素養導向指引下例談圓錐曲線焦點三角形問題的解題策略*

福建省南平市高級中學(353000) 江智如 李壽濱 黃麗群

圓錐曲線焦點三角形問題是高考與各類模擬考試的熱點題型,涵蓋幾何、向量、三角、函數等多領域的知識與方法,綜合性強,思維強度高,是圓錐曲線知識的重點與難點,考查考生數學閱讀能力、數形結合思想、化歸與轉化思想、推理論證能力與運算求解能力.這類問題一般考查角度、周長、面積、中位線、角平分線、離心率等問題[1],包含豐富的圓錐曲線性質知識,解題策略多樣,方法巧妙,需要從不同的角度針對問題條件進行策略選擇,全方位反映焦點三角形問題的幾何特征,引導學生掌握運用代數語言把幾何問題轉化為代數問題的思想與方法,提升直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養[2],有助于學生將高中數學基本知識結構化、系統化,形成學科知識網絡[3].本文從高中學生的認知水平出發,把焦點三角形問題歸納為六種類型,在學科素養的指引下,探究問題解決的有效思路與方法.

1 概念界定

如圖1 與圖2,橢圓或雙曲線上的一點P,與兩焦點所構成的?F1PF2稱為橢圓或雙曲線的焦點三角形.本文研究的圓錐曲線焦點三角形問題界定為:結合橢圓或雙曲線的幾何性質,解決與焦點三角形相關的問題,主要包括周長、離心率、角度、面積、中位線、角平分線等問題.

圖1

圖2

2 方法探究

圓錐曲線焦點三角形問題主要圍繞圓錐曲線的幾何性質展開,利用正余弦定理、平面向量、平面幾何等相關知識與結論,借助數形結合思想,轉化為圓錐曲線的性質或解三角形題型,運用函數與方程思想、建模思想,通過扎實的運算求解能力,解決問題,常采用四種解題方法:(1)定義法;(2)解析法;(3)三角法;(4)向量法.

3 方法應用

3.1 周長問題

周長問題常考慮定義法,解題思路為:從圓錐曲線的第一定義出發,利用三角形的三邊長關系與對稱性質轉化為共線問題,確定特殊點位置,結合正余弦定理和平面向量方法求解.要求考生具有扎實的幾何功底,體現數學學習的能力與潛能[4].

題目1(2015年高考全國I 卷文科第16 題)已知F是雙曲線C:x2?= 1 的右焦點,P是C左支上一點,當?APF周長最小時,該三角形的面積為____.

分析本試題是以周長問題為背景尋找點P的位置,求解三角形面積問題.由已知條件可設左焦點為F′(?3,0),因為點P在C的左支上,所以由雙曲線第一定義可得?APF的周長|AP|+|AF|+|PF|=|AP|+|AF|+|PF′|+2a≤|AF|+|AF′|+2a,當且僅當A,P,F′三點共線且P在A,F′中間時取等號,此時直線AF′的方程為=1,聯立雙曲線方程得再由面積割補法求得,?APF的面積為考查數形結合思想、推理論證能力和運算求解能力.

3.2 離心率問題

離心率是圓錐曲線的重要性質,常以選填題形式出現,常考常新,考查考生圓錐曲線知識掌握水平和綜合應用能力.解題的思路是:根據已知條件探尋a,b,c三者之間的關系,要求考生運用圓錐曲線第一定義、正余弦定理、不等式等知識分析和探尋解題方向,通過細心的運算,步步為營,得到最終結果,培養考生數學素養,提高考生的圓錐曲線綜合應用能力.

題目2(2018年高考全國II 卷理科第12 題)已知F1,F2是橢圓C:= 1(a > b >0)的左、右焦點,A是C的左頂點,點P在過A且斜率為的直線上,?PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=120°,則C的離心率為( )

分析本試題中P點雖然不在橢圓C上,但問題本質仍然是焦點三角形題型,解題的關鍵可以由?PF1F2為等腰三角形及∠F1F2P= 120°確定點P的位置,即PF2=F1F2= 2c.再由AP的斜率為得到tan ∠PAF2=考慮把問題轉化到?PF1F2中,利用正弦定理確定角與邊的關系,即其中sin ∠APF2=而sin ∠PAF2=cos ∠PAF2=可 求sin ∠APF2=所以化簡得a= 4c,故e=考查考生綜合運用所學知識解決問題的能力,實現考查閱讀、應用、建模能力的目的[5].

3.3 角度問題

角度問題需要運用橢圓或雙曲線的第一定義,借助正余弦定理或向量夾角,轉化為焦半徑|PF1|、|PF2|與焦距|F1F2|之間的數量關系,再利用函數或不等式方法求解問題.解決思路為:設∠F1PF2=θ,則

其中|PF1| · |PF2|可由基本不等式或函數方法求解取值范圍,再根據題設條件得到θ取值范圍.特別地,當|PF1|=|PF2|時,等號成立,此時點P為橢圓短軸或雙曲線虛軸的端點,θ取到最大.

題目3(2017年高考全國I 卷文科第12 題)設A、B是橢圓= 1 長軸的兩個端點,若C上存在點M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是( )

分析本試題中A、B兩點是長軸的兩個端點,根據橢圓的對稱性質,考慮類比焦點三角形的角度結論可以得到,當點M為橢圓短軸的端點,∠AMB取到最大,此時有∠OMB≤60°.因為已知條件沒有明確橢圓焦點的位置,所以對參數m進行討論:當0< m <3 時,即0< m≤ 1; 當m >3 時,b=tan ∠OMB=≤tan 60°=即m≤9; 綜上所述,m ∈(0,1]∪[9,+∞).考查考生對橢圓性質知識的理解與應用水平,體現試題的基礎性與選拔功能.

3.4 面積問題

面積問題主要運用解析法、三角法和向量法求解,解決思路為:轉化為|PF1|、|PF2|、|F1F2|或a,b,c及角∠F1PF2=θ之間的數量關系,借助三角函數知識與圓錐曲線性質求解.特別地,在橢圓或雙曲線中,?F1PF2的底邊為定值2c,|PF1|,|PF2|及∠F1PF2=θ為變量,可以推導橢圓中焦點三角形的面積為S=b2tan雙曲線為S=

題目4(2019年高考全國II 卷文科第20 題)已知F1,F2是橢圓C:=1(a>b>0)的兩個焦點,P為C上一點,O為坐標原點.

(1)若?POF2為等邊三角形,求C的離心率;

(2)如果存在點P,使得PF1⊥PF2,且?F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.

分析本試題依托三角形背景知識考查離心率和參數取值范圍問題,考慮運用定義法和向量法求解.第(1)問面向大部分考生,首先連結PF1,由?POF2為等邊三角形可知,在?F1PF2中,∠F1PF2= 90°,于是把問題轉化為直角三角形,可求|PF2|=c,|PF1|=再由橢圓的第一定義知,2a=|PF1|+|PF2|=所以C的離心率是考查直觀想象能力與運算求解能力;

第(2)問根據焦半徑垂直關系,把面積問題轉化為動點的坐標運算.設點P(x,y),則有又PF1⊥PF2,故= 0,從而x2+y2=c2,聯立= 1,化簡得y2=所以求得b= 4.把y2=代入= 1,得x2=所以c2≤b2,從而a2=b2+c2≤2b2= 32,故a≤即當b= 4,時,存在滿足條件的點P.因此b=4,a的取值范圍為此處考查考生橢圓知識掌握與應用水平,展現考生分析問題、解決問題的思維過程[6],體現試題的選拔與區分功能.

3.5 中位線問題

中位線問題運用定義法,利用三角形中位線性質,化歸轉化為圓錐曲線第一定義求解.解題思路為:在圓錐曲線中,若點M為線段PF1的中點,連接OM,因為點O為F1F2的中點,所以在?PF1F2中,有OM//PF2且OM=從而把OM轉化為PF2,即把點M的位置問題轉化為點P的位置問題求解,考查邏輯思維能力和創新能力.

題目5(2020年福建南平高三期末質檢15)如圖3,已知F1,F2是雙曲線C:=1(a,b>0)的左、右焦點,若雙曲線右支上存在點P,使得以雙曲線實軸為直徑的圓與線段PF1相切于線段PF1的中點M,則雙曲線C的離心率為____.

圖3

分析本試題以圓的切線和三角形中位線背景知識,考查離心率問題,考慮利用圓的切線和中位線性質,把問題轉化為雙曲線的第一定義,探尋a,c之間關系求解.為此連接PF2,可得在?PF1F2中,有OM//PF2且又PF1與圓O相切于點M,故OM⊥PF1,從而PF2= 2OM= 2a且PF1⊥PF2,所以由雙曲線第一定義可知,PF1= 4a.在Rt?PF1F2中,由勾股定理得,PF21+PF22=F1F22,即(4a)2+(2a)2= (2c)2,解得體現考生將所學知識遷移到新情境,解決新問題的能力[3],培養考生數學建模能力和創新能力.

3.6 角平分線問題

角平分線問題是通過三角形的內角平分線性質,利用正弦定理把角的關系轉化為對應邊的比值,結合圓錐曲線第一定義求解.解題思路為:在?PF1F2中,若∠F1PF2的平分線為PM,交F1F2于點M,則有從而把動點P轉化為點M,而點M、F1、F2共線,再根據已知條件求解問題.考查考生數學綜合能力與學習潛能,引導考生打破常規進行思考,自主發現問題,提出解決方案,作出獨立的判斷和解答,創造性地解決問題[6].

題目6(2011年高考全國II 卷理科第15 題)已知F1,F2是雙曲線C:= 1 的左、右焦點,點A在雙曲線C上,點M的坐標為(2,0),AM為∠F1AF2的角平分線,則|AF2|=____.

分析本試題點M在x軸上,考慮運用內角平分線性質把問題轉化為點M、F1、F2共線,即在?F1PF2中,由AM為∠F1AF2的平分線可得,所以點M在雙曲線的右支,從而由雙曲線第一定義知,|AF1|?|AF2|= 2a= 6,聯立得|AF2|= 6.此題考查考生數學閱讀理解能力,強化推理論證,考查理性思維能力,激發考生學習興趣,提高考生學習的熱情,有助于創新問題的解決[6].

4 方法總結

圓錐曲線焦點三角形問題依托圓錐曲線定義與性質知識,考查考生解析幾何功底和數學綜合應用能力.考生可以通過目標分析、問題轉化、模式識別進行求解,利用正余弦定理、向量性質、勾股定理等知識,把問題轉化為圓錐曲線第一定義求解.引導考生深刻認識圓錐曲線的第一定義及豐富的幾何特征,鞏固復習已學知識,滲透解題策略多元化的思想.在日常的教學過程中,教師可以設計相應的“精致練習”[7],幫助學生鞏固與深化所學知識,構建圓錐曲線知識網絡結構,提高解題技巧及分析問題、解決問題的能力,增強思維的靈活性,培養學生求異創新的發散思維,實現學生數學學科素養的提升.