基于Hybrid迭代法的多連通域數值保角變換計算法

唐勝男,呂毅斌,王櫻子,房巾莉,武德安

(1.昆明理工大學 理學院,云南 昆明 650500;2.昆明理工大學 計算中心,云南 昆明 650500;3.電子科技大學 數學科學學院,四川 成都 611731)

保角變換是復變函數中的重要內容，被廣泛應用于流體力學、電磁場、生物、光學、圖像處理等領域[1-6]。保角變換包括解析法和數值計算法兩種求解方法。解析法的理論基礎是Riemann存在唯一性定理。Riemann存在唯一性定理證明了變換函數的存在性和唯一性，但只在簡單區域給出了變換函數的表達式。一些復雜區域變換函數表達式是未知的，因此對數值保角變換的研究就顯得尤為重要。保角變換計算法包括：積分方程法[7]、模擬電荷法[8-10]等。目前保角變換包括單連通區域的保角變換和多連通區域的保角變換兩大類。1969年，文獻[11]提出形成了模擬電荷法的基本思想[11]：在計算電場的空間之外，用若干個虛設的模擬電荷代替電極表面電荷來計算電場。從20世紀80年代起日本的天野要等人對數值保角變換的模擬電荷法以及模擬電荷點的選擇進行了大量研究，并提出了基于模擬電荷法的數值保角變換計算法，也就是天野法[8,12]。

本文對基于模擬電荷法的數值保角變換進行了研究，提出了無界多連通區域數值保角變換計算法。該方法用復對數函數的線性組合近似一個解析函數，并構造從Jordan曲線為邊界到徑向狹縫域的近似變換函數。該方法采用解析函數的最大模原理作為評價指標。

本文首先介紹了基于模擬電荷法的無界多連通區域數值保角變換計算法；然后對無界多連通區域中的約束方程進行預處理。預處理是將任意方程化為對稱正定的方程。由于該方程是病態的，故再利用Hybrid迭代法[13-15]對對稱正定方程進行求解，以獲得新的模擬電荷和新的輻角，進而構造近似變換函數；最后，利用數值實驗對本文算法的有效性進行驗證。

1 徑向狹縫域的數值保角變換計算法

本章節重點研究基于模擬電荷法的無界多連通區域保角變換數值計算法[16-19]。如圖1所示，C1,C2,…,Cn是z平面上封閉的Jordan曲線，C1,C2,…,Cn的外部區域記為D。保角變換函數ω=f(z)將C1,C2,…,Cn映射成ω平面上徑向狹縫S1,S2,…,Sn，并將外部區域D映射成ω平面上徑向狹縫的外部區域。

圖1 基于模擬電荷法的無界多連通數值保角變換

f(z)=ze(ia(z))

(1)

式中，a(z)在區域D內解析。由洛朗表達式知a(∞)=0。

解析函數a(z)在邊界上滿足

(2)

其中，θ1,θ2,…,θn是保角變換函數f(z)將Jordan曲線映射到徑向狹縫的輻角。由模擬電荷法，a(z)可以用C1,C2,…,Cn區域內部配置的N1+N2+…+Nn個模擬電荷點ζlj作為極的對數勢場的一次結合(復對數函數的線性組合)，a(z)近似A(z)，即

(3)

式中，ζlj(l=1,2,…,n,j=1,2,…,Nn)為模擬電荷點，分布在Jordan曲線內部，即C1,C2,…,Cn的內部分別有N1,N2,…,Nn個模擬電荷點。Q0與Qlj為電荷，Q0為復常數。a(∞)=0，故Q0=0。

因為A(z)為解析函數，故也是單葉的，在封閉曲線上積分為0。

(4)

未知電荷Qlj可以在Jordan曲線上選取N1+N2+…+Nn個約束點zmk滿足式(2)時進行求解

(5)

其中，θm近似Θm。

任取封閉的Jordan曲線Cl內部的一點ζl0，則解析函數為

(6)

(7)

從而等式(5)可轉換為式(8)。

(8)

2 基于Hybrid迭代法的多連通區域的模擬電荷求解

式(8)為基于模擬電荷法的無界多連通區域數值保角變換的約束方程。將約束方程寫成Ax=b的形式，其中A∈R(N1+N2+…+Nn)×(N1+N2+…+Nn)；x∈RN1+N2+…+Nn；b∈RN1+N2+…+Nn；N1,N2,…,Nn為Jordan曲線C1,C2,…,Cn內部的模擬電荷點數。隨著模擬電荷點數的增加，數值保角變換的精度越高。為了獲得更高的數值保角變換的精度，也需要獲得更精確的未知電荷部分和Ql,j與輻角Θm。

約束方程是非對稱且病態的方程。目前改善病態矩陣的有Tikhonov、奇異值截斷、奇異值修正法等。Hybrid迭代法是求解系數矩陣對稱且病態的有效算法之一。因此首先進行預處理，從而有

ATAx=ATb

(9)

任取參數α,β∈R，有

(10)

從而迭代計算式為

(11)

其中，E為單位矩陣。

Mxk+1=(N+βE)xk-βxk-1+b,k=1,2,…

(12)

即

xk+1=M-1(N+βE)xk-M-1βxk-1+M-1b,k=1,2,…

(13)

在此基礎上使用正交投影技術，給定初始值x0，獲得新的迭代值xk+1，滿足式(14)。

(14)

由于α>0，從而M為對稱正定矩陣，迭代式(12)中的譜半徑ρ(M-1(N+βE))<1，從而迭代式(12)收斂。此時，可以得到基于Hybrid迭代法的數值保角變換算法如下：

4:α>0;

6: While norm(r0-zeros(size(b))≥eps and

n

8: SolveMyn=rnforyn;

12:xn+1=xn+μndn;

13：n=n+1；

14: End While；

15: Returnxn+1andn。

根據此算法，可以高精度求解新的模擬電荷和輻角。綜上所述，基于Hybrid迭代法的無界多連通區域的數值保角變換計算法的步驟如下：

步驟1根據多連通區域的數值保角變換，給定多連通區域中的模擬電荷點、電荷數量以及約束點分別是ζ11,…,ζ1N1,…,ζNn1,…,ζNnNnN1,N2,…,Nn以及z11,…,z1N1,…,zNn1,…,zNnNn；

步驟2根據邊界條件，即式(2)，構造約束方程；

步驟3使用Hybrid迭代法求解約束方程，獲得未知電荷的部分和Q1,1,…,Q1,N1-1,…,Qn,1,…,Qn,Nn-1和變換輻角Θ1,Θ2,…,Θn。對于Jordan曲線C1,C2,…,Cn的邊界及外部區域中的每一個點計算解析函數A(z)，構造近似保角變換函數F(z)=zeiA(z)，最后計算對應的變換點。

3 保角變換在電磁場上的應用

針對傳輸線問題，本文給出了保角變換法的應用介紹[6]。在二維平面平行場中，電場豎直均勻。變換函數f(z)=u(z)+iv(z)，其中u(z)和v(z)都為調和函數，并且他們的等值線相互正交。在靜電場中復電位為

ω=f(z)=φ(z)+iψ(z)

(15)

其中，φ(z)為力函數；ψ(z)是電位函數。

對變換函數關于x求偏導

(16)

E(z)=Ex+iEy=-?ψ

(17)

如果取u(z)為電位，則任意一條在u1與u2之間電位線上的電通量為

(18)

其中，ε為介電常數，任意一條電位線上電通量為電位的增量與ε的乘積。對于一些復雜的區域，通過應用保角變換變為簡單的區域。

4 數值實驗

針對模擬電荷法無界多連通區域的保角變換進行數值實驗，在MATLAB 2016a環境下驗證多連通區域數值保角變換算法的有效性。基于模擬電荷法的無界多連通區域數值保角變換的誤差評價指標為

(19)

由3個圓的邊界及其外部區域所組成的區域的數值保角變換，邊界

Cl:|z-ζl0|=ρl,ρ1=1,ρ2=0.5,ρ3=1.5

(20)

約束點的位置

(21)

模擬電荷點的位置

(22)

其中，0

圖2 約束點及模擬電荷點的分布

圖3 保角變換后的圖像

下列圖中，本文算法表示基于Hybrid迭代法的無界多連通區域的數值保角變換計算法。圖4和圖5表示曲線C1的誤差曲線，其中圖4是EA1的兩種誤差曲線圖。由圖4可知，當電荷數量N<50時，兩種方法隨著電荷數的增加，誤差逐漸減小。但是當電荷數N>50時，天野法隨著電荷數的增加而增加。當電荷數N=180時，本文算法的EA1的誤差為2.898 7×10-6，而天野法的EA1的誤差為7.822 4×10-4。圖5是EΘ1的誤差圖，根據圖5可知，兩種方法都隨電荷數量的增加而減小，但是在電荷數N=180時，本文算法的EΘ1的誤差為8.563 7×10-11，而天野法的EΘ1的誤差為8.293 9×10-6。

圖4 EA1的誤差曲線

圖5 EΘ1的誤差曲線

圖6與圖7為C2的誤差曲線。圖6中，當N>40時，本文算法EA2隨著電荷增加，誤差逐漸減小，但天野法EA2隨著電荷增加而增加。當N=180時，本文算法的EA2和EΘ2的誤差分別為1.676 7×10-7、4.534 5×10-10，但是天野法的EA2與EΘ2的誤差為8.597 7×10-4、1.015 9×10-6。

圖6 EA2的誤差曲線

圖7 EΘ2的誤差曲線

圖8和圖9是C3的誤差圖。如圖所示，本文算法的誤差曲線在天野法方法的下方。綜上可以說明本文所提出算法的有效性。

圖8 EA3的誤差曲線

圖9 EΘ3的誤差曲線

以C1、C2、C3的外部區域網格再次驗證本文所提出的算法的有效性。圖10中圓形表示約束點，“+”號表示模擬電荷點。圖11為圓形邊界及外部區域網格數值保角變換的圖形。從圖11可以看出，將邊界圓變成了徑向狹縫，外界區域的網格還是變為外界區域的網格，證明了基于Hybrid迭代法的無界多連通區域數值保角變換計算法的有效性。

圖10 圓形邊界及外部區域網格

圖11 圓形邊界及外部區域網格的保角變換

由表1可以看出，本文算法的運行時間更短，說明了本文算法更加有效。

表1 運行時間的對比

5 結束語

本文提出了基于Hybrid迭代法的無界多連通區域的數值保角變換計算法，并且通過數值實驗驗證了所提出的算法的有效性。基于Hybrid迭代法的無界多連通區域的數值保角變換精度高于天野法。本文采用多連通的網格區域模擬了保角變換的計算結果，進一步驗證了算法有效性。本文所提出的算法同樣可以解決單連通區域及雙連通區域的數值保角變換問題，還可以解決流體力學中的渦流計算問題，具有較好的應用前景。