圓錐曲線中與焦點有關(guān)的等角問題

陜西師范大學附屬中學(710061) 李朋濤

準備知識在全日制普通高級中學教科書(必修)《數(shù)學(第二冊(上))》(2006年人民教育出版社)第138-139 頁的閱讀材料“圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應(yīng)用”中給出了圓錐曲線的光學性質(zhì),現(xiàn)在敘述如下:

(1)從橢圓一個焦點發(fā)出的光,經(jīng)過橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.

(2)從雙曲線一個焦點發(fā)出的光,經(jīng)過雙曲線反射后,反射光線的延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.

(3)從拋物線的焦點發(fā)出的光,經(jīng)過拋物線反射,反射光線平行于拋物線的對稱軸.

教科書中并沒有給出證明,證明過程請參見文獻[1-2].

準備知識2(角平分線定理)在?ABC中∠A的內(nèi)角平分線AD交BC于點D,則有∠A的外角平分線AE交BC于點E,則有

值得注意的是角平分線定理的逆定理也是成立的.使用面積法易證角平分線定理,這里不再贅述.

圖1

下面我們來看一道引例.

題目1(2006年北京大學自主招生保送生測試題)已知F1、F2為橢圓的兩個焦點,過橢圓外一點P作橢圓的兩條切線,切點分別為A,B,求證:∠APF1=∠F2PB.

證明作出F1關(guān)于切線PA的對稱點F′1,由橢圓的光學性質(zhì)可知F′1、A、F2三點共線;同理作出F2關(guān)于切線PB的對稱點F′2,由橢圓的光學性質(zhì)可知、B、F1三點共線,如圖2 所示.

圖2

因F′1F2=F′1A+AF2=AF1+AF2=BF1+BF2=BF1+BF′2=F1F′2,又由對稱性可知PF′1=PF1,PF2=PF′2,從而可知?PF′1F2∽= ?PF1F′2,所以∠F′1PF2= ∠F1PF′2,因此有∠F′1PF1= ∠F2PF′2,即2∠APF1=2∠BPF2,所以∠APF1=∠F2PB,證畢.

注通過?PF′1F2∽= ?PF1F′2我們還可以得到:∠PF1A=∠BF1P,∠PF2A=∠BF2P.

于是通過對題目1 的解答我們得到如下性質(zhì):

性質(zhì)1(橢圓等角性質(zhì))已知F1、F2為橢圓的兩個焦點,過橢圓外一點P作橢圓的兩條切線,切點分別為A,B,則有下面結(jié)果:

①∠APF1=∠F2PB;

②∠PF1A=∠BF1P,∠PF2A=∠BF2P.

那么,我們自然會問這個結(jié)論對雙曲線和拋物線是否也成立.筆者經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)在雙曲線和拋物線中也有類似的結(jié)果.現(xiàn)展示如下:

性質(zhì)2(雙曲線等角性質(zhì))已知F1、F2為雙曲線的兩個焦點,過雙曲線外部一點P(把含雙曲線焦點的區(qū)域稱為該雙曲線的內(nèi)部)作雙曲線的兩條切線PA、PB,切點為A、B.

(i)若切點在雙曲線的異支上,則有下面結(jié)果:

①∠APF1=∠F2PB;

②∠PF1A+∠BF1P=π,∠PF2A+∠BF2P=π.

(ii)若切點在雙曲線的同支上,則有下面結(jié)果:

①∠APF1+∠F2PB=π;

②∠PF1A=∠BF1P,∠PF2A=∠BF2P.

證明(i)作出F1關(guān)于切線PB的對稱點F′1,由雙曲線的光學性質(zhì)可知F′1、F2、B三點共線; 同理作出F2關(guān)于切線PA的對稱點F′2,由雙曲線的光學性質(zhì)可知F′2、F1、A三點共線,如圖3 所示.

圖3

因F′1F2=BF′1?BF2=BF1?BF2=AF2?AF1=AF′2?AF1=F1F′2,又由對稱性可知PF′1=PF1,PF2=PF′2,從而可知?PF′1F2∽= ?PF1F′2,所以∠F′1PF2= ∠F1PF′2,因此有∠F′1PF1= ∠F2PF′2,可知∠APF1= ∠BPF2,即2(∠F′1PF2+∠BPF2) =2(∠F1PF′2+∠APF1),所以∠APF1=∠F2PB.

又由?PF′1F2∽= ?PF1F′2可知∠PF1A+∠BF1P=∠PF1A+ ∠BF′1P= ∠PF1A+ ∠PF1F′2=π,同理可得∠PF2A+∠BF2P=π.

(ii)作出F1關(guān)于切線PA的對稱點F′1,由雙曲線的光學性質(zhì)可知F′1、F2、A三點共線;同理作出F2關(guān)于切線PB的對稱點F′2,由雙曲線的光學性質(zhì)可知F′2、F1、B三點共線,如圖4 所示.

圖4

因F′1F2=AF′1?AF2=AF1?AF2=BF1?BF2=BF1?BF′2=F1F′2,又由對稱性可知PF′1=PF1,PF2=PF′2,從而可知?PF′1F2∽= ?PF1F′2,所以∠F′1PF2=∠F1PF′2,因此有∠F′1PF1= ∠F2PF′2,可知即∠XPA=∠BPF2(X為F1P延長線上一點),所以∠APF1+∠F2PB=∠APF1+∠XPA=π.

又 由?PF′1F2∽= ?PF1F′2,顯然可知∠PF1A=∠BF1P,∠PF2A=∠BF2P,證畢.

性質(zhì)3(拋物線的等角性質(zhì))已知F為拋物線的焦點,過拋物線外部一點P(把含拋物線焦點的區(qū)域稱為該拋物線的內(nèi)部)作拋物線的兩條切線PA、PB,切點為A、B.則我們有下面結(jié)果:

①過P作直線PM平行于拋物線的對稱軸且交AB于點M,則∠APF=∠MPB;

②∠PFA=∠BFP.

證明作焦點F關(guān)于切線PA、PB的對稱點F′、F′′,如 圖5 所示,由拋物線的光學性質(zhì)可知AF′、BF′′均平行于拋物線的對稱軸,所以直線F′F′′為拋物線的準線.

圖5

由對稱性可知PF′=PF=PF′′,所以可知∠AF′P=+∠PF′′F′= ∠BF′′P,故∠AFP=∠AF′P=∠BF′′P=∠BFP.

又因2π=∠AF′P+∠F′PF′′+∠PF′′B=2∠AFP+∠F′PF′′= 2(∠AFP+ ∠APF+ ∠BPF),所 以 可 知∠AFP+ ∠APF+ ∠BPF=π,而∠AFP+ ∠APF+∠PAF=π,從而有∠PAF= ∠BPF,由此可知?APF∽?PBF.

因AF′//BF′′//PM可 知∠APF= ∠PBF=∠PBF′′=∠MPB,證畢.

總結(jié)比較一下我們得到的橢圓,雙曲線及拋物線中的規(guī)律,發(fā)現(xiàn)它們不盡相同,但是如果將這些角看作有向角時,則這些規(guī)律在橢圓,雙曲線及拋物線中就得到了統(tǒng)一.即我們得到了圓錐曲線的一個統(tǒng)一結(jié)論:已知F1、F2為圓錐曲線(橢圓,雙曲線,拋物線)的兩個焦點,過圓錐曲線外一點P作圓錐曲線的兩條切線,切點分別為A,B,則我們有下面結(jié)果:.(其中“”指的是有向角,如指的是直線AO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到與直線OB重合時所經(jīng)過的角;對于拋物線的第二個焦點可以理解為在無窮遠點).

以下我們關(guān)注有關(guān)圓錐曲線焦點三角形外角平分線的一個性質(zhì).首先來看如下的引例:

題目2(2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽甘肅省預(yù)賽試題)已知橢圓1 的右焦點為F,過點G(4,0) 作斜率不為0 的直線交橢圓于M,N兩點,設(shè)直線FM,FN的斜率分別為k1,k2,是判斷k1+k2是否為定值,若是定值,求出該定值;若不是定值,請說明理由.

說明此題答案為k1+k2= 0,解答略.如圖6 所示,筆者發(fā)現(xiàn)題中弦MN與x軸的交點G正好在橢圓的準線上,而k1+k2= 0 說明FG是∠MFN的外角平分線.那么此題的結(jié)論是否具有一般性呢? 若具有一般性那么能否推廣到雙曲線和拋物線中呢? 帶著這些問題筆者分別對橢圓,雙曲線及拋物線進行了一系列探索,得到了如下結(jié)論:

圖6

性質(zhì)4已知F1,F2為橢圓的兩個焦點,弦PP′交準線l于點K,則F1K平分∠PF1P′的外角.

證明如圖7 所示,過P、P′作準線的垂線,垂足分別為A、B.由圓錐曲線第二定義及平行線分線段成比例可知由角平分線定理逆定理可知F1K平分∠PF1P′的外角,證畢.

圖7

推論1當P′與P重合時,此時弦PP′變?yōu)檫^P點的切線,則有結(jié)論F1K ⊥F1P.

性質(zhì)5已知F1、F2為雙曲線的兩個焦點,弦PP′交準線l于點K.

(i)當P、P′在雙曲線同支上時,如下圖8 所示,則F2K平分∠PF2P′的外角.

(ii)當P、P′在雙曲線異支上時,如下圖9 所示,則F2K平分∠PF2P′.

證明(i) 如圖8,過P、P′作準線的垂線,垂足分別為A、B.由圓錐曲線第二定義及平行線分線段成比例可知由角平分線定理逆定理可知F2K平分∠PF2P′的外角,證畢.

圖8

(ii) 如圖9 所示,過P、P′作準線的垂線,垂足分別為A、B.由圓錐曲線第二定義及平行線分線段成比例可知,由角平分線定理逆定理可知F2K平分∠PF2P′,證畢.

圖9

推論2當P′與P重合時,此時弦PP′變?yōu)檫^P點的切線,則有結(jié)論F2K ⊥F2P.

性質(zhì)6已知F為拋物線的焦點,弦PP′交準線于點K,則FK平分∠PFP′的外角.

證明作P、P′在準線上的射影A、B,如圖10 所示,由拋物線定義及平行線分線段成比例可知由角平分線定理逆定理可知FK平分∠PFP′的外角,證畢.

圖10

推論3當P′與P重合時,此時弦PP′變?yōu)檫^P點的切線,則有結(jié)論FK ⊥FP.

總結(jié)由性質(zhì)4-6,我們到了圓錐曲線的一組統(tǒng)一性質(zhì):已知F為圓錐曲線(橢圓,雙曲線,拋物線)的一個焦點,直線l為焦點F對應(yīng)的準線,弦PP′與準線l交于點K,則FK平分∠PFP′的外角.特別地,當P′與P重合時,此時弦PP′變?yōu)檫^P點的切線,則有FK ⊥FP(當P,P′在雙曲線異支上時例外).

圓錐曲線的知識豐富多彩,引人入勝,只要我們在平時教學中多留意,多探索就能發(fā)現(xiàn)圓錐曲線更多的性質(zhì).