追溯本源，知其所以然

楊海燕 王飛

[摘? 要] 《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確提出：概念教學中，落實核心素養，貫穿研究一個數學對象的基本套路，凸顯數學核心概念的核心地位，體現數學內容的邏輯連貫性及數學思想的前后一致性，揭示數學知識發生、發展過程.文章以“弧度制”為例，談談筆者的做法與想法，即開放性問題探究中追溯本源、有邏輯的“問題串”引領下知其所以然.

[關鍵詞] 弧度制;開放性問題;問題串

《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確提出：概念教學中，落實核心素養，貫穿研究一個數學對象的基本套路，凸顯數學核心概念的核心地位，體現數學內容的邏輯連貫性及數學思想的前后一致性，揭示數學知識發生、發展過程.

“弧度制”是蘇教版必修4第一章第一節第二課時的知識內容，是任意角的另一種度量方式. 弧度制下，任意角的度數集合和實數集合建立起了一一對應的關系，為教學三角函數奠定了基礎.本文以此為例，談談自己的做法與想法.

引入弧度制的必要性

問題1：如圖1，P是半徑為r的圓O上一點，點P的運動可以形象地描述為“周而復始”. 如何表示點P？

問題2：α，r，l之間有著怎樣的內在聯系呢？

設計意圖：以章引言為問題情境，滲透三角函數的本質：刻畫周期運動的數學模型，點出本節課的研究主題是本章研究主題的一個子課題.

追問：l= ·2πr是初中學習的弧長公式，還記得是如何推導的嗎？

設計意圖：在回顧弧長公式的過程中，一方面體會1°的意義，滲透單位元思想，為后續由1弧度推導弧長公式做鋪墊;另一方面解釋弧度制引入的必要性：在實際生活中，我們會遇到諸如計算209°19′這樣復雜角對應的弧長，能否簡化公式以方便計算呢？

引入弧度制的合理性

問題3：面對一個未知的新問題，我們往往先從特殊情況入手，再歸納、推廣到一般情況.請同學們選擇特殊角計算對應的弧長，填入表1，觀察并思考，有什么發現？（教師巡視，并給予恰當、適時的指導）

小組1展示，并分享表1. 結論：圓心角α確定時，弧長l確定;反之，弧長l確定時，圓心角α確定. 弧長l中均含有半徑r.

追問1：能否通過某種運算，將小組1的結論變得更簡潔一些？

小組2展示，將 加入表1，如表2所示. 結論：圓心角α確定時， 確定;反之， 確定時，圓心角α確定.? 是實數.

追問2：對于特殊的圓心角，有上述結論，那么對于任意圓心角，是否同樣有此結論呢？

學生思考片刻，借助幾何畫板直觀感知：（1）在半徑為r的圓中，圓心角α確定時，弧長隨之確定，比值 也隨之確定;（2）改變圓的半徑r，圓心角α確定時，弧長隨半徑的改變而改變，但比值 確定.

設計意圖：師生動手操作，經歷由特殊到一般、由感性到理性的思維過程，結合數據分析，發現一般性結論：對于任意的圓心角α，則α與比值 一一對應.所以， 反映了角的大小，引入弧度制是合理的.

弧度制的定義與表示

十八世紀，著名的數學家歐拉提出：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，記作1 rad. 用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.

問題4：請同學們作出1 rad的角.

展示學生的圖，追問1：1 rad的角與多少度的角最接近？

追問2：已知半徑為r的圓中，長度為l的弧長所對的圓心角是多少？

追問3：角度制與弧度制均度量角的大小，那么它們能否相互換算？如果能，如何換算？

追問4：前一節課將角推廣到任意角，即按旋轉方向不同分為正角、負角、零角，那么對于任意角，都可以用弧度數來表示嗎？

設計意圖：學生經歷作圖過程，加深對1 rad定義的理解，直觀感知1 rad角的大小，區別1°. 在問題驅動下，學生發揮主觀能動性，由1 rad推廣到α rad;探索到角度制、弧度制的互化公式：1°= ，1= ;進一步發現：用正數表示正角，用負數表示負角，用0表示零角;表2給出了特殊角的角度數與弧度數的關系：90°= ，60°= ，45°= ，30°= .用弧度制表示角的大小時，只要不引起誤解，可以省略單位.

問題5：弧度制下，弧長公式是什么？如圖4，設長度為r的線段OA繞端點O旋轉形成角α（α為任意角，單位為弧度），若將此旋轉過程中點A所經過的路徑看成圓心角α所對的弧，設弧長為l.

圖4

追問1：有沒有需要完善的地方？

追問2：若α≤2π，則圓心角為α的扇形的面積是多少？

設計意圖：追問1，培養學生思維的嚴謹性以及反省性;追問2，與弧度制引入的必要性相呼應：在弧度制下，扇形的弧長公式、面積公式更簡潔.

應用

例1：把下列各角從弧度數化為角度數：（1） ;（2）3.5.

例2：把下列各角從角度數化為弧度數：（1）252°;（2）11°15′.

設計意圖：例1說明任意實數都可以表示成一個角;例2說明任意一個角都可以表示成一個實數.在弧度制下，角的集合與實數集合之間就建立起了一一對應的關系：每個角都對應唯一的一個實數;反過來，每一個實數也都對應唯一的一個角.

教后反思

1. 發揮章引言的統領作用

章引言統領全章，它明確了“是什么”“學什么”“怎么學”. 在章引言的學習中，學生初識了全章的相關背景、知識結構、邏輯體系和應用價值，明晰了本章的學習內容、學習特點和學習方法，對于后續的學習做好了充分的鋪墊和心理準備.本課以章引言將問題作為情境引入，很自然地直奔主題：優化α，r，l之間的關系.

2. 設計開放性問題，追溯本源

開放，就是學生有廣闊的、獨立的數學思維空間，有機會經過自己的獨立思考獲得對知識的理解.問題3及其追問的引領下，學生在課堂中經歷實質性的數學思維過程，即經歷由特殊到一般、猜想、類比、聯想等思維過程.學生勇于嘗試、敢于質疑、學會思考，并且還有機會切身體驗到失敗與成功.

3. 設計環環相扣、有邏輯的“問題串”，知其所以然

問題4及其四個追問，引導學生“精致”概念，在作圖操作中消化、理解1 rad概念的細節，從形的角度猜測與其接近的度數，直觀認識1 rad的角;運用單位元的思想，獲取任意角的弧度數，深入理解1 rad的定義;角度、弧度都是刻畫角的度量單位，它們必然存在一致性，“那么它們如何相互轉化”應運而生，學生迫不及待地思考起來，自然而然地聯系到先前尋找的特殊角對應的弧度數，尋找兩者的換算方法;任意角有正角、負角、零角之分，水到渠成地聯想到分別用正數、負數和零表示它們，建立起實數與角的一一對應. 至此，用弧度數度量角自然地納入概念系統了.