試論分類討論思想在初中數學解題教學中的應用

梁鵬

【摘 要】分類討論是一種重要的數學思想和解題策略，反映了整體分解的思想和分類整理的方法。發現數學對象的內在規律，有助于學生進行歸納總結，組織知識，提高思維的條理性和概括能力。運用分類討論法進行數學問題解決教學，能提高學生解決問題的效率，促進學生思維的發展。

【關鍵詞】分類探討思想;初中數學;解題教學;應用

學生從小學進入初中后，在學習內容、方法和思維方式等方面都發生了很大的變化。類別討論是數學中的一個重要概念。解題分類要正確、合理、嚴謹，能極大地簡化復雜的問題，達到簡化復雜問題、化難為易的目的。

一、分類討論思想的概述

近年來，在中考中，經常出現分類討論題的問題。分類討論題不僅考察了學生運用知識點的靈活性和計算的能力，而且還考察了學生在解決數學問題時能否在各種可能情況下綜合分析不同結果。分類討論是初中數學教學中的一個重點和難點，為更好地選拔初中生，中考常以分類討論題作為結尾來考驗學生的能力。通過復習，筆者發現分類思維方法主要體現在以下幾個方面：概念的分類;實數法、有理法、絕對值法;點（線、圓）與圓（圓）的位置關系法;兩圓（圓）的正切法;在分析歷年中考試題的基礎上，作者認為分類討論的思想滲透在以下幾個方面：（1）滲透到與函數相關的分類問題中去;（2）滲透到與幾何相關的分類討論中去;（3）對數論和公式論分類問題進行了深入探討。

二、初中數學教學的現況

雖然新課程改革逐步推動了初中數學教學的發展，但一些教師仍然受傳統教學理念的束縛，那是傳統的教法，把書本知識生搬硬套，把術語灌輸給學生，學生很難主動思考和解決問題，導致學生創新意識淡薄，數學學習效率難以提高，不利于未來的成長和發展。因此，在數學教學中應用分類探討思想，有利于激發學生的學習積極性，引導學生獨立分析問題。運用分類討論的方式，引導學生進行思考與探索，有助于學生創新思維能力的培養。

三、思想內容的分類探討

分類探討思想方法能把完整的數學概念轉化為零散的數學細節，實現可靠的歸納分析。分類探討思想是指根據數學對象的性質是否相同，將其分為不同的類別。素質教育的改革與發展，使初中數學教學體系逐步向素質教育過渡，分類探討思想有助于提高學生數學思維的嚴謹度和數學知識的實踐性，幫助學生對所學知識進行歸納、總結。根據應試教育的要求，運用分類討論法，可以提高學生解決數學問題的能力。分類探討思想符合初中生的思維方式。運用分類探討思想，有利于學生理清思路，提高數學思維能力，增強創新意識和實踐能力。

四、分類討論思想在初中數學解題教學中的運用策略

（一）培養分類討論思想

教師在日常教學中應注重對學生分類討論思維的培養，并將其滲透到數學教學的各個環節，引導學生進行認真觀察與思考。學好數學分類討論技巧，學生在日常數學學習過程中，不能不分門別類，老師講解數學內容時，一定要區分不同的類型和模塊。在數學教學中融入分類討論思想;如在講解數的知識點時，老師可以把數字分成正有理數、負有理數和零分類法，然后再把它們分類探討。分類探討思想在教學中的不斷運用，使學生感受到分類探討思想的核心內容，有利于強化學生對數學知識的理解，形成以數學問題為核心的分類處理意識。同時還可以模仿教師的方法掌握日常的學習過程，掌握數學分類的原則。劃分的基本條件對象，按照劃分標準對對象進行統一，只有這樣，分類討論思想才能在數學學習中發揮更大的作用。

（二）指導學生簡化數學分類法要求

初中學生的數學思維還不夠完善，在不斷提高的過程中，所以學生對這種數學思維概念的分類、討論和探討也只是處于接觸之中，難免會思維過于復雜，導致學習效果不好。對此，教師應注意觀察、了解學生近期的學習情況，學生采用的分類討論法是否正確，討論法是否簡化等問題，有助于提高教學效率。《數學教材》在學習絕對值這一部分知識時，起到了很好的指導作用，比如教材中有關絕對值的三種情況。教科書中的絕對值分為三類，主要用于分類討論。所以，教師還應將自己的思想融入數學教學過程中，讓學生在對數學問題進行分類研究的同時，做到簡明扼要、全面，避免因分類過于復雜而在討論中出現錯誤。

（三）培養學生的數學分析能力

在數學教學中，教師應注重培養學生的數學分析能力，使學生在分類討論問題的時候能夠認真思考，以身作則。解題時還要綜合考慮問題，以保證解題的全面性和完整性。教學過程中，教師應理清復雜的問題解決過程，理清數學問題解決的思路，培養學生的精細思維，引導學生多做習題，在實踐中讓學生認識分類原則，做到有求必應，有錯必糾。

（四）運用分類討論思想提高學生數學問題解決能力

運用分類討論思想開展數學教育，提高學生的數學解題能力，教師應引導學生運用分類討論思想，選擇適當的數學教材內容，確定教學目標，有效地開展課堂教學，將有效的公式和定理公之于眾，引導學生自己探索論證和分類。采用分門別類的討論方法。教師應幫助學生整理分類、討論思考、運用原則，幫助學生全面提高答題能力，使學生掌握學習技能，這也是新課程的具體要求。

五、分類討論思想在數學中的應用實例

（一）幾何學應用

初中幾何知識中包含了大量的圖形知識，運用分類討論方法，可以對這類數學問題的幾何知識進行更全面的探討。比如，圓與直線之間的關系，按照圓與直線之間距離與半徑之間的數量關系，可以劃分為相交、相切和距離位置關系。這顯然是一種典型的分類討論思想。另外，分類器的思想可以用來計算直角三角形的邊長。例如，如果你知道直角三角形的邊是4和6，那么你可以找到另外一條邊。先看一下，題目很簡單。但也有很多同學不夠全面，畢竟題目并沒有說明這兩條邊是斜還是直。有兩種情況，我們可以討論并解決這個問題：6是斜邊長，4是直邊長，4和6都是直邊長。分門別類的討論實際上是一種數學思維方式。這種教學方法，滲透了分類討論的思想，對學生學習很有幫助。本文認為，在幾何圖形問題解決的教學中，教師應注意將討論式思維進行適當整合，以提高問題解決的教學質量。

（二）代數的應用

分類討論數學問題對幾何學和代數的研究具有重要意義。代數知識是非常有邏輯和嚴謹的，解決代數數學問題，不僅需要高效而充分的推理能力，而且需要綜合的思維能力。解法的多重性是代數問題的一個顯著特征，研究解的分類十分重要。例如，一個關于一維線性不等式的數學問題：一個公司決定購買5臺機器來生產一些活塞，以擴大經營。目前有兩種機器可供選擇。每臺機器的價格是50，100美元，每天生產活塞的數量是80個和50個，根據預算，購買這臺機器的花費不會超過22萬元。如公司購買的5臺機器的日生產能力不能少于280臺，應選擇哪一種來節約成本？經過仔細分析，公司采購可按以下三種方案進行：方案1：不買a型機，買B型機5臺;方案2：買a型機，1臺，買B型機4臺;方案3：買2臺A型機，買3臺B型機，從實例中看，解決這類問題必須分兩步走，否則就容易出現解決方案不完善的情況。分類討論通常對函數、方程等問題的求解具有重要意義。解決問題要寓教于樂，循序漸進地培養學生分類討論意識，進一步提高學生分類討論能力。

（三）適用于實際問題

在解決問題的過程中，數學需要學生具有較強的思維能力、學習能力、理解能力，尤其是解題邏輯能力和綜合分析能力。但畢竟初中生學習經驗不足，能力有限。新課改后，數學教材還增加了研究性學習等實踐活動，增強了學生的綜合分析能力和學習能力。因此，初中數學教師要注意把討論思維分類，科學地運用到實際課題中去，幫助學生有條不紊地開展課題活動。例如，在八年級第二卷中，老師可以創造這樣的題目：一家牛奶加工廠生產9噸鮮奶。如果直接在市場上銷售，則每噸利潤500元;如果直接銷售，則每噸利潤1200元;如果銷售奶片，則每噸利潤2000元，加工3噸;如果生產奶片，則每天加工1噸，由于人力有限，不能同時進行兩種加工方式，溫度也有限，這批奶必須在4天內出售或加工。同時，指導學生從提高企業經濟效益的角度出發，設計出相應的方案。只有這樣，才能真正提高學生分類討論的思維能力，同時又能培養他們的綜合思維能力，從而真正提高他們的綜合實踐能力。因此，初中數學教師可以采取合理的教學方法，將分類討論的思想充分滲透到實踐活動和課堂知識教學中，不斷提高學生的解題能力。

六、結束語

若能清晰、安全地掌握日常學習生活中分類討論的理由與標準，則能很好地運用分類討論的思想。數學學研究的重點是分類討論，它也是一個難題，它使許多學生討厭數學，要消除這些問題，需要教師客觀地講，不要給學生太多壓力，要讓學生平靜地接受，不要過分依賴分類討論的思維方式。簡而言之，就是以簡單為基礎的，為了從不同的角度審視資料，我們必須探究問題的特殊性。總之，在解決問題的過程中，我們應該仔細觀察問題，找到最好的解決辦法。如果把數學進行分類討論，就會使人的思想被接受，數學能力得到培養，科學性大大提高，這種思維習慣就會對學生將來的學習和生活產生深遠的影響。

【參考文獻】

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