迭代恒同函數的應用

江海華

[摘? 要] 函數迭代是數學競賽解題中一個很常見的處理手段，文章在函數迭代的基礎上重新定義了一個迭代恒同函數，并給出了一些具體實例，最后研究了迭代恒同函數的一些簡單性質及應用.

[關鍵詞] 函數迭代;迭代恒同函數;周期性

迭代恒同函數的定義

1. 設M（x）是定義在集合D上的連續函數. 記M（x）=M1（x），M（M（x））=M2（x），M（M（M（x）））=M3（x）… =Mn（x），稱Mn（x）為函數M（x）的n次迭代函數.

2. 若存在n∈N+，使得對任意的k∈N+（k≤n-1），函數M（x）滿足：

（1）Mk（x）≠x;

（2）Mn（x）=x，

則稱Mn（x）為n次迭代自恒同函數.

3. 若存在n∈N+，使得對任意的k∈N+（k≤n-1），函數ω（x）滿足：

（3）ωk（x）≠M（x）;

（4）ωn（x）=M（x），

則稱ωn（x）為函數M（x）的第n次迭代恒同函數.

迭代恒同函數的實例與性質

1. 容易驗證M（x）= （a，b，c∈R且c≠0，a2+bc≠0）是2次迭代自恒同函數. 特別的，函數M（x）=-x;M（x）= ;M（x）=- ;M（x）= ;M（x）= 均為2次迭代自恒同函數.

2. 容易發現，若M（x）是2次迭代自恒同函數，則M（x）的圖像關于函數y=x自對稱. 此時便很容易構造出一個2次迭代自恒同函數.如：M（x）= （a≠0，x>0）是2次迭代自恒同函數.

3. 容易驗證ω（x）= 是M（x）=- 的二次迭代恒同函數;ω（x）= 是M（x）=- 的二次迭代恒同函數，發現M（x）=- 的二次迭代恒同函數不唯一.

其實，有關迭代恒同函數的相關知識還有很多值得去探討，如：

1. 求函數M（x）= 的一個2次迭代恒同函數.

2. 如何構造一個三次迭代自恒同函數？有沒有具體實例？

3. 任意一個2次迭代自恒同函數是否均存在一個2次迭代恒同函數？

迭代恒同函數的應用

1. 迭代恒同函數在函數周期性中的應用

定理1：設λ為非零常數，若對函數f（x）定義域中的任意x，恒有f（x+λ）=M（f（x）），其中M（x）為二次迭代自恒同函數，則f（x）為周期函數，2λ是它的一個周期. 若λ是滿足條件的最小正數，則2λ是f（x）的一個最小正周期.

證明：由f（x+2λ）=f（（x+λ）+λ）=M（M（f（x）））=f（x），所以2λ是它的一個周期.

若λ是滿足條件f（x+λ）=M（f（x））的最小正數，設有0

（1）當0

（2）當λ

綜上，2λ是f（x）的一個最小正周期.

定理2：設λ為非零常數，若對函數f（x）定義域中的任意x，恒有f（x+λ）=ω（f（x）），其中M（x）為二次迭代自恒同函數，ω（x）是M（x）的二次迭代恒同函數，則f（x）為周期函數，4λ是它的一個周期.若λ是滿足條件的最小正數，則4λ是f（x）的最小正周期.

證明：因為f（x+2λ）=ω（f（x+λ））=ω（ω（f（x）））=M（f（x）），所以，由定理1可知，f（x）為周期函數，4λ是它的最小正周期.

容易發現，命題者會根據上述兩個定理選取某個確定的迭代恒同函數進行命題. 如：

例1：已知f（x）滿足f（x+1）= ，則f（x）的最小正周期是______.

解：因為M（x）= 是2次迭代自恒同函數，且f（x+1）=M（f（x）），所以x ，x 的最小正周期是2.

2. 應用迭代恒同函數的性質命題（求一類抽象函數的解析式）

例2：（自編）函數f（x）由滿足下列關系式所確定：（x-1）f -f（x）=x，其中x≠1，求所有這樣的函數.

解：以 代關系式中的x，得 ·f（x）-f = ，將上式與已知條件聯立，消去f ，解得f（x）=1+2x，易驗證所求得的函數滿足要求.

例3：（自編）設函數對x≠0，±1的一切實數均有f（x）+2f =3x，求f（x）的解析式.

解：由f（x）+2f =3x（1），

以 代關系式中的x，得f +2f- =3· （2），

以- 代關系式中的x，得f- +2f =3·- （3），

以 代關系式中的x，得f +2f（x）=3· （4）.

將（1）-2·（2）+4·（3）-8·（4）得：

f（x）= + - - x.

如果能夠發現 是4次迭代自恒同函數，再去看本題就沒什么難點可言了.

設計目的：從上述例題發現，如果讀者能夠深入洞悉迭代恒同函數的構造方法，就可以非常容易地編寫與之相關的試題. 反之，如果能夠迅速識別這是幾次迭代恒同函數，也能很快知道解題思路.

通過上述對迭代恒同函數的一些簡單應用發現：一方面它在題干中通過和其他函數的復合是具有隱蔽性的，另一方面需對一些滿足這種迭代性質的函數模型做進一步研究與總結.只有這樣，無論是命題還是解題，都能立足高點，有的放矢.