萬變不離其宗，以不變應萬變

畢美好

[摘? 要] 新課程理念下，高三復習的主旋律是“優效教學、減輕學生負擔”. 變式題組的教學能優化復習、提升教學效率. 文章主要探討了三種變式教學：對比性變式有的放矢，突破知識易錯點效果立竿見影;強化性變式熟能生巧，有效提升熟練度;開放性變式拓展創新，提高學生思維的靈活性.

[關鍵詞] 變式;高三復習;優化;數列;通項

新課程理念下，高三復習課不搞“題海戰術”，而是精選題、巧設計、精講題，以少勝多. 盡管高考的題目形式上是變化多端的，但其考點是明確的，有既定法則——通性通法可尋的. “萬變不離其宗”，只要我們幫助學生練就一雙“慧眼”，識破其“宗”，便能“以不變應萬變”，笑傲于“高考”這個變幻莫測的“江湖”了.

變式題組的教學就是能幫助學生識破“宗”的有效教學策略. 教師在教學時，采用科學合理的手段，從不同的角度、層次、背景對知識點的非本質條件進行變換，保留其本質、宗旨不變，揭示不同知識點的內在聯系，使學生抓住問題本質這個不變的關鍵，提高課堂教學效率. 針對不同的教學效果有不同的變式方式對應，對比性變式能很好地突破學生的易錯點，糾正學生的潛意識錯誤;強化性式變式有利于學生認清并掌握一類題型;開放性變式有利于學生知識方法的拓展和遷移，梳理知識網絡的同時提升學生分析、解決問題的能力.

對比性變式有的放矢，以柔克剛

對比性變式突出差異，在學生的易混淆不清的概念、法則等知識點處命制變式題組，通過學生的碰錯、質疑、對比辨析、歸納總結，抓住不同概念、法則的本質，區分好易錯的知識點. 這樣的變式題組設計猶如“化骨綿掌”，以柔克剛，輕松擊中學生要害，使學生險處求生、印象深刻. 對比性變式能避免學生思維過于單一，教學效果立竿見影.

案例1：已知數列{a }中，當n≥2時，a -a =3，a =-2，a =________.

變式1：數列{a }中，a -a =n，a =-2，a =________.

變式2：若b -b =2，b1=3，bn=_____.

變式3：若數列{a }各項為正數，且a =4， =2（n≥2，n∈N*），則a =________.

學生對于等差數列定義“從第二項起，后項與前一項的差是同一個常數”中的“常數”及“后項、前一項的結構特征”理解不好，容易出現學生犯錯的借口“眼盲”，其實就是他們思維盲目，缺乏對概念的消化.

變式1針對定義中的“常數”理解進行設計，幫助學生理解帶有項數n這個變量就不符合定義中“常數”的要求了;變式2、3則是針對定義中“后項、前一項的結構特征”進行設計，后項f（n）可以是b ， +3等與n有關的式子，前一項f（n-1）則是用n-1代入f（n）中的n，滿足式子結構即可. 在此基礎上，教師可以讓學生進一步舉例，從而歸納出：盡管其形式千變萬化，但不變的是其本質，若f（n）-f（n-1）=常數（n≥2），則{f（n）}是等差數列. 此時，等比數列的本質定義學生也能脫口而出了.

案例2：已知數列{a }的前n項和S =n2+n+3，求a .

變式：已知數列{a }的前n項和S =n2+n，求a .

此題組考查“利用Sn與a 的關系求通項”，學生不陌生，但容易漏了“求首項及檢驗”環節，設計這樣的對比變式題組，使學生關注“首項、結果a 是否分段”兩個易錯點. 此題組還能提煉出：前n項和是無常數項的二次函數？圳數列為等差數列（d≠0），a 是一次函數;前n項和是有常數項的二次函數？圳數列不是等差數列，a 是分段函數.

強化性變式熟能生巧，巧能生慧

學生經常感到很迷惑：“老師上課講的我都聽明白了，但課后自己做又不懂了.”究其原因，是學生理不清在什么特定條件下采用什么解決辦法，即對不同類型題目的本質特點不能熟練掌握. 一節課的時間短，要提升學生的熟練度，巧妙解答，強化性變式非常適用. 教師局部調整問題的構成要素，使問題雖形式多樣，但解題方法類似，通過這樣的強化訓練，促使學生熟練掌握特定的解法，遇到此類題目能快速巧妙地完成解答，并逐漸編好數學方法這張網.

案例3：已知數列{a }中，a =1，a =a +2n，求a .

變式1：已知a -a =3n+1，a =1，求a

變式2：已知a =a + （n≥2），a =1，求a .

變式3：已知a -a =ln （n≥2），a =1，求a

學生不難接受累加法求通項，但學生不能熟練地運用，究其原因，是學生對其形式見得少，強化訓練不夠，不能形成條件反射. 通過上述變式題組訓練，使學生熟能生巧，巧能生慧，抓住累加法求通項的精髓：后項與前一項的差是一個可求和的式子，即a -a =g（n），g（n）是可求和的式子，用累加法. 有了這樣的認識，學生易知累積法求通項的本質.

案例4：已知數列{a }的前n項和S =3-3×2n，n∈N*，a =________.

變式1：S 為數列{a }的前n項和，已知a >0，a +2a =4S +3，求{a }的通項公式.

變式2：若數列{a }滿足：a +3a +5a +…+（2n-1）·a =（n-1）·3n+1+3（n∈N*），則數列{a }的通項公式a =________.

學生對于“利用S 與a 關系求通項”這個方法不陌生，知道a =S ，n=1，S -S ，n≥2，但是辨不清什么時候用. 上述例題，S 給出了具體的形式，學生很容易按照公式求出a . 對于變式1開始有點無所適從了，更難看出變式2其實與例題是一樣題型的題目了. 其實變式1是S 的抽象形式，變式2中“a +3a +5a +…+（2n-1）·a ”就是“S ”這個“和”的形式，只是它不是{a }的前n項和，而是{（2n-1）·a }的前n項和，但采用的解決方法是一樣的，因為它也是“和與項的關系”的題型. 通過設計層次遞進的強化性變式題組，強化利用S 與a 關系求通項這個方法，使學生抓住問題的共同屬性，用相同的方法解決，以不變應萬變.

開放性變式拓展創新，常勝不敗

開放性變式指的是從一個題目出發，通過改變題目中的條件、結論，從而使題型得到深化或延伸. 一種利用同一個知識點解決難度不同的問題，或含參待討論，或舍棄中間提示環節直奔主題等等;另一種是找到不同題目之間的潛在聯系，或方法相似或結構相似等. 通過深化、延伸，從一類題目轉變成多種類型的題目，從而逐漸形成一個系統、完整的知識體系.

案例5：已知數列{a }的前n項和為S ，a =1，S =2a ，求a .

變式1：已知數列{a }的前n項和S =1+λa ，其中λ≠0，證明：{a }是等比數列，并求其通項公式.

變式2：已知數列{a }的前n項積為n2，那么當n≥2時，a 等于（? ? ）

A. 2n-1 B. n2

C.? D.

變式1是例題的深化，考查與例題相同的知識點a =S ，n=1，S -S ，n≥2，但變式1含有參數λ，解答過程涉及對λ取值的分析討論，對學生來說是很大的挑戰，不能與例題相提并論. 變式2改變條件由前n項“和”變為“積”，是不同類型的題目，但是它們兩者又有潛在聯系，容易實現遷移，方法上由“作差”變為“作商”即可解決. 開放性變式題組旨在提高學生的綜合實踐能力和知識遷移能力，這是學生靈活創新、常勝不敗的能力.

案例6：已知數列{a }滿足a =1，a =3a +1，證明：a + 是等比數列，并求{a }的通項公式.

變式1：設數列{a }滿足：a =1，a =3a +2，求數列{a }的通項公式.

變式2：在數列{a }中，a =1，a =3a +n，求數列{a }的通項公式.

變式3：已知數列{a }中，a =1，a =3a +2n，求數列{a }的通項公式.

變式4：已知數列{a }中，a =1，a =2a +2n，求數列{a }的通項公式.

例題是定義法求通項，為變式1搭建了“腳手架”，指引變式1改變遞推關系式的結構，使其能構造出公比為3的等比數列，通過拆分“2”，滿足“a +A=3（a +A）”，然后用待定系數法求“A”. 變式2、3與變式1形式相似，引導學生參考變式1的解法進行方法遷移，把“n”“2n”進行拆分，構造公比為3的等比數列，同樣是用待定系數法去解決，但難度較變式1大，等比數列的前后項形式的變化的把握是難點，是不同于變式1但又有聯系的題型. 對于變式4，學生基本會參考前面三個變式的解法用待定系數法構造等比數列，碰壁后在老師的幫助下梳理出“a =pa +qn”型的通性通法應該是同除以“qn+1”后回歸到變式1的題型. 通過開放性變式題組可以實現知識整合、知識梳理，優化了課堂的教學，提高了高三的復習效率.

荀子曰：“千舉萬變，其道一也. ”莊子曰：“不離于宗，謂之天人. ”這兩句名言都是說某些事物盡管形式上變化多端，其本質或目的是不變的. 在數學教學上亦是如此，教師應抓住問題本質，精選題、巧設計，利用對比性變式突破易錯點;利用強化性變式鞏固題型解法，提升知識熟練度;利用開放性變式梳理知識網絡，培養思維靈活度，幫助學生解決千變萬化的問題，以不變應萬變.