求直線方程設(shè)法有技巧

甘肅省康縣教育局教研室 杜紅全 746500

山東省濰坊市育才學(xué)校 黃海虹 261031

直線方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考試題中主要是以直線方程為載體，與其他知識交匯進(jìn)行綜合考查，但其中經(jīng)常會涉及到求直線方程.已知兩個(gè)獨(dú)立條件可求出直線方程，根據(jù)所給的條件不同，求直線的方法也不同.下面舉例說明求直線方程常用的設(shè)法技巧，供參考.

1 已知斜率為k，可設(shè)其方程為斜截式y(tǒng)=kx+b

點(diǎn)評：本題主要考查的是求直線方程，求解本題的關(guān)鍵是利用方程的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)已知條件列出關(guān)于b的方程即可；需要注意的是斜截式不含垂直于x軸的直線.

2 已知過點(diǎn)(x0,y0)，且斜率存在，可設(shè)其方程為點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)

例2 已知直線l過點(diǎn)P(2,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程.

點(diǎn)評：本題主要考查的是求直線方程，求解本題的關(guān)鍵是設(shè)出所求的方程為點(diǎn)斜式，根據(jù)已知條件列出關(guān)于k的方程即可；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程是x=x0；當(dāng)然本題也可以用截距式求解；需要注意的是點(diǎn)斜式不含垂直于x軸的直線.

3 與截距相關(guān)，可設(shè)截距式

例3同例2

綜上所述，所求直線l的方程為x+y-5=0，或3x-2y=0.

點(diǎn)評：設(shè)直線截距式方程的前提是截距不為0，即不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線.本題容易丟解3x-2y=0，需要特別注意.

4 過兩點(diǎn)(x1,y1)，(x2,y2)（x1≠x2，y1≠y2）的直線方程可設(shè)為

例4 已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2,1)，B(-2,3)，C(6,-7)，求AC邊上的中線所在的直線的方程.

點(diǎn)評：本題考查的是中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)式直線方程的應(yīng)用；需要注意的是兩點(diǎn)式不含垂直于坐標(biāo)軸的直線，所以在利用兩點(diǎn)式求解直線方程時(shí)，一定要注意首先判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件；兩點(diǎn)式方程與兩點(diǎn)的順序無關(guān).

5 與直線l：Ax+By+C=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+C1=0(C1≠C)

例5 過點(diǎn)(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）.

A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0

C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0

解：與直線x-2y-2=0平行的直線方程可設(shè)為x-2y+C=0，將點(diǎn)(1,0)代入解得C=-1，所以所求的直線方程為x-2y-1=0.故選A.

點(diǎn)評：本題主要考查的是兩直線平行的相關(guān)知識及求直線方程，是利用平行直線系方程求解，當(dāng)然也可以利用兩直線平行，則斜率相等，求出被求直線的斜率，然后用點(diǎn)斜式求解，顯然利用平行直線系方程求解簡單.

6 與直線l：Ax+By+C=0垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+C1=0

例6 直線l過點(diǎn)(-1,2)且與直線2x-3y+4=0垂直，直線l的方程是（）.

A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0

C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0

解：因?yàn)橹本€l與直線2x-3y+4=0垂直，所以可設(shè)直線l的方程為3x+2y+m=0.又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)(-1,2)，代入得3×(-1)+2×2+m=0，解得m=-1.所以直線l的方程為3x+2y-1=0.故選A.

點(diǎn)評：本題主要考查的是兩直線垂直的相關(guān)知識及求直線方程，是利用垂直直線系方程求解，當(dāng)然也可以利用兩直線垂直，則兩直線斜率的積等于-1，求出被求直線的斜率，然后用點(diǎn)斜式求解，顯然利用垂直直線系方程求解簡單.

7 過直線 l1:A1x+B1y+C1=0和直線l2:A2x+B2y+C2=0交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不含l2)

例7 求過兩直線2x-3y-1=0，3x+2y-2=0的交點(diǎn)且平行于直線3x+y=0的直線方程.

點(diǎn)評：本題是利用過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程求解，也可以根據(jù)已知條件求出交點(diǎn)和斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.