已知函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的求解策略

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

已知x=x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),且f′(x0)=0,求函數(shù)f(x)中的參數(shù)a的取值范圍問(wèn)題是最近幾年全國(guó)和各省市高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,也是難點(diǎn)問(wèn)題.比如2016年高考山東卷文科第20 題,2018年高考北京卷第19 題以及2018年全國(guó)III 卷的導(dǎo)數(shù)壓軸題都對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行考查,尤其是全國(guó)卷的壓軸題,求解難度非常大,以至于部分教師對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案頗感費(fèi)解.經(jīng)筆者研究,針對(duì)此類問(wèn)題給出常見(jiàn)的求解策略.

策略一:分類討論,考慮函數(shù)的單調(diào)性

例1(2018年高考北京卷第19 題) 設(shè)函數(shù)f(x) =[ax2?(3a+1)x+3a+2]ex.

(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為0,求a;

(Ⅱ)若f(x)在x=1 處取得極小值,求a的取值范圍.

解(Ⅰ)略.(Ⅱ)f′(x)=(ax ?1)(x ?1)ex.

(1)當(dāng)a= 0 時(shí),令f′(x) = (1?x)ex,由f′(x) = 0 得x=1.顯然f(x)在(?∞,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,所以f(x)在x=1 處取得極大值,不合題意.

(2)當(dāng)a>0 時(shí),令f′(x)=0 得x1=,x2=1.

①當(dāng)x1=x2,即a=1 時(shí),f′(x)=(x ?1)2ex≤0,所以f(x)在R 上單調(diào)遞增,所以f(x)無(wú)極值,不合題意.

②當(dāng)x1>x2,即0

x (?∞,1)1(1, 1 a)1 a (1 a,+∞)f′(x)+0?0+f(x)↗極大值↘極小值↗

所以f(x)在x=1 處取得極大值,不合題意.

③當(dāng)x11 時(shí),f′(x),f(x)如下表:

x (?∞, 1 a)1 a (1 a,1)1(1,+∞)f′(x)+0?0+f(x)↗極大值↘極小值↗

所以f(x)在x=1 處取得極小值,即a>1 滿足題意.

(3) 當(dāng)a <0 時(shí),令f′(x) = 0 得x1=,x2= 1.f′(x),f(x)如下表:

x (?∞, 1 a)1 a (1 a,1)1(1,+∞)f′(x)?0+0?f(x)↘極小值↗極大值↘

所以f(x)在x=1 處取得極大值,不合題意.

綜上所述,a的取值范圍為(1,+∞).

點(diǎn)評(píng)極值點(diǎn)問(wèn)題其本質(zhì)還是單調(diào)性問(wèn)題,因此只需要分類討論弄清楚函數(shù)的單調(diào)性即可,這是解決此類問(wèn)題的一個(gè)基本方法.但是,含參函數(shù)單調(diào)性的討論也是導(dǎo)數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題,因此利用分類討論單調(diào)性來(lái)求解此類問(wèn)題往往比較復(fù)雜.

策略二:利用極值點(diǎn)的定義

例2若x=0 是函數(shù)的極大值點(diǎn),求a的取值范圍.

解

因?yàn)閤= 0 是f(x) 的極大值點(diǎn),則存在充分接近于0 的δ >0,使得當(dāng)x ∈(?δ,0) 時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x ∈(0,δ) 時(shí),f′(x)<0.分 析f′(x) 的特點(diǎn)可知,當(dāng)x ∈(?δ,0) 時(shí),4a2x2?8ax+ 1?6a >0,當(dāng)x ∈(0,δ)時(shí),4a2x2?8ax+1?6a <0.顯然a= 0 不符合要求; 當(dāng)a ?= 0 時(shí),y= 4a2x2?8ax+1?6a為開(kāi)口向上的二次函數(shù),則此時(shí)它必然經(jīng)過(guò)原點(diǎn),于是1?6a=0,得,于是二次函數(shù)(x ?12),顯然x=0 為f(x)的極大值點(diǎn).綜上:a的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)利用極值點(diǎn)的定義,只需要考慮導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)附近的符號(hào)(局部性質(zhì)),求導(dǎo)后觀察分析導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)附近的符號(hào)來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.

策略三:利用極值點(diǎn)的第三充分判別法

例3(2018年高考全國(guó)III 卷第21 題) 已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(x+1)?2x.

(1) 若a= 0,證明:當(dāng)?1< x <0 時(shí),f(x)<0; 當(dāng)x>0 時(shí),f(x)>0;

(2)若x=0 是f(x)的極大值點(diǎn),求a.

解(1) 略.

(2)f′(x) = (1+2ax)ln(x+1) +?2,則f′(0) = 0,f′′(x) = 2aln(x+1) +則f′′(0) = 0,f′′′(x) =由f′′′(x)=0 得a=

下證:當(dāng)a=時(shí),x= 0 是f(x) 的極大值點(diǎn).當(dāng)可知f′′(x)在(?1,0)單調(diào)遞增,在(0,+∞)單調(diào)遞減,進(jìn)而有f′′(x)≤f′′(0)=0,從而f′(x)在(?1,+∞)單調(diào)遞減,于是當(dāng)x ∈(?1,0)時(shí),f′(x)> f′(0) = 0,當(dāng)x ∈(0,+∞)時(shí),f′(x)< f′(0) = 0,從而f(x)在(?1,0)單調(diào)遞增,在(0,+∞)單調(diào)遞減,所以x=0 是f(x)的極大值點(diǎn).綜上:a=

點(diǎn)評(píng)極值點(diǎn)的第三充分判別法:已知函數(shù)f(x) 在x=x0處各階導(dǎo)數(shù)都存在,若f′(x0) =f′′(x0) =···=f(n?1)(x0) = 0,f(n)(x0)?= 0,則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),x0是f(x)的極值點(diǎn)(f(n)(x0)>0 為極小值點(diǎn),f(n)(x0)<0 為極大值點(diǎn));當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),x0不是f(x)的極值點(diǎn).此種解法借助了高等數(shù)學(xué)中的結(jié)論,已超出了中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)范疇.

策略四:分離參數(shù)

例4題目同例3.

解由題意:x=0 是f(x)的極大值點(diǎn),則存在充分接近于0 的δ >0,使得當(dāng)x ∈(?δ,0)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x ∈(0,δ)時(shí),f′(x)<0,由于對(duì)任意的x ∈(?1,+∞),都有2xln(x+1) ≤0,于是有2xln(x+1)+≤0,分離參數(shù)后有:

①當(dāng)x ∈(0,δ)時(shí),a <②當(dāng)x ∈(?δ,0)時(shí),a >考慮到極值為函數(shù)f(x)在x= 0 處附近的性質(zhì),讓?duì)?→0 并根據(jù)洛必達(dá)法則有:

評(píng)注此題難度極高,以至于中學(xué)教師對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案也頗感費(fèi)解,例3 中我們用極值點(diǎn)第三充分判別法解決,但是需要用到較多的高等數(shù)學(xué)知識(shí),這里的解法相對(duì)比較簡(jiǎn)單,不過(guò)也需要用到洛必達(dá)法則,對(duì)于相關(guān)知識(shí)點(diǎn)需要給學(xué)生補(bǔ)充!

經(jīng)筆者研究,發(fā)現(xiàn)此類問(wèn)題大部分都可以用分離參數(shù)的方法快速統(tǒng)一解決.其一般模式如下:

以x=x0為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)為例,且設(shè)f′(x0) =0.根據(jù)極小值點(diǎn)的定義可知:存在充分接近于0 的δ >0,使得當(dāng)x ∈(x0?δ,x0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x ∈(x0,x0+δ)時(shí),f′(x)>0.假設(shè)f′(x)經(jīng)過(guò)變形后得到:當(dāng)x ∈(x0?δ,x0)時(shí),a·g(x)h(x).

(1) 若當(dāng)x ∈(x0?δ,x0)∪(x0,x0+δ) 時(shí),有g(shù)(x)>0(或g(x)<0),則 當(dāng)x ∈(x0?δ,x0) 時(shí),a <(或a >而 當(dāng)x ∈(x0,x0+δ) 時(shí)a >( 或a <由于δ充分小,故此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為:a=

(2)若當(dāng)x ∈(x0?δ,x0)時(shí),有g(shù)(x)>0(或g(x)<0),則而當(dāng)x ∈(x0,x0+δ) 時(shí),g(x)<0(或g(x)>0),則a <由于δ充分小,于是此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為:a<

例5(2016年高考山東卷文科第20 題) 設(shè)f(x) =xlnx ?ax2+(2a ?1)x,a ∈R.

(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知f(x)在x= 1 處取得極大值,求實(shí)數(shù)a取值范圍.

解(1) 略.(2)f′(x) = lnx ?2ax+ 2a,函數(shù)f(x)在x= 1 處取得極大值,存在充分接近于0 的數(shù)δ >0,使得 當(dāng)x ∈(1?δ,1) 時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x ∈(1,1+δ)時(shí),f′(x)<0.分離參數(shù)后可得:當(dāng)x ∈(1?δ,1) 時(shí),; 當(dāng)x ∈(1,1+δ) 時(shí),2a >,從 而即實(shí)數(shù)a的取值范圍為