一道2020年高考數列題的證法探究

試題 設數列{an}滿足a1＝3，an＋1＝3an－4n.（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數列{2nan}的前n項和Sn.（2020年高考全國Ⅲ卷理科數學）.

這道考題的第（1）問是以數列遞推式為背景，求數列的通項公式問題，此問題涉及的數學知識和蘊含的數學思想方法非常豐富，邏輯推理性很強，具有很大的探究價值，具有很高的訓練價值，具有很強的代表性，是一道訓練數學思維的好題，很值得深入探究.下面給出此題第（1）問的幾種證法，旨在供同仁在教學過程中作參考，旨在對同學們在學習這類問題時有所幫助和啟示.

證法1（試驗法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，證明如下：若an＝2n＋1，則an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3，又3an－4n＝3(2n＋1)－4n＝6n＋3－4n＝2n＋3，此 時an＋1＝3an－4n成立，所以an＝2n＋1.

證法2（數學歸納法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，證明如下：（i）當n＝1時，由an＝2n＋1知，a1＝3，符合題意，故當n＝1時，an＝2n＋1成立.（ii）假設當n＝k（k∈N*）時，an＝2n＋1成立，即ak＝2k＋1成立.則n＝k＋1時，因 為ak＋1＝3ak－4k=3(2k＋1)－4k＝2(k＋1)＋1，所 以 當n＝k＋1時，an＝2n＋1成立.由（i），（ii）可知，對于任意正整數n，an＝2n＋1成立.

證法3（正向思維迭代遞推法）：a2＝5，a3＝7.猜 想an＝2n＋1，證 明 如 下：因 為an＋1＝3an－4n，所以a2－5＝3(a1－3)，a3－7＝3(a2－5)，a4－9＝3(a3－7),……an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)].因為a1－3＝0，所以an－(2n＋1)＝0，即an＝2n＋1.

證法4（逆向思維迭代遞推法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，證明如下：由已知可得an＋1－(2n＋3)＝3[an-(2n＋1)],an-(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，……a2－5＝3(a1－3).因 為a1＝3，即a1－3＝0，所以an－(2n＋1)＝0，即an＝2n＋1.

證法5（逆向思維迭代遞推法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，證明如下：因為an＋1＝3an－4n①，所 以an＝3an－1－4·(n－1)②;①-②，得an＋1－an＝3an－3an-1－4，所以an＋1－an－2＝3(an－an－1－2)，所以an－an－1－2＝3(an－1－an－2-2),……a4－a3-2＝3(a3－a2－2)，a3－a2－2＝3(a2－a1－2).因為a2－a1－2＝0，所 以an＋1－an－2＝0.于是數列{an}是首項為a1＝3，公差d＝2的等差數 列，故an＝a1＋(n－1)d，從 而an＝3＋(n－1)·2，即an＝2n＋1.

證法6（逆向思維迭代遞推法）：a2＝5，a3＝7.猜 想an＝2n＋1，證 明 如 下：令bn＝an－(2n＋1)，因 為an＋1＝3an－4n，所 以bn＋1＝3bn，從而bn＋1＝3bn＝32bn－1=33bn-2=……=3n－1b2=3nb1.所 以b1＝0，故bn＝0，即an－(2n＋1)＝0，于是an＝2n＋1.

作為學生領路人的教師，一些前因后果需要我們教者從其背后去思考、挖掘，只有潛心研究高考試題，從中探究出更多潛在價值，才能在高中數學教學中高屋建瓴、有的放矢，才能確保對學生的指導方法得當、條理清楚、思路流暢.潛心研究高考試題，在尋求解法的同時，要領略考題的本質，挖掘其深刻的內涵，才能充分發揮考題的功能和作用.