高考數(shù)學新題型編制的來源和方法探索

江蘇省太湖高級中學 蔣孝國 214125

2019年中國高考評價體系明確了“一核”、“四層”、“四翼”的概念及其在素質教育發(fā)展中的內涵，回答了“為什么考”、“考什么”、“怎么考”等問題[1].新高考評價體系將以高考試題為載體體現(xiàn)，新高考數(shù)學的題型在原來的基礎上增加了多項選擇題和一題多空型的填空題.這對大多數(shù)省市都是新題型，因此教師研究如何命制高考新題型對日常教學和高考備考有著重要價值.

任子朝等[2]研究指出新題型突出對邏輯思維能力的考查，加大考生的區(qū)分度，試題會更加開放.任子朝等[3]還指出多選題的引入有利于提高全卷的得分率，多級得分模式有利于區(qū)分出高水平學生，并建議多選題選項設置上為4個.曹鳳山[4]指出一題多空在發(fā)揮一題一空題型優(yōu)勢的同時，設立“中間站”，體現(xiàn)局部結果，可增加考查內容，擴大知識覆蓋面，對于難度較大的試題，可分步得分，豐富了命題形式，提高試卷的區(qū)分度.筆者在教學實踐中，積極探索高考新題型的編制來源和方法，整理成文，拋磚引玉.

1 源于課本習題的改編

教材中的習題是經(jīng)專家精心選擇，能促進學生對基本概念的理解、對基本方法的掌握，有利于學生解題能力的形成.大型考試為促進師生重視課本，部分試題的原型來自課本，因此命制新題，可以從課本出發(fā).

圖1

原題1考查橢圓的定義、二次函數(shù)的最值和基本不等式等基本知識.在保持題干不變的情況下，筆者從多個視角通過改編結論來命制新題.

角度1：“線段”的視角

新題1-1：O為坐標原點，則PF1的取值范圍為____，PF1·PF2+PO2值為____.（答案：[a-c,a+c]，a2+b2）

角度2：“面積”的視角

角度4：“角度”的視角

評注：以教材中的成題為基礎，從四個角度橫向聯(lián)系高中數(shù)學各部分，改編后的新題具有一定的綜合性，兩空的設置一般是第一空為第二空的求解提供提示或基礎.

原題2考查同角三角函數(shù)的關系，是一道基礎題.筆者改編題目條件和結論，使題目條件更加開放，命制新題2.

新題2：已知θ∈(0,π)，且sinθ+cosθ=a，其中a為常數(shù)且a∈(0,1)，則下面tanθ的值，不可能正確的是（ ）.

2 源于高考（或高考模擬）試題的改編

研究高考試題使教師獲得試題的基本信息，為教師的下一步教學工作提供改進方向，并且對于提高考試質量，改進和完善考試工作有著重要的作用.

筆者將條件與結論互換，編制新題3.

圖2

評注：通過對原題的條件與結論互換是改編成題構造新題的重要方式，新題3通過設置多個選項，擴大知識覆蓋面，加深知識考查的深度.

3 源于自主招生試題的改編

原題4（2015清華大學自主招生第16題）：過△ABC的重心作直線將△ABC分成兩部分，則這兩部分的面積之比（ ）.

原題4是一道自主招生試題，有一定的難度，起點較高，學生一時找不到入手點，現(xiàn)將其改造為一個起點低，有層次的新型題.筆者增加題目的條件相當于給學生一些提示，降低部分難度，改變結論，擴大題目考查知識的覆蓋面，增強了試題的綜合性.

圖3

評注：改造后的新題4，降低試題求解的門檻，擴大知識的覆蓋面，綜合考查三角形面積公式，向量的共線定理和平面向量基本定理，基本不等式等知識，提高試題的綜合性.

4 源于競賽試題的改編

圖4

評注：原題5是平面幾何的形式，將競賽題的條件和情境進行等價轉化，轉化為常規(guī)題.

5 源于跨學科的情境

隨著課程改革，自然學科與數(shù)學之間的結合會越來越緊密，其它學科以數(shù)學為基礎，數(shù)學通過其它學科體現(xiàn)應用.這要求教師在日常教學中適當進行學科之間的滲透，加強聯(lián)系.

新題6：已知甲烷分子式為CH4，其中四個氫原子處在一個正四面體的頂點上，而碳原子恰好在這個正四面體的中心上，碳原子與每個氫原子之間均有化學鍵相聯(lián)，若我們把每個原子均看成一個質點，設兩個氫原子之間的距離記為1.下列說法中正確的有（ ）.

解析：如圖5，正四面體ABCD（各棱長均相等），O點是正四面體的中心，于是OA=OB=OC=OD，設O點在底面BCD的投影點為O′，正四面體的棱長為1.

圖5

評注：新題6以化學為背景，實質求正四面體的體積、外接球半徑和體積等，體現(xiàn)學科之間的滲透和融合.

6 源于數(shù)學文化的情境

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動.編制與數(shù)學文化有關的試題，以一首唐詩為情境命制考查充分條件、必要條件為例.

新題7：王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳送至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）.

A.必要條件 B.充分條件

C.不充分條件 D.不必要條件

這首詩最后一句反映戍邊將士為保家衛(wèi)國所發(fā)出的堅定誓言，與數(shù)學結合，使學生感受數(shù)學不只是抽象的概念和繁瑣的計算，也具人文情懷.本題正確選項為A、C.

評注：以數(shù)學文化為情境命制試題，教師要充分挖掘教材以及其他素材中可以運用到教學中的相關資料來豐富學生數(shù)學文化素養(yǎng)，讓學生體會到數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

7 源于常見結論

數(shù)學中有很多常見結論，我們可以通過對這些結論的研究來編制新題.

推廣：若直線AB經(jīng)過拋物線y2=2px(p＞0)的軸上的一點P(n,0)，與拋物線相交于A,B兩點，其中A(x1,y1)，B(x2,y2)，則A，B兩點的橫坐標之積，縱坐標之積為定值.即x1·x2=n2，y1·y2=-2pn.

通過拋物線性質及推廣，編制新題8.

圖6

評注：本題源于一些已知的結論，采用演繹推理方法命制試題，即從預先已知的定理或正確的結論出發(fā)，按照一定的目的進行運算或者推理，得出某種結論，由此設計數(shù)學試題.這是一項創(chuàng)造性的工作，常常與數(shù)學性質的發(fā)現(xiàn)聯(lián)系在一起，能創(chuàng)作出新穎的試題.

隱去或部分隱去真實、確定的完整數(shù)學意義的構成要素，要求應答者構造完整數(shù)學意義的陳述，這種構造過程就是編制數(shù)學題.從上文，我們得到編制新題型的方法一般有改編成題和編制新題兩種，編制的來源見下表1.

表1編制新題型的來源

習慣上把已有的題目稱為成題.根據(jù)成題改編，所得的新題源于陳題、但又有一定的新意，是編制新題的一種常用方法.本文改編成題的方法見下表2.

上述編制新題型的來源和方法只是筆者的探索，實際上編制新題的來源也可源于實際問題、高等數(shù)學背景、給定條件構造新題等，改編成題的方法也不限于筆者的做法，也可將條件、結論一般化或特殊化等等，

表2改編成題的方法

這需要我們共同探索.