一道高考試題背后的高等數學背景

甘肅省蘭州市第二十七中學 陳鴻斌730030

縱觀近幾年的高考,以初等函數為背景來命制壓軸題是個趨勢,有時還會滲透高等數學背景.隨著高考命題改革的逐步深入,為了滲透新課程理念,命題者常受到自身學術和研究方向的影響,往往考查一些有著高等數學背景的問題.此類題目設計形式新穎,成為高考試卷中一道亮麗的風景線.因為這些問題以高等數學知識為背景,即試題的設計來源于高等數學,但解決的方法卻是高中數學所學的初等數學知識,對學生思維的邏輯性、抽象性以及學生的理解能力和自學能力提出了更高的要求,著力考查數學核心素養.

1 題目呈現

本題是2020年高考數學文科試題全國卷II的第21題.本文就來揭示本題背后的高等數學背景——Lagrange中值定理.

2 高等數學背景解讀

本題的第（2）問就具有《數學分析》[1]中“Lagrange中值定理”的背景.

幾何意義:曲線在x=ξ處的切線與(a,f(a))和(b,f(b))的連線平行,或者說,曲線在x=ξ處的切線斜率與(a,f(a))和(b,f(b))的連線的斜率相等.如圖1所示.

圖1

3問題解答

點評：本題主要考查函數的單調性、最值、導數、含參不等式恒成立等基本知識，考查數形結合、化歸與轉化等數學思想方法和分析問題、解決問題的能力.作為一線的中學教師，看到本題的表達形式，要能夠領悟命題者的設計意圖，背景來源于Lagrange中值定理.因此本題體現了高等數學與高中數學教學之間較好的銜接，很好地考查了學生的學習潛能，有利于高校選拔人才.從筆者給出的初等解法和高等解法可以看出，運用Lagrange中值定理求解第（2）問，比高考參考答案的解答簡便了許多.換個角度,看的會更加透徹.

4 追溯姊妹題

t ( )0,32( )3 ,+∞2 3 0 2 u′(t)u()t_↘極小值334+↗

即證?x＞0,x3-4x+4＞0.設u(x)=x3-4x+4(x＞0),則u′(x)=3x2-4,列表：

x■■■0,2 3■ ■■23 0■ ■■23,+∞■■■u′(x)u(x)_↘+↗36-163 9

例2（2006全國Ⅱ,理20）設函數f(x)=(x+1)ln(x+1).若對所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求實數a的取值范圍.

初等解法 令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,于是不等式f(x)≥ax成立，即為g(x)≥0成立.對函數g(x)求導數:g′(x)=ln(x+1)+1-a.令g′(x)=0,解得x=ea-1-1.（1）當x＞ea-1-1時,g′(x)＞0,即g(x)在(ea-1-1,+∞)單調遞增；（2）當-1＜x＜ea-1-1時,g′(x)＜0,即g(x)在(-1,ea-1-1)單調遞減.所以要對所有x≥0,都 有g(x)≥0 的 充 要 條 件 為ea-1-1≤0.由此得a≤1,即a的取值范圍是(-∞,1].

由此可見,上述姊妹題都滲透了Lagrange中值定理的高等數學背景,用Lagrange中值定理求解降低了運算量,優化了解題思路,正所謂:站得高才能看得遠.

5結束語

以高等數學為背景的高考試題通常以高等數學概念、公式、定理、性質等為命題背景,或體現高等數學中常用的思想方法及推理方法等.以高等數學為背景命題是命題者居高臨下設計試題的方式,能從更高層次考查學生的思維能力,核心素養.雖然命題者根據高等數學的內容來設計這些試題，只是創設了一種情境,并不要求學生用高等數學的知識去解決問題,解決的方法還是初等方法,體現了數學學科的整體性和數學教育的連續性,顯示了高等數學對初等數學的指導作用.作為一名高中數學教師要用新課程標準和高考審視常規教學,隨時對自己的教學進行研究、反思,使自己的知識結構具有前瞻性,這樣才能正確把握高考的新動向,以及命題趨勢,發展學生數學學科的核心素養.