與橢圓有關的斜率之積為定值的幾個命題*

山東省泰安市寧陽縣第一中學(271400) 劉才華

在與橢圓相關的綜合型問題中,有這樣一類問題,題目中含有條件“對于橢圓上兩點P,Q,O為坐標原點,滿足此類問題一般的解題思路需要將直線方程和橢圓方程聯立方程組,通過消元化歸為一元二次方程,再利用韋達定理進行較為復雜的運算給出解答.我們在解答這些題目的時候,通過觀察探究和整體運算求解發現,具有上述條件的橢圓有著一些特殊的結論,并且結論之間有著相互的內在聯系.本文從點的坐標間的關系、線段長度間的關系和直線斜率間的關系三個角度出發,得到如下幾個優美的命題.

命題1如圖1,橢圓= 1(a > b >0)上有兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),O是坐標原點,若直線OP,OQ的斜率滿足kOP · kOQ=則

圖1

證明由= 1 得同理有由kOP · kOQ=則由

命題1 給出了一條坐標間的定值性質:滿足條件的兩點間橫坐標的平方和與縱坐標的平方和均為定值.

命題2如圖1,橢圓= 1(a > b >0)有兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),O是坐標原點,若直線OP,OQ的斜率滿足kOP ·kOQ=則x1y1=x2y2.

證明由命題1 得得同理有由,則于是

故x1y1=x2y2.

命題2 給出了滿足條件的兩點間對應坐標乘積間的關系.

通過探究條件中與點P,Q相關的線段長度間的關系,我們得到

命題3如圖1,橢圓=1(a>b>0)上有兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),O是坐標原點,若直線OP,OQ的斜率滿足kOP ·kOQ=則|OP|2+|OQ|2=a2+b2(定值).

證明設P(x1,y1),Q(x2,y2),由命題1 得則|OQ|2=a2+b2(定值).

命題3 給出了一條定值性質:滿足條件的兩條線段長度的平方和為定值.

命題4如圖2,四邊形ABCD內接于橢圓1(a > b >0),且AC,BD相交于坐標原點O,若直線OA,OD的斜率滿足kOA·kOD=則|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=4(a2+b2)(定值).

證明由命題3 得|OA|2+|OD|2=a2+b2.

由橢圓的對稱性知四邊形ABCD為平行四邊形.由平行四邊形的四條邊長的平方和等于對角線長的平方和得|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=|AC|2+|BD|2=4(|OA|2+|OD|2)= 4(a2+b2),故|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=4(a2+b2)(定值).

命題4 給出了一條定值性質:由滿足條件的兩條線段生成的平行四邊形中四條邊長的平方和為定值.

通過探究條件中與點P,Q相關的直線斜率間的關系,我們得到

命題5如圖1,橢圓= 1(a > b >0)上有兩點P(x1,y1),Q(x2,y2),O是坐標原點,若直線OQ,OP的斜率滿足kOP ·kOQ=則

證明由命題1 得由kOP ·kOQ=由斜率公式得

命題5 給出了一條斜率性質:kP Q為kOP和kOQ的等比中項.

命題6如圖2,四邊形ABCD內接于橢圓1(a > b >0),且AC,BD相交于坐標原點O,若直線OA,OD的斜率滿足kOA·kOD=則kAB+kAD=0.

圖2

證法 1設A(x1,y1),B(x2,y2),則由題意得D(?x2,?y2),則kAB+kAD=由命題2 得x1y1=x2y2,故kAB+kAD=0.

證法2由題意得kOA ·kOB=kOA ·kOD=由命題5 得由于kAB與kAD一正一負,故kAB+kAD=0.

命題6 給出了一條斜率性質:由滿足條件的兩條線段生成的平行四邊形中,兩條鄰邊所在直線的斜率為互為相反數.