高度差:解決最值問題的一個傳奇

杭州第十四中學(310006) 朱成萬

近年來,求函數(shù)的值域或最值,或者代數(shù)式的最值問題,試題越來越靈活、越來越難,對學生的能力要求越來越高.所以透徹地理解問題本質(zhì),合理選擇解題方法和解題工具顯得尤為重要,選擇不恰當,費時、費力,且不得要領(lǐng).

本文將探討用“高度差”破解最值問題,這是借助函數(shù)圖象,從形的角度解題,能減少運算量,直入問題核心,使題目變得簡單易懂.下面以近幾年的學考題、高考題和競賽題為例,闡述“高度差”在解題中的妙用.

一、學考題難,思路何在

例1(2016年浙江省學考第18 題) 設(shè)函數(shù)f(x) =,x ∈[1,2](a,b ∈R).若對任意的正實數(shù)a和實數(shù)b,總存在x0∈[1,2],使得f(x0) ≤m,求實數(shù)m的取值范圍.

本題中f(x) 是含參數(shù)的絕對值函數(shù),涉及到任意和存在問題,需先求x ∈[1,2] 時f(x) 的最大值M(a,b),進而求a >0,b ∈R 時M(a,b) 的最小值,即這是一道綜合性強、難度較大的題目.

思路一:分類討論

令u(x) =?ax ?b(a >0),則u(x) 在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.它的圖象可能出現(xiàn)三種情形:在圖1 中M(a,b) =u(1); 在圖2 中M(a,b) =u(2); 在圖3 中,由于對u(x)圖象進行翻折之后,f(x)的最大值在x= 1 或2處取到,所以需對兩個端點的函數(shù)值進行比較,再次分類討論(討論略).

圖1

圖2

圖3

求出f(x)的最大值M(a,b)后,再將a,b作為變量,求M(a,b)的最小值(解法略).顯然,這種方法運算量大,費時、費力,在學考有限時間內(nèi)難以完成.

思路二:絕對值三角不等式

從思路一的討論可知,f(x)的最大值只能在x= 1 或x=2 處取到,則

這種方法技巧性強,對學生的能力要求較高,有的學生即使進行了大量的訓練,也不一定能掌握.

思路三:高度差

構(gòu)造函數(shù)g(x) =,h(x) =ax+b,則f(x) =|g(x)?h(x)|.如圖4 所示,f(x) 的幾何意義是對于每個x來說,函數(shù)g(x)和h(x)圖象上兩點之間縱坐標的差距,即縱向距離,也稱“高度差”.

圖4

直線h(x) 的兩個參數(shù)a,b都在變化,b的變化表示直線可上下平移,a的變化表示直線可旋轉(zhuǎn).在運動過程中,顯然當a趨向于0 時,即h(x) 處于圖5 所示的位置時,最大高度差就是g(x) 最大值與最小值之差的一半,即

圖5

例2(2015年浙江省學考第34 題) 設(shè)函數(shù)f(x) =若對任意實數(shù)a,b,總存在實數(shù)x0∈[0,4],使得f(x0)≤m,求實數(shù)m的取值范圍.

類同例1 的分析,該題也可轉(zhuǎn)化為求m≤則f(x)的幾何意義是函數(shù)g(x)和h(x)最大高度差的最小值.

如圖6 所示,直線OA的方程是平行于OA且與g(x)相切的直線BC的方程是則兩條平行線OA與BC正中間的那條平行直線就是使得最大高度差達到最小的直線h(x).此時,最大高度差為兩條平行線OA與BC縱截距之差的一半,故

圖6

二、高考常考,一脈相承

用“高度差解決有關(guān)最值問題的方法,在高考中也經(jīng)常出現(xiàn),下舉幾例.

例3(2008年高考浙江卷第15 題)已知t為常數(shù),函數(shù)y=｜x2?2x ?t｜在區(qū)間[0,3]上的最大值為2,則t=____.

分析把函數(shù)表達式化為y=｜(x ?1)2?(t+1)｜,其幾何意義為函數(shù)y= (x ?1)2,x ∈[0,3] 圖象上任一點到y(tǒng)=t+ 1 的“高度差”,如圖7 所示,滿足= 2 的t+ 1 只能等于2,所以t=1.

圖7

例4(2017年高考浙江卷第17 題) 已知a ∈R,函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則a的取值范圍是____.

分析f(x) 在區(qū)間[1,4] 上的最大值是5,即令u(x) =|x+?a|,則其幾何意義是曲線y=x+與直線y=a的高度差.如圖8 所示,函數(shù)y=x+在區(qū)間[1,4]上是平口單峰函數(shù),它與直線y=a最大高度差的最小值為此時a=時,,所以a≤

圖8

圖9

例5(2019年高考浙江卷第16 題) 已知a ∈R,函數(shù)f(x) =ax3?x,若存在t ∈R,使得|f(t+2)?f(t)|≤則實數(shù)a的最大值是____.

解法1f(t+2)?f(t)=a(t+2)3?(t+2)?(at3?t)=2a(3t2+6t+4)?2,由題意得|3at2+6at+4a ?1|≤即

令g(t) = 3at2+6at,h(t) = 1?4a,則①的幾何意義是函數(shù)y=g(t)圖象上存在一點到y(tǒng)= 1?4a的“高度差”的絕對值的最小值為當函數(shù)g(t)與h(t)的圖象相交時,顯然成立;當函數(shù)g(t)與h(t)的圖象不相交時,如圖9 所示,顯然當t=?1 時符合題意,即|?3a ?(1?4a)|≤解得

解法2f(t+2)看作是f(t)的圖象往左平移兩個單位,則|f(t+2)?f(t)|可看作y=f(t+2)與y=f(t)的高度差.

若函數(shù)圖象相交,如圖10 所示,則高度差最小值為0,符合; 若函數(shù)圖象不相交,如圖11 所示,要使在x=t處“高度差”最小,則兩曲線在x=t處的切線平行,即f′(t+2)=f′(t),則3at2?1=3a(t+2)3?1,解得t=?1,所以|f(1)?f(?1)|≤

圖10

圖11

三、競賽參和,方法雷同

這類試題不僅在學考、高考中出現(xiàn),在數(shù)學競賽中也經(jīng)常出現(xiàn),解題方法與前述是一致的.這同時也說明了,這類題型是一個常見的題型,有研究的價值.

例6(2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽第9 題) 函數(shù)f(x) =ax3+bx2+cx+d(a ?=0),當0 ≤x≤1 時,|f′(x)|≤1,試求a的最大值.

解由題知f′(x) = 3ax2+2bx+c,不妨設(shè)a >0,令g(x) = 3ax2,h(x) =?2bx ?c,則f′(x) =g(x)?h(x),它的幾何意義是g(x) 與h(x) 的高度差,如圖12 所示.直線OA方程:y= 3ax,與OA平行且與g(x)切于B點的直線方程:y= 3ax ?兩者最大高度差的最小值為所以所以a的最大值為

圖12

例7(2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽第9 題) 設(shè)k,m為實數(shù),不等式|x2?kx ?m|≤1 對所有x ∈[a,b]成立,證明:

解設(shè)f(x)=|x2?(kx+m)|,則f(x)表示函數(shù)y=x2與y=kx+m的高度差,由題知,如圖13 所示,直線AB的方程為y=(a+b)x?ab,與AB平行且過點C的切線方程為y= (a+b)x ?所以最大高度差的最小值為故只需,所以b ?a≤

圖13

四、追本求源,最佳逼近

利用“高度差”解決此類函數(shù)最值問題,它的根源是切比雪夫最佳直線逼近原理.設(shè)函數(shù)f(x) =|g(x)?(ax+b)|(a,b ∈R)在區(qū)間[m,n]上的最大值的最小值為T,其中g(shù)(x)是在[m,n]上的連續(xù)單峰函數(shù).則:

(1) 若g(m) =g(n),設(shè)g(x) 的最值點為x0,則T=當a= 0,b=時取到最大值的最小值,前述例1,例3,例4 就是這種情況.

(2)g(m)?=g(n),設(shè)過A(m,g(m)),B(n,g(n))兩點的直線方程為:y=kx+b1,與g(x)相切且平行AB的直線方程為:y=kx+b2,則T=當a=k,b=時取到最大值的最小值.前述例2,例6,例7 就是這種情況.

五、平時練習,變式拓展

上述用高度差解決的是“最大值的最小值”問題,典型特征是帶有絕對值,即函數(shù)f(x)可以表示為|g(x)?(ax+b)|.實際上,高度差并不局限于上述題型,它有著廣泛的應用.任何一個函數(shù)都可以表述成兩個函數(shù)之差,即f(x) =g(x)?h(x),所以任意一個函數(shù)f(x) 都可以看作是兩函數(shù)g(x)與h(x)的高度差.

例8求函數(shù)f(x)=x+的值域.

分析函數(shù)f(x) =可看成是曲線與直線y=x的高度差,如圖14 所示.當時,高度差的最小值為故值域為

圖14

例9(2020年高考全國Ⅱ卷理科第23 題) 已知函數(shù)f(x)=｜x ?a2｜+|x ?2a+1|.

(1)當a=2 時,求不等式f(x)≤4 的解集;

(2)若f(x)≤4,求a的取值范圍.

解令g(x) =｜x ?a2｜,h(x) =?|x ?2a+1|,則f(x)的幾何意義就是函數(shù)g(x)和h(x)圖象上兩點之高度差.

(1)由圖15 知,當x≤或x≤時,高度差f(x) ≤4.

圖15

(2)由圖16 知,要使高度差f(x) ≤4,則需a2?(2a ?1)≤4,解得a≤?1 或a≤3.

圖16

六、題后反思,至精至簡

高考真題是專家們精心研究之成果,學考題、競賽題也是如此.它所承載的思想方法和核心素養(yǎng)深厚,對教學有引領(lǐng)作用,解題思路的獲得,問題本質(zhì)的理解,與學生的數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)息息相關(guān).本文用“高度差”解答學考、高考、競賽題,是從形的角度入手,以形馭數(shù),能提升學生的數(shù)形結(jié)合能力,提升直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng).

基礎(chǔ)數(shù)學的本質(zhì)都是“精簡樸實的,它們的根源都是自然而富有直觀的內(nèi)涵.”高考、學考、競賽題目也是如此,表面看紛繁蕪雜,但內(nèi)核的東西卻簡約明了.用“高度差”解決最值問題,直觀形象,直入問題核心,至精至簡.本文的“多題一解”,旨在幫助學生理解數(shù)學,優(yōu)化解題方法,提升數(shù)學素養(yǎng),發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在的價值,以數(shù)學的方式立德樹人.