放任局部 收獲成功

安徽省霍邱縣第一中學(xué)(237499) 馮克永

高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.靈活運(yùn)用是檢驗(yàn)師生數(shù)學(xué)素養(yǎng)高低的試金石.處理好局部與整體的關(guān)系是邏輯推理素養(yǎng)的重要體現(xiàn),很多師生特別關(guān)注問(wèn)題的整體破解,忽視根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征巧用局部解題.巧用局部破整體就像是一眼活水,只要我們做一個(gè)有心人,放任局部,大膽嘗試,勇于探索,常可從中攫取新的解法,提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).茲舉數(shù)例,以饗讀者.

例1已知函數(shù)則

解析自變量成等差數(shù)列的函數(shù)值之和聯(lián)想到倒序相加求和策略,需探尋f(x) +f(1?x) 的值是多少,由化局部得f(x+兩式相加得= 2,進(jìn)一步得到f(x)+f(1?x)=2,所以

評(píng)注化整體為局部,利用局部奇函數(shù)的特征進(jìn)行兩式相加,再倒序相加是破解此題的關(guān)鍵,很值得回味.

例2已知x≤ 0,y≤ 0,且x+y= 2,求證:x2y2(x2+y2)≤2.

解析由x≤0,y≤0,x+y= 2 得0 ≤xy≤1和x2+y2≤= 2,因不等式反向而調(diào)整,將x2y2(x2+y2)化為兩個(gè)局部xy與相乘,因0 ≤xy≤1 和2,所以x2y2(x2+y2)≤2.

評(píng)注均值不等式及局部運(yùn)算是破解此題的利器,師生要有強(qiáng)烈的局部運(yùn)算意識(shí).

例3若數(shù)列{an}滿足:a1= 3,=2(n≤2),a40=81,求通項(xiàng)公式an.

解析直接去分母有點(diǎn)繁,將2 及分式分開(kāi)進(jìn)行局部處理得可以快速得到an+1?an=an ?an?1,所以數(shù)列{an}是以3 為首項(xiàng),d為公差的等差數(shù)列,由a40= 3+39d= 81 得d= 2,所以an=2n+1.

評(píng)注根據(jù)條件等式的結(jié)構(gòu)特征,妙用局部獲巧解,凸顯局部的解題功能.

例4若函數(shù)f(x) = 2a2lnx+?x(a >0)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,記過(guò)點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線的斜率為k,證明:

解析:由f′(x) == 0 有兩個(gè)不等的正實(shí)根x1,x2得x1+x2=不妨令0

代入化簡(jiǎn)得k=與x1,x2不和諧,利用局部大于整體進(jìn)行放縮即證成立,對(duì)其化簡(jiǎn)得則t ?2a2lnt ?令g(t) =t ?2a2lnt ?則g′(t) = 1?t>1,所以g′(t)>0,g(t)>g(1)=0,所以

評(píng)注利用局部大于整體進(jìn)行放縮妙不可言,很值得關(guān)注.

例5求函數(shù)f(x) =的最大值.

解析此題sin 2x,sinx,cosx共存,整體利用換元法或?qū)?shù)法很難處理,順著展開(kāi)后的數(shù)字特采用局部因式分解得

評(píng)注順著展開(kāi)后的數(shù)字特采用局部因式分解,再利用兩部法破解最值是神來(lái)之筆,耐人尋味.

例6當(dāng)x≤0 時(shí),求證:ln2(1+x)+e?2x+sinx≤

解析只要ln2(x+ 1)、e?2x與sinx共存,直接作差構(gòu)函數(shù)證明很難.“和必分”轉(zhuǎn)化為證明三個(gè)不等式:(1)ln2(1+x) ≤;(3) sinx≤x同時(shí)成立即可.

由ln2(1+x) ≤得ln2(1+x)?≤0,令f(x)=ln2(1+x)?則

令g(x) = 2(1+x)ln(1+x)?x2?2x,則g′(x) = 2 ln(1+x)?2x,令h(x) = 2 ln(1+x)?2x,則h′(x) =所以g′(x) =h(x) ≤h(0) = 0.于是f′(x) ≤f′(0) = 0,所以f(x)在[0,+∞)上為減函數(shù).于是f(x)≤f(0)=0,所以(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)等號(hào)成立)(1)成立.

由e?2x≤及1 +x >0 得ex≤1 +x,令F(x) = ex ?1?x,則F′(x) = ex ?1 ≤0.所以F(x)在[0,+∞) 上為增函數(shù),于是F(x) ≤F(0) = 0,所以(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)等號(hào)成立)(2)成立.

由sinx≤x得sinx ?x≤0,令k(x) = sinx ?x,則k′(x) = cosx ?1 ≤0,k(x) 在[0,+∞) 上為減函數(shù),于是k(x) ≤k(0) = 0,所以sinx≤x(當(dāng)且僅當(dāng)x= 0 時(shí)等號(hào)成立)(3)成立.

由(1)+(2)+(3)得ln2(1+x)+e?2x+sinx≤+x成立.

評(píng)注整體作差構(gòu)函數(shù)證明較難,利用加法化整體為局部,各個(gè)擊破是思維的一大亮點(diǎn),應(yīng)引起高度重視.

以上數(shù)例可以看到局部的解題魅力,邏輯推理的解題應(yīng)用有廣闊的研究空間,筆者在此方面只做了膚淺的探索,還未進(jìn)行深層次的研究,期待大家的進(jìn)一步探索.