另類角度看數列中的“裂項”

中山市桂山中學(528463) 蔡曉波 余鐵青 唐軍偉

裂項是高中數列求和中常見且常考的題型之一,該類問題具有一定巧妙性,很好的體現數學美,很好的考察了學生的數學邏輯推理能力.在常規的教學中,大部分學生往往僅僅掌握一些常見的裂項的形式,并未清楚其背后的數學模型與潛在本質.因此,當題目稍有變化,學生就可能不知所措.據此,筆者嘗試從更多角度來剖析裂項,力求揭示裂項的數學本質,并以此得出更多的非常規的裂項形式.

一、常見的裂項形式

高中階段,學生常見的裂項形式有(以下約定n ∈N+):

4.公式型:也就是運用某個公式可以化為2 項相減的形式,比如:,tan(α ?β)(1+tanαtanβ)=tanα ?tanβ,……

對于第四種類型,實際上就是公式的變形而已.故而筆者主要針對類型1-3 進行了探究.

二、分子分母關系角度

例1(2020年中山市桂山中學周末練習)已知遞增的等差數列{an}的前n項和為Sn,S1= 1,S2,S3?1,S4成等比數列.

(1) 求數列{an}的通項公式; (2) 已知bn=,求數列{bn}的前2n項和T2n.

解(1)過程略,可得an=2n ?1.(2)

評注此題關鍵在于觀察出分母兩個因式2n+1、2n+3與分子4n+4 的線性關系,則問題可迎刃而解.

例2(2020年江西省奉新縣第一中學月考(文)節選)已知正項數列{an}的前n項和Sn滿足2Sn=a2n+an ?2.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)若bn=(n ∈N+),求數列{bn}的前n項和Tn;

分析第一問容易求得an=n+ 1,故bn=題目學生容易產生“裂項”感覺,因此必須找出n,n+1 與n ?1 直線的線性關系,不難發現n ?1=2n ?(n+1),故bn=,那么問題迎刃而解.

解略.

結合等差數列,基于分子是分母因式a與b的線性組合的思想,那么我們對例2 進行推廣可得出:若數列{an}為等差數列,m,n為常數且mn>0,q=則

顯然,當an=n,m=?1,n=?2 時即為例2.

如果把模型與三角函數相結合,運用和差化積公式,我們可得如下的裂項形式:

為此我們可編得如下題目供學生練習:

例3已知數列{an}的通項an=,求數列{an}的前n項和Sn

解由

故

故

三、冪的角度

例4證明:12+22+32+···+n2=

分析這是人教A 版數學選修2-2 的一道經典例題,該題課本采用數學歸納法來證明,該題的證明方法很多,但如果利用“高次”相減可以得“低次”的思想,那么通過嘗試不難得到:故相加可得:

解略.

那么類似的,在得出1k?1+2k?1+3k?1+···+nk?1的求和公式的情況下,對于1k+2k+3k+···+nk的求和公式均可利用類似的思想求得.

四、因式分解角度

對于這個公式,我們僅需對a,b代入特殊的形式就可以得到不同的無理型的裂項形式.令(n ∈N+,n0為正整數)可得:

顯然,當k=2 時,即為常見的無理型:

五、斜率角度,統一歸一

在上文第三節中,我們利用了“高次”相減可以得“低次”的思想,那么我們很自然可以想到導數也可以把次數降低,而數列是離散的,那么對應的就應該是類似于“差分”的形式,其幾何意義應該對應了斜率,為方便理解,我們對第一節中常見的裂項形式(1)-(3)賦予特殊值可得到裂項與導數及其幾何意義之間的對應關系:

(一) 對于第一節中的等差數列型,我們令an=n,k= 1 可得常見的裂項形式:

設f(x) =可得等式左邊顯然幾何意義為:兩點(n,f(n)),(n+1,f(n+1))連線的斜率;而通過對f(x)求導可得:f′(x) =

(二)對于第一節中的無理型,我們令n0=1 可得常見的形式

設f(x) =可得等式左邊,顯然幾何意義為:兩點(n,f(n)),(n+1,f(n+1))連線的斜率;而通過對f(x)求導可得:f′(x) =

(三) 對于第一節中的指數型,我們令k= 1 可得常見的形式:即

設f(x)=可得等式左邊顯然幾何意義為:兩點(n,f(n)),(n+1,f(n+1))連線的斜率;而通過對f(x)求導可得:f′(x) =

裂項在題目中一般是為了求和,從而相消; 如果畫出上述函數的圖形,我們可得裂項求和的幾何意義為:

一個連續函數上有n+1 個點A0,A1,A2,··· ,An,Ai坐標為:Ai(xi,yi)(0 ≤i≤n,i ∈N),且滿足xi+1?xi為大于零的定值,設AiAi+1的斜率為ki+1則有:(n ?1)kAnA0,(kAnA0為A0An的斜率).

證明不妨設xi+1?xi= ?x,則AiAi+1的斜率,故

得證.

由此我們可以充分感受到裂項數學的美與它的巧妙.