2021年八省市高考適應性考試第22題的錯誤分析*

華南師范大學數學科學學院(510631) 馬振迪 蘇洪雨

一、問題背景

2021年是廣東省新一輪高考改革的起始年,也是全國第三批實行新高考改革試點省市的改革元年.為使新高考改革平穩落地實施,為使考生、高中和招生院校了解高考新方案下的考試招生模式,廣東、河北、遼寧等八省市于2021年1月23-25 日同步組織了普通高校招生適應性考試.本次考試的數學卷在題目新穎度上有了很大的提升,重點考察了學生對于知識點活學活用、正向遷移的能力,有些題目甚至給考生和一線教師眼前一亮的感覺,但同時也讓很多考生頻頻失分.本文對數學卷第22 題進行分析.

第22 題已知函數f(x) = ex ?sinx ?cosx,g(x) =ex+sinx+cosx

(1)證明:當x>時,f(x)≤0;

(2)若g(x)≤2+ax,求a.

這是一道函數與導數題,題目敘述簡潔,由基本初等函數ex,cosx,sinx進行四則運算合成得到f(x) 和g(x).第(1)問是證明題,給出區間范圍,要求考生通過觀察f(x)解析式的結構特征,利用恒等變形、求導等手段,證明f(x)在某特定區間的非負性.第(2)問是求解題,給出g(x)與含參函數的大小關系,求參數的值.遇到含參問題,常用做法是構造新函數,可以通過分離參數,或者作差等方法.本題主要考查了考生對求導、輔助角公式、函數單調性等知識點的掌握,應用構造函數、作差、分離參數、切線等解題方法,對函數區間進行劃分、合并、替換的能力,對考生的邏輯推理、數學運算的核心素養提出了較高的要求.

評閱過程中,筆者發現各分數段的考生既有共同的數學錯誤,也表現出分層的錯誤差異,這引發了筆者的進一步思考:各分數段的考生在函數與導數壓軸題常犯的錯誤有哪些? 這些錯誤分別屬于哪些錯誤類型? 通過以上分析希望能對一線教師突破此教學難點、實施分層教學、采取精準指導起到一定幫助.

二、錯誤分析

羅增儒在《中學數學解題的理論與實踐》中曾提及:“解題的成功取決于多種因素,其中最基本的有:知識結構、思維能力、經驗題感、情感態度,即常說的解題基本功”[1].但由于以上四要素的缺失或不完善,考生在面臨考試時會出現失分、扣分、甚至零分的情況.通過本次閱卷情況來看,滿分占據極小的占比,能給我們帶來的信息較少;而零分和部分分的考生幾乎各占一半,提供了最多最有價值的信息,展示了“一點不會、會而不對、對而不全”的考生表現和成因,因此本文重點考察“零分”和“部分分”.

筆者發現,考生在第(1)問存在9 種錯誤,在第(2)問存在10 種錯誤.鑒于考生的數學錯誤數量過多,為了能發現考生所缺失的知識素養或者能力,以便進行針對性的分析,有必要對這些錯誤歸類.通過文獻查找,主要借鑒了羅增儒對學生答題失誤的類型劃分[2-3],進一步參考近20年來的研究成果[4-8],對各分數的考生所犯的19 種數學錯誤進行了歸納,并給出對應所屬錯誤類型,見表1.其中,學生普遍犯的錯誤有KⅠ-3、KⅠ-5、KⅡ-1、KⅡ-2、LⅡ-3,其余屬于個別錯誤.根據考生所犯錯誤的異同點劃分成5 個分數段,分別是0 分、1-3 分、4-6 分、7-9 分、10-11 分,并給出了對應所犯的數學錯誤,見表2.

表1:考生數學錯誤及類型

表2:各分數段考生所犯錯誤

(一)第(1)問的錯誤分析

1 知識性錯誤記錯公式法則、混淆數學概念、濫用解題方法

錯誤1:求導出錯(KⅠ-1)

?(cosx)′= sinx; (?sinx ?cosx)′= 0; (ex)′=c(常數)或lnx或xex?1

錯誤2:用錯輔助角公式(KⅠ-2)

?將f′(x) = ex ?cosx+ sinx寫成f′(x) = ex ?或

錯誤3:三角函數值域求錯(KⅠ-3)

?當

?x≤0 時,ex≤1,,∴f′(x)>0

?當時,sinx ?cosx<0

錯誤4:三角函數的單調性出錯(KⅠ-4)

?當x ∈(,0)時,隨增大而增大

KⅠ-1 屬于基礎知識點的錯誤,考生因對公式法則不夠熟練或者混淆而出錯,KⅠ-2、KⅠ-3、KⅠ-4 都是關于三角函數的錯誤,考生在面臨三角函數尤其是任意角、負角時,沒能正確計算值域和判斷單調性,對正弦函數與余弦函數的大小關系也不明朗.究其根本在于對高中三角函數的理解不到位,沒有把握住三角函數的兩大工具——單位圓和函數圖像.

錯誤5:區間劃分不合理(KⅠ-5)

?令f′(x) = 0 得x= 0,當x >0 時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞) 上單調遞增,當x <0 時,f′(x)<0,f(x) 在(?∞,0)上單調遞減

?∵f′(0) = 0,故當x ∈時,f′(x)<0,當x ∈(0,+∞)時,f′(x)>0

?令f′(x) = 0 得x=由f′(x)<0 得x ∈∴f(x)在(?∞,單調遞減,由f′(x)>0得∴f(x)在單調遞增

錯誤6:割裂函數去討論(KⅠ-6)

?f′(x)=ex ?cosx+sinx,則∵當x>時ex >0,∴只需討論?cosx+sinx,令h(x)=?cosx+sinx

犯KⅠ-5、KⅠ-6 錯誤的考生容易受慣性思維影響,認為函數的駐點左右的導數符號相反,因此不能合理劃分區間進行分類討論,直接不加計算地得出錯誤結論;對函數整體和部分的分析思路不夠清晰,沒有意識到盡管ex >0 恒成立,但是?cosx+sinx若小于0,f′(x)的符號是不明確的,因為需要考慮兩個部分函數對符號的影響程度.

2 邏輯性錯誤言而無據、不等價變換

錯誤7:缺乏必要說明(LⅠ-1)

?f′′(x) = ex+當x ∈(0,+∞) 時,f′′(x)>0,則 在(0,+∞) 上f′(x) 單調遞增.可以改成:當x ∈(0,π] 時,f′′(x)>0,當x ∈(π,+∞) 時,f′′(x)>eπ ?則當x ∈(0,+∞)時,f′′(x)>0.

?f′(x) = ex ?當x >0 時,易證f′(x)>0.濫用“易證”導致論據不足,可以改成:當x+即時,ex≤ 1,≤ 1,所以f′(x)>0; 當故當x≤0 時,f′(x)>0.

錯誤8:對恒成立認識不清(LⅠ-2)

?要證f(x) ≤0,即證ex≤sinx+cosx,令h(x) =sinx+cosx,H(x)=ex,即H(x)min≤h(x)max

LⅠ-1、LⅠ-2 均屬于邏輯性錯誤,犯LⅠ-1 的考生其實違背了充分理由律,沒有意識到結論的獲得需要理由、理由務必真實、理由能夠必然推導出論題;犯LⅠ-2 的考生運用分析法從結論入手,簡單認為兩個函數的大小關系等價于函數的最值關系,沒有意識到自變量的取值是變化的,得出錯誤結論.

3 心理性錯誤書寫不規范

錯誤9:書寫不規范(PⅠ-1)

?省略f′(x),直接寫f(x) = ex ?sinx ?cosx=ex ?cosx+sinx

?將f′(x)寫成f(x)′

?求導漏掉自變量x,如f′(x)=ex ?sinx ?cos

“零分”的考生普遍犯了書寫不規范的錯誤,并不是因為考生缺乏相應的知識和能力,而是因緊張、趕時間或平時不注意等而導致以上“低級錯誤”,建議考生在平時的數學學習過程中要動筆書寫,及時發現及時矯正,避免失分.

(二)第(2)問的錯誤分析

1 知識性錯誤記錯公式法則、濫用解題方法、錯用定理

錯誤10:除法的求導法則用錯(KⅡ-1)

?令h(x) =h′(x) =

?令h(x) =h′(x) =

錯誤11:分離參數法運用不當(KⅡ-2)

?ex+sinx+cosx≤2+ax得a≤

?g(x) = ex+ sinx+ cosx≤ 2 +ax,當x >0 時,a≤當x <0 時,a≤令h(x)=

錯誤12:割裂函數去討論(KⅡ-3)

?當x >0 時,h(x) =

≤a,令m(x)=ex+sinx+cosx ?2,m′(x)=ex ?當m′(x)>0,當∴m′(x)>0,∴當x >0,m′(x)>0,m(x) 單調遞增,∴a≤0.

錯誤13:混淆函數與導數的關系(KⅡ-4)

?令F(x) = ex+ sinx+ cosx ?2?ax≤0,易知F(0) = 0,則證F′(x)在(0,+∞)大于0,在(?∞,0)小于0.

KⅡ-1 屬于公式法則的記錯和用錯,KⅡ-2、KⅡ-3、KⅡ-4 屬于解題方法的濫用.考生分離參數時,普遍默認x >0,或忽視了0 不能作分母、不等式變號的情況;在討論單調性時,選擇性忽視分子,單獨討論分母的單調性;弄混函數與其導數的關系,下意識地認為最值點左右的導數符號是相反的.

錯誤14:連續函數的局部保號性定理使用不規范(KⅡ-5)

?令h(x) =g(x)?(2+ax) = ex+ sinx+ cosx ?2?ax≤0,h(0) = 0,則必有h′(0) = 0,即a= 2.否則,h(x) 在x= 0 處的導數不為0,在其空心鄰域內,會存在x0∈(??x,?x),使得h(x0)<0.

?令h(x)=g(x)?2?ax,g(x)≤2+ax即h(x)≤0,h(0) = 0,h′(x) = ex+?a,若h′(0)<0,則存在x0>0 使h(x)在(0,x0)單調遞減,此時h(x0)0,則存在x′ <0 使h(x) 在(x′,0) 單調遞增,此時h(x′)< h(0) = 0 不合題意.∴h′(0)=0 解得a=2.

錯誤15:洛必達法則的運用不規范(KⅡ-6)

?當x >0 時F(x) =單調遞增,∴由洛必達法則可知,ex+cosx ?sinx,則當x=0 時,上式=2.

KⅡ-5、KⅡ-6 均屬于高分段考生所犯的知識性錯誤.連續函數的局部保號性定理和洛必達法則屬于大學高等數學的內容,考生由于接觸不夠深入,對其使用的規范性和邏輯性稍有欠缺,對于此類基礎較好的學生,若能正確使用這些定理法則,對于解題以及思維的發展有一定的幫助.

對于沒有學習過連續函數局部保號性定理的考生,可以用函數的零點存在性定理來完成這部分的證明,只要能取到某一點處的函數值與假設的h′(0)符號相反即可.對于有一定基礎的考生,建議通過圖像和實例把握“局部”二字,理解保號范圍的限制性,即鄰域.

洛必達法則運用時,學生將極限與函數對等,分不清?x →0 與x →0.較為規范的書寫應該是:

或令?x=x ?x0,則

此題中x0=0,所以上式可寫成

2 邏輯性錯誤言而無據、論證不全

錯誤16:題意理解不到位(LⅡ-1)

?a=2.理由如下:……(略)所以當a=2 時,原不等式成立.

錯誤17:沒有驗證a=2 的情形(LⅡ-2)

?……得出a≤2.當a <2,……(略),不成立.所以a=2.

?若a >2 時,……(略),不合題意;若a <2,……(略),不合題意.綜上,a=2.

錯誤18:缺乏必要說明(LⅡ-3)

?q′(x) = ex+ cosx ?sinx ?a,q′(0) = 2?a,若a >0,q′(0)<0,又q′(x)在上單調遞增.故存在x=x0,使q′(x0) = 0,x0>0.∴q′(x)<0 于(0,x0)成立,∴q(x0)< q(0) = 0,∴原命題不成立.濫用“故存在”造成論據不足,可改成:∵q′(0)<0,q′(lna+1)>0,由零點存在性定理,存在唯一的x0∈(0,lna+1),使得q′(x0)=0.

?h(x)=g(x)?2?ax,∵h(0)=0,h(x)≤0,∴h′(0) = 0.此解法對應解法四,考生務必點明“x= 0 為h(x)的極小值點”這一關鍵步驟.其實涉及到Fermat 定理,但是對于高中生可以弱化處理,可改成:∵h(0)=0,h(x)≤0,∴x=0 為h(x)的最小值點,也為極小值點,∴h′(0)=0.

?F(x) =≤a,可以看到當x >0 時F(x) 單調遞增.濫用“可以看到”造成論據不充分,可改成:當x >0,令F(x) =F′(x) =令w(x) = (ex+cosx ?sinx)x ?(ex+sinx+cosx ?2),w′(x)=f(x)·x,由(1)知x >0 時,w′(x)>0,所以w(x)單調遞增,而w(0)=0,則w(x)>0,于是,F(x)單調遞增.

LⅡ-1、LⅡ-2、LⅡ-3 均屬考生所犯邏輯性錯誤,考生或對題意的充分條件及必要條件理解不到位,或混淆極值和最值的聯系,或僅靠題感過于刪減論證過程,本質上來看,考生違背了充分理由律,缺乏良好的題意理解能力.

從題目來看,“若g(x) ≤2+ax,求a”,要求從所給不等式算出a的值,即a的所有取值是原不等式存在的必要條件.而考生作答情況表明,考生對極值存在兩個疑問:函數的最小值什么情況下就是極小值? 極小值點的導數值一定為0嗎? 實際上,函數的最值與極值有緊密的聯系,極值反映了函數在某一點附近的大小情況,刻畫的是函數的局部性質,而最值刻畫的是函數在某區間的整體性質; 一般求函數最值,拿區間內極值和端點處函數值比較,其中最大的為最大值,最小的為最小值.

Fermat 定理(若f(x)在點x0可導,且x0是f(x)的極值點,則f′(x0) = 0)表明可導函數f(x)在一點處的導數值為0 是f(x)在這點取極值的必要條件,而非充分條件,如x= 0 是函數y=x3的駐點而不是極值點,x= 0 是函數的極小值點而不是駐點,是不可導點.簡言之,若函數f(x)在點a左右導數值非零且符號相反,則a必為極值點.

3 心理性錯誤遺漏條件

錯誤19:驗證a=2 時,定義域不完整(PⅡ-1)

?記F(x) =g(x)?ax ?2,F′′(x) =g′′(x) =f(x),由(1)可知,當x >時,F′′(x) =f(x) ≤0,∴F′(x)在上遞增,∵F(0) = 0,F′(0) = 2?a.當a= 2 時,F′(0) = 0,當時F′(x)<0,當x>0 時F′(x)>0.∴F(x)在上遞減,在(0,+∞)上遞增,∴F(x)≤F(0)=0 滿足題意.

考生借用了第(1) 問的結論,但由于心理疏忽等原因沒有討論完整區間,應補上x ∈(?∞,的情形:對

三、教學建議

(一)重視基礎知識和基本方法,減少知識性錯誤

在平時的數學學習中,學生可以分以下三步進行針對性學習.第一步,注重基礎知識的學習,包括基本初等函數的導數公式、四則運算的求導運算法則、復合函數的求導法則、三角函數的誘導公式、三角恒等變換公式以及輔助角公式等,強化基礎.第二步,通過對近幾年高考全國卷函數與導數大題的橫向比較,筆者發現重點考察了三角函數、指數函數、對數函數等非線性初等函數,考察的能力常是對函數的轉化與構造能力,因此建議考生能從高觀點的泰勒展開式去看待這些初等函數,掌握一些重要的逼近線性函數,如lnx≤x ?1(x>0),ex≤x ?1.第三步,正確理解函數與其導數的關系,熟練運用多次求導、選擇性求導、分類討論、分離參數等方法,理解極值、最值的依存關系,如分離參數時是否進行了“恒等”變形,選擇“局部分參”還是“全分參”;明晰分類討論的四個基本原則,即同一性、完備性、互斥性、逐級性[9],做到合理分類;建議考生深入理解函數的符號性判斷問題:當部分函數通過加法或減法形式給出,是不能割裂討論的;當通過乘法或除法形式給出,可以不考慮符號已經確定的部分,單獨討論另一部分.

對于學有余力的高分段考生,可有選擇性涉獵一些高等數學的知識,例如連續函數的局部保號性定理、連續函數的介值定理、洛必達法則、泰勒展開式等,加深對函數與導數的理解.

(二)強調邏輯推理素養,突破邏輯性錯誤

邏輯推理是新課標提出的數學學科的六大核心素養之一,也是函數與導數題主要考查的核心素養.課程標準提出培養學生會用數學的眼光觀察世界,會用數學的思維思考世界,會用數學的語言表達世界.[10]由此可見,隨著核心素養的持續推進,高考將會越來越重視對“邏輯推理”素養的考查.

因此筆者建議:第一,掌握推理基本形式和規則,敢于發現問題和提出命題,勤于探索和表述論證過程,理解數學命題體系,有邏輯地表達與交流,培養數學推理的嚴謹性,例如掌握邏輯論證的基本規律,包括同一律、矛盾率、排中律、充分理由律;第二,區分邏輯推理與直觀想象在函數與導數題中的作用和地位,筆者發現,有少數同學以圖代證,通過簡單的草圖替代了嚴謹的論證過程,結論雖然正確,但因解答不嚴謹造成失分.直觀想象有助于判斷函數的圖像變化規律、探尋問題解決的方向和結論,但有其局限性,如在邏輯推理中缺乏思維嚴謹性、無法取代代數計算的合理過程.[11]建議考生加深對導數相關概念的理解,重視數形結合但避免以“形”代“數”.

(三)注重平時訓練和考試模擬,規避心理性錯誤

高考、適應性考試等大型考試不僅考驗學生的知識能力,還考驗學生的耐心和細心.像書寫不規范等低級錯誤造成失分實在可惜,因此筆者建議考生在平時訓練和模擬考試中保持心態平和,出現問題及時調整,在提高解題速度的同時,能合理分配時間,規避心理性錯誤.

(四)防范普遍錯誤,攻克個別錯誤

對于普遍錯誤,如區間劃分不合理、分離變量法運用不當,建議所有考生都能去細致分析,可以通過錯題本的方式,努力克服錯誤,進而把相應的知識能力、邏輯思維鍛煉好,不再重復犯錯.

考生可根據所處分數段針對性地避免個別錯誤(見表2),并且規避相鄰分數段的錯誤,達到未雨綢繆.