再探橢圓“虛漸近線”的一個性質

內蒙古巴彥淖爾市第一中學(015000) 楊松松 王東偉

定義[1]把直線y=稱為橢圓的虛漸近線.

文獻[2]給出如下性質:

性質1如圖1,設M是橢圓= 1(a > b >0,b ?=c) 上任意一點,過點M作橢圓兩虛漸近線的垂線,垂足為G、H,分別與另一條漸近線相交于P、Q點,則為定值.

圖1

筆者受到文獻[2]的啟發,對以上性質進行了再探究,于是得出:

命題1如圖2,已知M為平面直角坐標系xOy內一點,直線l1,l2的斜率分別為k1,k2(其中,k1?=k2,且k1,k2至多有一個為零),過點M分別作l1,l2的垂線,垂足分別為G、H,若直線MG與l2交于點P,直線MH與l1交于點Q,則為定值.

圖2

證明設k2?= 0,由MH⊥l2得kMH · k2=?1,于是kMH=由到角公式得:|tan ∠MQG|=于是

由MG⊥QG,MH⊥PH得∠MQG=∠MPH,于是

在Rt?MQG和Rt?MPH中,

由①②③④及∠GMH=∠PMQ可得

令M為橢圓= 1 上一點,取l1:y=l2:y=因此k1==即為性質1 的結論,因此性質1 是命題1 的特例.

在命題1 的條件下,若直線l1,l2的傾斜角分別為α,β,則由⑤得:

命題2已知M為平面直角坐標系xOy內一點,直線l1,l2的傾斜角分別為α,β(其中,α ?=β,且|α?β|?=),過點M分別作l1,l2的垂線,垂足分別為G,H,若直線MG與l2交于點P,直線MH與l1交于點Q,則=cos2(α?β).