面積為定值的阿基米德三角形的軌跡問題

四川成都七中(610041) 康 盛

2019年高考課標全國Ⅲ卷理科以阿基米德三角形(圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形,如圖1)為背景,考察了定值定點問題.在筆者對此題進行變式研究的過程中,偶得一些性質,與同行交流.

一、問題提出

我們先來看這道高考題:

題目(2019年高考全國Ⅲ卷)已知拋物線C:x2=2y,D為直線y=上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B.(1)證明:直線AB過定點;(2)略.

在第(1)問中,出題者利用“若阿基米德三角形中的切點弦AB恒過焦點,則動點D的軌跡為拋物線的準線”這一結論.這促使我思考這樣一個問題:若阿基米德三角形ABD的面積為定值,則動點D的軌跡是什么呢?

二、問題探索

見圖1,在幾何畫板中,我利用文[1]中所介紹的方法,作出拋物線C:x2= 2y的阿基米德三角形ABD,設三角形ABD的面積為40cm2,在幾個不同的位置得到了點D的坐標,如下表:

面積(cm2)40.07 40.01 39.9 39.96 39.8 39.96 39.88 40.24點D 橫坐標?1.2?0.99?0.53?0.26?0.01 0.21 0.54 0.75點D 縱坐標0.0 0.65 1.16 1.37 1.54 1.68 1.84 1.98

圖1

根據表中數據,借助Excel 畫出圖形(圖2).因拋物線具有對稱性,故猜想它也應該是一條拋物線.

圖2

下面,通過對一般情況的研究,得到兩個結論,并予以證明.

三、問題解決

性質1過拋物線C外一動點作拋物線的切線,若兩切點與這點構成的三角形(阿基米德三角形)面積是定值,則這點的軌跡為一拋物線,且與C有相同的對稱軸和焦準距(焦點到準線的距離).

證明如圖3,設拋物線C:y2= 2px,拋物線外一點D(x0,y0),兩切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2)三角形ABD的面積為S.

圖3

1.求切點弦AB的方程.顯然由導數的幾何意義得,過點A的切線的斜率k=所以過點A的切線方程為:y?y1=整理得yy1?y12=px ?px1,即為:yy1=p(x+x1).同理過點B的切線方程為:yy2=p(x+x2).因點D在DA上,故有y0y1=p(x0+x1),同理,點D在DB上,故有y0y2=p(x0+x2),所以切點弦AB的方程為:yy0=p(x+x0).

2.求三角形ABD的面積.點D到AB上的距離聯立切點弦AB與拋物線y2= 2px,得:y2?2y0y+2px0=0,所以:|y1?y2|=故|AB|=所以

這個命題的逆命題是否成立呢?

性質2具有相同對稱軸和焦準距的兩拋物線,在其中一拋物線上任取一點,向另一拋物線作切線,則兩切點與這點構成的三角形面積是定值.

證明如圖3,設拋物線C′:y2= 2px+K上(K為常數)

一點D(x0,y0),向拋物線C:y2= 2px兩切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2)三角形ABD的面積為S.

由性質1 的證明過程可知S=又因為C:y02=2px0+K,即y02?2px0=K,代入上式可得即面積為定值,得證.