的知識，融入建系這種基本方法，充分凸顯向量幾何與代數的雙重屬性.

結語

此向量等式具有基礎性，與六個推論連成一片，本文還可作為尖子生和競賽班的課外拓展材料. 同時在此仍然可將定理做進一步的拓展. 當點O在三角形外部時，我們約定點O與其中一條邊圍成的三角形在△ABC外的面積為負值，這樣仍然維持面積守恒，結論仍然成立;當點O在三角形ABC的邊上或者與頂點重合時，此時只有兩個三角形，我們約定不存在的那個三角形面積為0，此時結論仍然成立. 所以在新的面積約定下，可把定理中的點O改成平面中的任意一點，此時的結論更具一般性了.