成也“消和”,敗也“消和”
——例談由數列的前n項和求解通項公式

南京市第九中學(210018) 宗 園

解題背景

在數列的起始課時,學生便已經知道數列{an}前n項和Sn的概念,可用數學符號語言描述為:Sn=a1+a2+a3+···+an,這個簡單的定義式衍生出了由數列的前n項和求解通項公式的通式:

在實際應用中,一方面,我們可以利用(?)式將題目條件中的前n項和Sn消去,得到通項an,下文稱此法為“消和”法; 另一方面，我們也可以反其道行之,將題目條件中的an換成Sn ?Sn?1,將條件中的通項與和的關系轉換成和的遞推關系,下文稱此法為“消項”法.

題型剖析

類型一:已知Sn =f(n),求an.

典例1已知數列{an}的前n項和Sn= 2n ?3,求數列{an}的通項公式.

解題思路直接使用(?)式求解得

易錯點直接用an=Sn ?Sn?1,忽視a1=S1.

變式已知等比數列{an}的前n項和Sn=2n+a,求數列前n項和Tn.

解題思路由數列{an}為等比數列,利用前三項成等比(或等比數列前n項和的函數性質)得a=?1,首項為1,公比為2.故數列的首項為1,公比為4,得Tn=

易錯點(1)忽略等比數列的前提,不求實數a的值;(2)數列的公比或首項出錯.

類型二:已知Sn =f(an),求an.

典例2已知數列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,an+1=(n ∈N?),求an.

解題思路方法(1)(“消和”):由題設得

兩式相減得

方法(2)(“消項”):將an+1=Sn+1?Sn代入條件式,得Sn+1?Sn=由累乘法(或由(n≤1)得數列為首項為2,公比為2 的等比數列求解的通項),得Sn=n·2n.由(?)式求解得an=(n+1)·2n?1.

變式已知數列{an}的前n項和為Sn,且a1=4,4Sn=a1+a2+a3+···+an+1(n ∈N?),求an.

解題思路方法(1)(“消和”):由題知4Sn?1=a1+a2+a3+···+an(n≤2),與條件式相減得4an=an+1(n≤2),又由題得a2=12?=4a1,得an=

方法(2)(“消項”):條件等價于4Sn=Sn+1(n ∈N?),故數列{Sn}是首項和公比均為4 的等比數列,即得Sn= 4n.由(?)式求解得an=

類型三:已知形如p(1)a1 + p(2)a2 + p(3)a3 + ··· +p(n)an =f(n),求an.

典例3已知數列{an}滿足a1+2a2+3a3+···+nan=(n ?1)·2n+1+2(n ∈N?).求數列{an}的通項公式.

易錯點條件式左側聯想到錯位相減法,導致解題受阻.

解題思路將條件式左側看成數列{nan}的前n項和Tn(可以通過換元,令bn=nan降低理解難度),由(?)式求解得nan=n·2n,故an=2n.

變式已知數列{an}滿足a1+22a2+32a3+···+n2an=n2(n ∈N?).求數列{an}的通項公式.

類型四:已知形如an =f(Sn),求an.

典例4已知數列{an}的前n項和為Sn,a1= 1,且2an=an·Sn ?,n≤2.求數列{an}的通項公式.

易錯點(1)習慣上通過“消和”來實現“求項”,發現此路不通,不能及時轉化思路;(2)用(?)式求解時忽略驗證首項.

解題思路將an=Sn ?Sn?1(n≤ 2) 代入條件式,得2(Sn ?Sn?1) =?SnSn?1(n≤2),兩邊同時除以?SnSn?1,得= 1,因此數列是首項為2,公差為1 的等差數列.故=n+1,即得Sn=由(?)式求解得an=

變式已知數列{an}的前n項和為且an+3SnSn?1=0,n≤2.求數列{an}的通項公式.

解題反思

筆者在教學中發現,學生求解數列通項題時,習慣上多用逐項列舉、由特殊到一般進行歸納,這一方面費時費力,有時并不容易發現規律,另一方面作為解答題的書寫不規范導致失分嚴重.故在教學中,應配合板書,著重強調通性通法的使用.

通過文中列舉的幾種常見題型,我們發現由數列的前n項和求解通項公式主要依據就是(?)式,關鍵在于(?)式的正用和反用:(?)式正用可消項,得到和數列{Sn}的遞推公式,求出Sn表達式,再用(?)式得數列{an}的通項公式;(?)式反用可消和,由已知寫出Sn?1,兩式相減得到數列{an}的遞推公式或相關數列的通項公式,從而求得數列{an}的通項公式.

最后將上述解題思路簡單歸納如下,希望能幫助學生用好(?)式,解決好相關問題.

途徑一(“消和”):由Sn寫Sn?1(n≤2)的表達式,兩式作差即得an(n≤2),勿忘驗證首項!

途徑二(“消項”):將(?)式代入條件得Sn與Sn?1(n≤2)的關系式,求得Sn后再用(?)式可得an!