也談等差數列的前n項和的最值問題

北京師范大學出版集團 岳昌慶 100875

高一學習等差數列時，其前n項和Sn的最值問題，可以從二次函數等角度來理解.作為一個高三學生，又多了求導這一有力的工具，方法會更多.當然要結合n∈N*.

例1［2019年高考北京市卷理科第10題］設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝______，Sn的最小值為______.

法2：令an＝n－5＝0得n＝5.又a1=-4＜0，d＝1＞0，所以當n＝4或5時，Sn取最小值為－10.

評注：（1）解法1將Sn看成關于n的二次函數，用二次函數的最值相關知識，再結合自變量n∈N*，從而求得Sn的最小值；需要在S4，S5的比較中找到最小值（此題恰好S4=S5）；本題如果求Sn為最小值時的項數n，還是一個兩解的題目呢.（2）解法2抓住“a1＜0，d＞0”這一“起始值為負的遞增等差數列”的特性，找到an中正負值的“分界線”（該項值為零更好），從而得Sn的最小值.解法2為我們提供了一種找到Sn最值的快速解法，見本文例3.從這個角度看，本題的第1空是為第2空做鋪墊的.（3）本題還可由a5＝0，直接得出S4或S5為Sn的最小值.因為一個首項為負的等差數列，其公差d＞0，在增長的過程中，一定有某一項為接近零的負值，下一項為接近零的正值，甚至會有某一項直接為零.這就可以理解為什么“a1＜0，d＞0”Sn就有最小值了.（4）解法3直接對Sn（將Sn看成關于n的二次函數）求導數，通過討論Sn的單調性，結合n∈N*，從而求得Sn的最小值.（5）以下各例均僅給出一種解法，其他解法限于篇幅，請讀者自己補齊.（6）等差數列，若“a1＜0，d＜0”，則Sn也存在最大值（即a1），結論平凡，本文不予研究.

評注：（1）本質上，例2與例1是互逆的.（2）本題第（2）問用錯位相消法求和，不是本文重點，故過程略去.

例3［2014年高考北京市卷理科第12題］若等差數列{an}滿足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，則當n＝_____ _時，{an}的前n項和最大.

簡解：由已知可得3a8＞0，a8+a9＜0，所以a8＞0，a9＜-a8＜0.公差d＝a9-a8＜0，a8=a1+7d＞0，即a1＞-7d＞0，從而n＝8時，{an}的前n項和最大.

評注：（1）這道題命制得高級、巧妙，甚至真正做到了高考題的命制最高境界——讓考生“只動腦不動筆”，確實考查了數學素養.（2）本題還用到了，對于等差數列：

a7+a9=a8+a8，a7+a10=a8+a9.

例4［人民教育出版社數學必修5B版2007年4月第2版第55頁第2（3）題］等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S14＞0，S15＜0，則在S1,S2,…中最大的是前____項的和.

簡解：由已知可得a1+a14＞0，a1+a15＜0，即a7+a8＞0，2a8＜0，故a7＞-a8＞0.公差d＝a8-a7＜0，a7=a1+6d＞0，即a1＞-6d＞0，從而在S1,S2,…中最大的是前7項的和.

評注：（1）本題也屬于“a1＞0，d＜0”型.（2）不能認為S14最大，因為雖然S14＞0,S15＜0，但Sn是關于n的二次函數，無法判斷：S1,S2,…,S13均為正，S15及以后各項均為負.（3）本題即使可以得出“S1,S2,…,S13均為正，S15及以后各項均為負”也不能認為S14最大，因為本題是對等差數列{an}求前n項的和，而不是對數列{Sn}求前n項的和.（4）例3是例4的一種簡單情況，說明“高考題目源于課本，高于課本”，學習中抓課本習題的落實是非常必要的.

評注：（1）一次有益的大膽嘗試，首次將目標函數設定為nSn.（2）求出函數f(n)的導函數f′(n)后，討論f(n)的單調性的過程，在解答過程中略去.（3）本題需在f(6)，f(7)的比較中找到最小值（即f(7)）.

作業1：［2018年高考全國卷Ⅱ理科第17題］記Sn為等差數列｛an｝的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15.（1）求{an}的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值.

作業2：［2010年高考全國課標卷文科第17題］設等差數列{an}滿足a3＝5,a10＝－9.（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值.

作業3：［1992年高考全國卷文、理科第27題］設等差數列{an}的前n項和為Sn.已知a3＝12,S12＞0,S13＜0.（1）求公差d的取值范圍.（2）指出S1,S2,…,S12中哪一個值最大，并說明理由.

作業4：［人民教育出版社數學必修5B版第43頁第3題］等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S9＜0,S10＞0，則此等差數列的前n項和中，n是多少時取得最小值？