通法為本，同構為器，特值為核

李維堅

[摘? 要] 在平時的教學中，應注重通性通法的積淀，它是一把利刃，可以應對各種變化，萬變不離其宗.通性通法雖慢，卻處處彰顯著數學思維的光芒.學生在使用通性通法的過程中，思維可以不斷得到螺旋式上升.

[關鍵詞] 通性通法;技巧;解題規劃

2020年，山東等省份開始啟用全國新高考卷，在試題的結構形式上發生了變化，比如出現了多選題.但縱覽整份試卷，細細探究，我們依然可以感受到通性通法在解題中所發揮的巨大作用.以第21題為例，可以看到平時的解題教學中，不斷滲透通性通法對學生有著“隨風潛入夜，潤物細無聲”的質的作用.

題目如下：已知函數f（x）=aex-1-lnx+lna. （1）當a=e時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

第（2）問是一個恒成立求參數取值范圍問題.處理這類問題的基本策略是構造函數，直接研究最值或參變分離，或半分參數形結合. 經過判斷后，我們發現本題難以參變分離，則不妨考慮直接研究原函數，求導，利用導函數探求其單調性.基本流程如下所示.

法一：f′（x）=aex-1- （x>0，a>0），令g（x）=aex-1- ，易得g（x）在（0，+∞）上單調遞增.

g +1=ae - ，先證A（x）=ex-x>0，而 +1>1，則0< <1，因而g +1>a· -1=0. 又g =ae -（a+1），而- <0，則e <1，所以g =ae -（a+1）0，即f′（x）>0，f（x）單調遞增. 要使得f（x）≥1，則f（x）的最小值f（x ）≥1即可. 而導數零點x 雖不可求，但可設而不求，利用ae = 整體代入. 觀察原函數f（x），既含有指數式，又含有對數式，指對不分家，不妨化指數式ae = 為對數式為：lna+x -1=-lnx ，則整體代入并降元得f（x ）=ae -lnx +lna= -lnx +1-lnx -x = -2lnx -x +1，構造h（x）= -2lnx-x+1，h′（x）=- - -1<0，則h（x）在（0，+∞）上單調遞減，因為h（1）=1，則0

注1：本題最后出現的函數h（x）= -2lnx-x+1，其命題背景其實是對數平均不等式：對任意的正數a，b，有 < < ，若不妨令a>b>0， =t>1，則得 < ？圳lnt< - .再令 =x（x>1），則得lnx< ·x- ;若b>a>0，即0 x- .

注2：本題中導函數g（x）的零點x 的取得，除了直接賦值取點以外，也可以采取“先放再取”的策略，將含超越的放縮為非超越的. 由常用不等式ex-1≥x得，g（x）=aex-1- ≥ax- ，令ax- =0得x= ，則g ≥0;再當0

在平時的教學中，應注重通法通性的積淀，它是一把利刃，可以應對各種變化，萬變不離其宗. 一般高考題在命制的過程中會破“套路化”，回避“秒殺”，突出核心數學思想，淡化各種解題技巧或者各種二級結論. 在本題的處理過程中，我們發現取點賦值是一個難點，而這和a的取值范圍密切相關.這提醒我們在解決恒成立求參數取值范圍問題時，我們可以利用特值先找到使不等式成立的必要條件，縮小a的取值范圍.

由此可以得到改進版的法二，具體如下：不妨先探求必要條件，縮小a的取值范圍. 考慮原函數的超越形式，令f（1）≥1得a+lna≥1，構造函數A（a）=a+lna，易得A（a）在（0，+∞）上單調增，而A（1）=1，則a+lna≥1解得a≥1.由此時的a的取值范圍，給我們接下來“取點賦值”降低了難度. g（1）=a-1≥0，g =ae -a=a·e -1≤0，x 呼之欲出. 此處以特值為核心，優化了通性通法，大大提高了解題效率.

在官方給出的標準答案中，我們可以看到本題在必要條件a≥1得出后，其直接證明了充分性，即法三：當a≥1時，f（x）=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥x-（x-1）=1，充分性得證. 官方的命題背景也躍然紙上. 主要還是利用重要不等式ex≥x+1，其背景為高等數學中的泰勒展開式：ex=1+ x+ x2+ x3+o（x3）.

進一步進行解后反思，在參變分離時，我們遇到了阻礙，那么此時可行的措施和解題規劃又是什么呢？一般，當指對（指數式和對數式）一起出現，參數難以分離時，我們考慮構造同構式，可同構為和指數函數相關的函數，也可同構為和對數函數相關的函數.由此我們得到法四：分析結構特征，構造同構式：aex-1-lnx+lna≥1，觀察到e的指數為x-1，在不等式兩邊同時加上x-1得aex-1+lna+x-1≥x+lnx，同構為左邊得：elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx，即elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx（*）. 構造函數g（t）=et+t，由g（t）=et+t在（-∞，+∞）上單調增，（*）即為g（lna+x-1）≥g（lnx），利用單調性得lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1恒成立，則lna≥（lnx-x+1） . 令h（x）=lnx-x+1，則h′（x）= -1，易得h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，則h（x）≤h（1）=0，則lna≥0，得a≥1. 類似的，如果同構為右邊為：aex-1+lnaex-1≥x+lnx，考慮構造函數m（t）=t+lnt，則m（aex-1）≥m（x），由m（t）在（0，+∞）上單調遞增，可得aex-1≥x，分離參數a得a≥ 恒成立，則a≥ max.令n（x）= ，易得n（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，則a≥n（1）=1. 此時，“同構”似乎成了一把利器，實現了所謂的“秒殺”.

通性通法如同內力的修煉，而“特法”“技巧”只是一些招式，若是過度地練習招式，不沉淀內功修為，則會陷入“走火入魔”的可怕狀態. 在平時的解題教學中，通性通法雖慢，卻處處彰顯著數學思維的光芒. 學生在使用通性通法的過程中，思維可以不斷得到螺旋式上升. 章建躍教授曾指出：注重通性通法才是好的數學教學. 因而我們在解題教學中應更注重轉化化歸的過程，注重知識方法的正向遷移，重視策略性知識，關注問題中的受阻之處、特殊之處、轉化之處，站在通性通法的角度，高屋建瓴，綱舉目張地看待問題，挖掘題中的規律，提煉出反映數學本質的東西，進行合理的解題規劃.