對相似橢圓中有關面積性質的探究

安徽省合肥市第七中學(230001) 錢良辰 王世朋

近期在一次模擬題訓練時,遇到了一個相似橢圓的求解問題,通過問題探究發現了一些有價值的的結論.為了厘清問題研究的策略與結論形式,對有關的文獻進行了研讀,如文[1]中,主要聚焦橢圓E1上一點作E1的切線和橢圓E2上一點作E1的兩條切線獲得相關有趣的性質.文[2]圍繞和λ= 2 兩類相似橢圓獲得相關結論.文[3]中,探究了過E2上一點作E2的切線與過E2上另外一點作切線,有相關線段間結論.在實際教學中,通過GGB 作圖驗證,我們發現除以上相應結論外,還存在非常有趣的面積性質結論.

為了研究方便,先給出相似橢圓的定義:

已知橢圓E1:λ2(λ ?= 1),則稱橢圓E1與橢圓E2是相似橢圓.不失一般性,僅考慮E2:=λ2(λ>1)情形.

通過研究,我們得到過橢圓E1上一點作切線和過橢圓E2上一點作切線兩方面的面積性質.

一、研究結果

1.過橢圓E1 上點引發的面積性質探究

我們得到如下定理:

定理1P為E1上任意一點,過點P作E1的切線交E2于點A,B兩點,C為E2上任意一點,則當O,P,C三點共線時,S?ABC有最大值;當O,C在直線AB同側時,S?ABC最大值為如圖1;當O,C在直線AB異側時,S?ABC最大值為ab(λ ?1)如圖2.

圖1

圖2

定理2如圖3,P為E1上任意一點,過點P作E1的切線交E2于A,B兩點,分別過A,B作E1的切線l1,l2(異于直線AB),切點分別為C,D兩點,若l1,l2相交于點M.則有結論:(1) 點M軌跡為橢圓且與E1,E2均相似; (2)S?MAB=

圖3

定理3如圖4,P,Q為E1上任意互異的兩點,分別過點P,Q作E1的切線交E2于A,B,C,D,連接AD,PQ,BC.則有結論:(1)AD//PQ//BC;(2) 當四邊形ABCD為平行四邊形時,四邊形ABCD面積最大值.

圖4

2.過橢圓E2 上點引發的面積性質探究

我們得到如下定理:

定理4如圖5,P為E2上任意一點,過點P作E1的切線分別交E2于點C,D兩點,切點分別為A,B兩點,連接AB,OA,OB,CD.則S?P AB=

圖5

二、定理的證明

為了證明定理內容,需要給出如下引理:

引理設E1上任一點P(acosα,bsinα)(0 ≤α <2π),E2上任一點Q(λacosθ,λbsinθ)(0 ≤θ <2π),則當與同向時,θ=α;當反向時,θ ?α=±π.

證明?cosαsinθ= sinαcosθ ?sin(θ ?α)=0,所以θ ?α=kπ,k ∈Z,又0 ≤α,θ <2π,故當與同向時,θ=α;當反向時,θ ?α=±π.

定理1 的證明設P(acosα,bsinα) (0 ≤α≤2π),C(λacosθ,λbsinθ)(0 ≤θ <2π),則E1在P處切線lP的方程為= 1,聯立lP與E2方程,消y整理得x2?2acosαx+a2(1?λ2sin2α) = 0,?=4a2cos2α ?4a2(1?λ2sin2α)=4a2(λ2?1)sin2α≤0,所以

又C到lP的距離

定理2 的證明設P(acosθ,bsinθ),C(acosα,bsinα),D(acosβ,bsinβ) (0 ≤θ,α,β <2π),則E1在P處切線lP的方程為= 1;E1在C處切線lC的方程為= 1;E1在D處切線lD的方程為=1.聯立lP與lD,

因為A,B在E2上,所以

解得cos(α ?θ) = cos(β ?θ) =于是,θ=±π,sin(α ?θ)=?sin(β ?θ).所以

又

所以M的軌跡方程為與E1,E2均相似.因為

當λ >

定理3 的證明設P(acosα,bsinα),Q(acosβ,bsinβ),(0 ≤α,β <2π),設直線AB方程為:(0 ≤θ <2π,θ為參數).因為AB與E1相切與點P,所以asinθsinα+bcosθcosα= 0; 聯立直線AB方程與E2方程=λ2,得

化簡得t2= (λ2?1)(a2sin2α+b2cos2α).不妨設

所以AD//PQ,同理可得BC//PQ,則AD//PQ//BC.

整理得:b(sinα?sinβ)x?a(cosα?cosβ)y+absin(β?α)=0.則點A到lP Q的距離

|PQ|=所 以S四邊形ABCD= 2|PQ|·d=當且僅 當cos(α ?β) =?1,即α ?β=2kπ+π,k ∈Z 時等號成立.此時AB//CD,即四邊形ABCD是平行四邊形.

定理4 的證明P(λacosθ,λbsinθ),A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),(0 ≤θ,α,β <2π).因為PB與E1相切于點B,所以(bsinβ ?λbsinθ)·a2bsinβ+(acosβ ?λacosθ)·b2acosβ= 0;即cos(θ ?β) =,同理cos(θ ?α) =于是2θ=α+β+2kπ,k ∈Z.