基于Lundberg-Palmgren理論的行星輪系齒輪點蝕疲勞壽命計算

胡耿， 陳志剛

（1.中國航發湖南動力機械研究所，湖南 株洲412002；2.直升機傳動技術國防科技重點實驗室，湖南 株洲412002）

0 引言

齒面點蝕是齒輪材料在循環接觸應力作用下，由于疲勞而產生的麻點狀損傷現象，多發生于潤滑良好的閉式齒輪傳動中。對于點蝕疲勞，標準AGMA 2101-D04給出了內外嚙合直齒和斜齒齒輪抗點蝕能力的計算方法,該方法假設當齒面抗點蝕能力滿足設計要求時即具有無限壽命。然而軸承點蝕疲勞試驗和應用經驗表明，其滾子和滾道的接觸疲勞壽命是有限的，因此部分學者[1-2]認為：齒面接觸疲勞壽命應是有限的，而不是無限的；Rumbargur[3]基于Lundberg-Palmgren理論提出了圓柱直齒輪的壽命和失效概率關系模型；Zaresky等[4]給出了9310鋼齒輪的疲勞試驗數據，并證明了理論計算與試驗結果具有較好的符合性。

目前國內對該計算方法的公開報告和研究較為少見。本文在綜合分析外嚙合計算模型的基礎上，提出了內嚙合齒輪點蝕壽命計算方法，并運用該方法對某行星輪系減速器的齒輪點蝕壽命進行了計算分析。

1 Lundberg-Palmgren理論

Lundberg-Palmgren理論（LP理論）由Lundberg于1947年提出，已經在軸承行業得到了廣泛應用，并成為了滾動軸承壽命計算分析的基本方法，其方程為

式中：S為零件存活率；V為應力影響區體積；η為應力循環數，106次；e為威布爾系數；h、c為材料常數；z0為最大剪切應力深度，mm；τ0為最大剪切應力。

2 外嚙合圓柱齒輪點蝕壽命計算方法

2.1 單個輪齒點蝕壽命計算

Zaretsky在LP理論的基礎上開展了齒輪疲勞試驗，并提出了外嚙合圓柱齒輪點蝕壽命計算方法[5]。類似軸承，輪齒的基本額定壽命定義為一組齒輪中90%輪齒不發生點蝕破壞前的轉數；輪齒的基本額定動載荷為當輪齒的基本額定壽命為106次時所能承受的最大載荷。根據文獻[6],輪齒基本額定動載荷公式為

式中：K2為比例系數，由點蝕疲勞試驗確定，取5.28×108；αt為端面壓力角，（°）；βb為基圓螺旋角；B為輪齒寬度，mm；lc為齒面接觸線長度，lc=B/cos βb，mm；l1為輪齒上嚙合接觸區域沿齒高方向的長度，mm；Σρ為一對嚙合輪齒的綜合曲率半徑；h和c均為材料常數，根據試驗統計結果，h=2.7525，c=23.2525。

對于外嚙合齒輪，根據赫茲定理，綜合曲率半徑Σρ的計算公式為

嚙合線l1計算式為

式中：rb1為齒輪基圓半徑；θ U1為輪齒脫離接觸的滾動角；θL1為輪齒開始接觸的滾動角；θU1= θL1+ βH1，β H1為單齒嚙合區對應的滾動角，r a d ；θL1= δ1+ βL1，δ 1為嚙合前輪齒滾動角（如圖1），r a d ；β L1為雙齒嚙合區對應的滾動角，r a d 。

外嚙合齒輪，其嚙合前轉動角為

βL1和β H1計算式分別為：

式中：P b為基圓齒距；ξ 為實際嚙合線長度。

對于外嚙合齒輪，其實際嚙合線長度ξ 的表達式為

圖1 外嚙合齒輪滾動角示意圖

在齒面接觸載荷F t作用下，單個輪齒的點蝕壽命為

式中：p 為載荷壽命因子，通常p = 4 .3 ；a 2為材料修正系數，由齒輪材料和性能決定；a 3為潤滑修正系數，由潤滑條件和輪面質量決定，其取值詳見文獻[6 ]。

2 .2 齒輪副的壽命計算

如果單個輪齒的存活率為S 1，根據概率論，則齒輪（N 1個輪齒）存活率S P為

一對齒輪嚙合副的存活率S M 取決于相互嚙合的大、小齒輪的存活率S P和S G，則齒輪嚙合副的存活率為

式中，N 1和N 2分別為主、從動齒輪的齒數。

3 行星輪系點蝕壽命計算方法

在常用的N G W 行星輪系中，太陽輪與行星輪的點蝕壽命可以直接用式（2）來計算，但式（2）的推導是建立在外嚙合齒輪的基礎上，因此不能直接用于內齒圈和行星輪的點蝕壽命計算，需要進行相應調整。

3 .1 綜合曲率半徑

外嚙合齒輪齒面接觸屬于外接觸，而內嚙合齒輪屬于內接觸。根據赫茲理論，內嚙合齒輪的綜合曲率半徑Σ ρ 為

3 .2 實際嚙合線長度

對于內嚙合齒輪，其實際嚙合線長度為

圖2 內嚙合齒輪嚙合線示意圖

3 .3 嚙合前轉動角δ 1

嚙合前轉動角是指小齒輪沿嚙合線從基圓開始轉動到與大齒輪接觸之前轉動的角度。對于對內嚙合齒輪, 嚙合前轉動角為

3 .4 行星輪點蝕壽命計算方法

在行星輪系中，行星輪的兩側齒面均存在嚙合接觸，其中一側齒面與太陽輪接觸，另一側齒面則與內齒圈接觸。因此，行星輪齒輪的點蝕失效概率會更高。根據概率準則,行星輪單個輪齒的點蝕壽命計算公式為

式中，L t1和L t2分別為行星輪與太陽輪、內齒圈嚙合的齒面的點蝕疲勞壽命。

4 計算算例

某大功率發動機減速器采用行星輪系構型：輸入齒輪軸與發動機動力渦輪軸相連，2 個輸出軸分別驅動兩排槳扇。該差動輪系各輪齒參數如表1 所示，工況參數如表2所示。

表1 減速器輪齒參數

表2減速器工況參數

表3為行星輪系各齒輪計算結果，結果表明：太陽輪的點蝕壽命最短，內齒圈的壽命遠大于太陽輪和行星輪，輪系齒輪總點蝕疲勞壽命為6.08×106h。

表3齒輪計算壽命

5結語

本文在總結國外齒輪點蝕壽命計算的基礎上，提出內嚙合齒輪點蝕壽命計算與外嚙合齒輪存在一定的區別，應對綜合曲率半徑、嚙合線長等計算進行調整，并在此基礎上對某行星輪系的齒輪點蝕壽命進行了計算。計算結果表明：所有齒輪中，太陽輪的點蝕壽命最低，內齒圈的壽命顯著高于太陽輪和行星輪。