反對稱鋪層碳纖維復(fù)合材料圓柱殼的雙穩(wěn)態(tài)應(yīng)力特性*

張淑杰，李國澤，周 陽，沈海軍

(1. 同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院， 上海 200092； 2. 上海躍盛信息技術(shù)有限公司， 上海 200240)

雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)是指該結(jié)構(gòu)能在無外力作用的情況下，存在兩個不同的穩(wěn)定形態(tài)。并且這兩種形態(tài)均可在沒有外部載荷加載的情況下保持自身穩(wěn)定，并能在很小的外界能量作用下，實現(xiàn)兩種穩(wěn)態(tài)之間的變換。雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)因為這一特性，廣泛應(yīng)用于可變機(jī)翼飛機(jī)[1]、多形態(tài)薄膜天線[2]、可變形鉸鏈與彈簧[3]等領(lǐng)域。

一般來說，各向同性材料不存在雙穩(wěn)態(tài)特性，但在引入某些預(yù)應(yīng)力的情況下也會表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)特性[4]。對雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的現(xiàn)有研究集中于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)，采用反對稱鋪層時，可以避免層合板受到彎曲和扭轉(zhuǎn)的耦合作用，得到標(biāo)準(zhǔn)的圓柱面殼，且兩個穩(wěn)態(tài)下圓柱殼的曲率方向相同。Sousa等[5]利用特殊的鋪層角和彎曲的碳纖維，設(shè)計非傳統(tǒng)穩(wěn)態(tài)形狀的雙穩(wěn)態(tài)殼，并對其形態(tài)與應(yīng)力分布進(jìn)行模擬。Zhang等[6]模擬不同鋪層角度、鋪層層數(shù)和幾何形狀對圓柱殼穩(wěn)態(tài)跳變的驅(qū)動力的影響。Mattioni等[7]同樣利用特殊的鋪層結(jié)構(gòu)，設(shè)計了一種連續(xù)變化的多穩(wěn)態(tài)翼型。上述研究主要集中在跳變(snap-through)過程中不同鋪層設(shè)計對驅(qū)動載荷以及第二穩(wěn)態(tài)曲率半徑等宏觀參數(shù)的影響，但并未研究包括跳回過程的整個變形過程中應(yīng)力分布情況等可能造成材料被損傷破壞的因素。

本文在模擬反對稱鋪層設(shè)計的圓柱殼從第一穩(wěn)態(tài)到第二穩(wěn)態(tài)跳變(snap-through)過程的基礎(chǔ)上，模擬其從第二穩(wěn)態(tài)到第一穩(wěn)態(tài)的跳回(snap-back)過程，得到了圓柱殼在整個過程中應(yīng)力分布及變化的情況，以及整個結(jié)構(gòu)中應(yīng)力較大的危險點的應(yīng)力變化曲線。對圓柱殼上不同特征點的應(yīng)力變化情況以及整個圓柱殼最大應(yīng)力變化情況進(jìn)行分析，得到圓柱殼應(yīng)力變化的特性。同時，獲得跳變、跳回過程以及第二穩(wěn)態(tài)下應(yīng)力較大的區(qū)域，以便于對其進(jìn)行特殊設(shè)計，防止材料被損傷破壞，進(jìn)而指導(dǎo)相關(guān)結(jié)構(gòu)的設(shè)計以及應(yīng)用。

1 反對稱雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

將復(fù)合材料層合板橫截面上的內(nèi)力定義為：

(1)

(2)

其中，t為板厚。

對于由n層復(fù)合材料單層板構(gòu)成的復(fù)合材料層合板，其應(yīng)力沿層合板厚度方向在各層之間間斷，故應(yīng)將式(1)、式(2)改寫為：

(3)

(4)

其中，zi為第i層至層合板中面的z坐標(biāo)。

層合板的幾何方程為：

(5)

將式(5)與單層板應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入式(2)，得：

(6)

同理，有：

(7)

將式(6)、式(7)合并，可以得到復(fù)合材料層合板的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，即

(8)

式中：

(9)

(10)

(11)

其中，A、B、D分別是復(fù)合材料板的剛度矩陣、耦合矩陣和彎曲矩陣。

對反對稱鋪層層合板(如[α/-α]n)，由式(9)～(11)知：A16=A26=0，B11=B12=B22=0，D16=D26=0。

故其廣義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：

(12)

由式(12)可知，反對稱層合板不存在彎扭耦合效應(yīng)。雖然B≠0，但是其導(dǎo)致的拉彎耦合效應(yīng)較弱，對圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)的性能影響很小，一般不考慮其對雙穩(wěn)態(tài)特性的影響[8-9]。

2 跳變與跳回過程的有限元模擬

為了研究圓柱殼整個變形過程中應(yīng)力分布及變化情況，采用ABAQUS有限元軟件來模擬雙穩(wěn)態(tài)層合圓柱殼的穩(wěn)態(tài)跳變過程。考慮到反對稱鋪層的圓柱殼在兩個穩(wěn)態(tài)跳變的過程中發(fā)生了非線性變形的特點，模擬過程中打開幾何非線性選項，并取衰減因子為0.000 2，從而使計算結(jié)果更容易收斂。材料選用T700-3234碳纖維環(huán)氧樹脂復(fù)合材料，[45°/-45°/45°/-45°]反對稱鋪層。單元類型采用S4R減縮積分殼單元，可在保證結(jié)果精度的條件下降低計算成本。材料參數(shù)如表1所示，n為鋪層層數(shù)，t為單層板厚度。

表1 T700-3234復(fù)合材料單層板材料參數(shù)

借鑒現(xiàn)有的雙穩(wěn)態(tài)層合板實驗加載方法[10]，在ABAQUS軟件中建立簡化模型，如圖1所示。取半圓柱殼為研究對象，如圖2所示，曲邊半徑R=25 mm，直邊長L=100 mm。在圓柱殼的兩條圓弧殼邊使用光滑支撐，并在兩條直線殼邊上利用剛性壓頭施加向下的位移載荷，實現(xiàn)圓柱殼從第一穩(wěn)態(tài)到第二穩(wěn)態(tài)的跳變(snap-through)過程。在圓柱殼到達(dá)第二個穩(wěn)定狀態(tài)后，抬起剛性壓頭，將試樣順時針旋轉(zhuǎn)90°。之后再利用壓頭施加向下的位移載荷，直至圓柱殼完成從第二穩(wěn)態(tài)變回第一穩(wěn)態(tài)的跳回(snap-back)過程。整個加載和跳變過程如圖3所示。

圖1 雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼有限元分析模型Fig.1 Finite element analysis model of bistable cylindrical shell

(a) 幾何參數(shù)(a) Geometric sizes

(b) 鋪層(b) Lay-up圖2 圓柱殼幾何參數(shù)與鋪層Fig.2 Geometric sizes and lay-up of the cylindrical shells

圖3 雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼變形過程示意圖Fig.3 Snap-through and snap-back process of the shell

3 結(jié)果與分析

3.1 不同結(jié)構(gòu)特征點應(yīng)力變化情況分析

對于幾何與材料參數(shù)已確定的雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼，穩(wěn)態(tài)跳變過程中對應(yīng)力情況有影響的主要因素是變形載荷的加載方式與位置。由于使用壓桿施加位移載荷，故取壓桿加載位置，即第一穩(wěn)態(tài)的直邊中點a、第一穩(wěn)態(tài)的圓弧邊中點b和圓柱殼中心點c為特征點，如圖2所示。

這些點在跳變過程中，von Mises應(yīng)力情況隨壓桿加載位移變化的曲線如圖4所示。可以看到，在跳變過程中，a點的von Mises等效應(yīng)力整體上大于c點，而b點的最小。a、c兩點應(yīng)力在整個跳變過程中隨著壓桿下壓而增大，而在形態(tài)變換的變形之后有一定減小，到達(dá)穩(wěn)定值。而b點則是首先在變形時到達(dá)應(yīng)力極小值，接近于零，在跳變變形之后增大至穩(wěn)定值。

圖4 跳變過程中a、b、c點的應(yīng)力變化曲線Fig.4 Stress curve at points a, b and c during snap-through process

在跳回過程中a、b、c點的應(yīng)力變化情況如圖5所示，載荷加載點b的Mises等效應(yīng)力在變形之前略小于a點，兩者除了在形態(tài)變換瞬間的屈曲狀態(tài)下有應(yīng)力突然變大的情況，其余均呈下降趨勢。但是在跳回變形過程中c點的應(yīng)力先增大，在發(fā)生跳回變形的形態(tài)變換之后迅速減小。

圖5 跳回過程中a、b、c點的應(yīng)力變化曲線Fig.5 Stress curve at points a, b and c during snap-back process

3.2 圓柱殼上最大應(yīng)力與載荷間的關(guān)系分析

圓柱殼跳變與跳回變形均依靠壓桿施加的壓力載荷，通過讀取壓桿受到的支撐反力就可以獲得每個時刻下圓柱殼受到的驅(qū)動力載荷大小。以壓桿位移為橫坐標(biāo)，將對應(yīng)時刻下驅(qū)動力與圓柱殼上最大von Mises應(yīng)力進(jìn)行繪制，可得到跳變過程與跳回過程中驅(qū)動力與最大von Mises應(yīng)力的變化趨勢。

在跳變過程中，開始時驅(qū)動力與圓柱殼上的最大von Mises應(yīng)力均隨著壓桿位移的增大而增大。在跳變過程中形態(tài)切換開始前的瞬間，驅(qū)動力到達(dá)最大點，之后開始下降，直至減小到零。而整個圓柱殼上的最大von Mises應(yīng)力，則在驅(qū)動力到達(dá)最大點之后，即在形態(tài)切換的過程中產(chǎn)生，在形態(tài)切換的變形過程結(jié)束后下降至穩(wěn)定點，如圖6所示。

圖6 跳變過程中驅(qū)動力與最大von Mises應(yīng)力的變化情況對比Fig.6 Change comparison between driving force and maximum von Mises stress during snap-through process

同理，在跳回過程中，開始時驅(qū)動力與圓柱殼上的最大von Mises應(yīng)力也隨著壓桿位移的增大而增大，但最大von Mises應(yīng)力變化的幅度相對較小。且驅(qū)動力也先于最大von Mises應(yīng)力到達(dá)最大點。和跳變過程一樣，驅(qū)動力與最大von Mises應(yīng)力的變化趨勢并不同步，如圖7所示。

圖7 跳回過程中驅(qū)動力與最大von Mises應(yīng)力的變化情況對比Fig.7 Change comparison between driving force and maximum von Mises stress during snap-through process

這是因為壓桿下壓至該穩(wěn)態(tài)與另一個穩(wěn)態(tài)的臨界狀態(tài)時，驅(qū)動力先到達(dá)最大值，此時結(jié)構(gòu)自動開始兩種穩(wěn)態(tài)間的切換過程，即跳變或跳回過程開始，驅(qū)動力減小。而在跳變或者跳回的過程中，圓柱殼慢慢到達(dá)最嚴(yán)重的非線性屈曲狀態(tài)，此時應(yīng)力到達(dá)最大值，故應(yīng)力晚于驅(qū)動力到達(dá)最大值。

3.3 整個跳變與跳回過程中圓柱殼上最大應(yīng)力的變化情況分析

圓柱殼在整個跳變跳回過程中，即從第一穩(wěn)態(tài)跳變到第二穩(wěn)態(tài)，再從第二穩(wěn)態(tài)跳回到第一穩(wěn)態(tài)的兩個過程中，應(yīng)力分布情況有明顯的不同。

在跳變過程中，最大應(yīng)力發(fā)生在載荷施加點與約束點附近。即壓桿與圓柱殼接觸位置以及圓柱殼支撐點位置附近處的應(yīng)力最大。這些位置受到外界施加的載荷，是整個結(jié)構(gòu)在跳變過程中應(yīng)力分布最集中的區(qū)域，如圖8所示。

圖8 跳變過程中應(yīng)力較大區(qū)域分布情況Fig.8 Distribution of larger stress areas during snap-through process

圓柱殼經(jīng)過跳變過程，從第一穩(wěn)態(tài)變換到第二穩(wěn)態(tài)之后，應(yīng)力分布情況如圖9所示。可以看到，由于圓柱殼采用反對稱鋪層設(shè)計，應(yīng)力關(guān)于雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料殼的中心對稱。并且應(yīng)力較大的區(qū)域主要集中在沿對角線方向的4個角內(nèi)側(cè)附近，即沿碳纖維方向的纖維末端附近，von Mises應(yīng)力最大達(dá)217.4 MPa。

圖9 第二穩(wěn)態(tài)下圓柱殼應(yīng)力分布情況Fig.9 Stress distribution of cylindrical shell at the second stable state

圓柱殼在跳回變形過程開始時處于第二穩(wěn)態(tài)，而第二穩(wěn)態(tài)下圓柱殼上本來就已經(jīng)有應(yīng)力分布，故而在跳回過程中，圓柱殼上的應(yīng)力分布情況又與跳變過程不同，如圖10、圖11所示。在跳回過程中，應(yīng)力最大的區(qū)域有所變化。首先是圓柱殼與支撐面的接觸點附近區(qū)域和第二穩(wěn)態(tài)下圓柱殼的應(yīng)力最大點區(qū)域，如圖10所示。隨著壓桿繼續(xù)下壓，應(yīng)力最大的區(qū)域集中到了圓柱殼和支撐面的接觸面區(qū)域，如圖11所示。而圓柱殼與壓桿接觸點附近的應(yīng)力，在整個跳回過程中均較小，低于圓柱殼上應(yīng)力的平均值。

圖10 跳回過程初期應(yīng)力較大區(qū)域的分布情況Fig.10 Distribution of larger stress areas at initial stage during snap-back process

圖11 跳回過程后期應(yīng)力較大區(qū)域的分布情況Fig.11 Distribution of stress areas at late stage during snap-back process

取有限元分析過程的分析步時間為橫坐標(biāo)，繪制整個圓柱殼上對應(yīng)時刻的最大應(yīng)力，如圖12所示。由圖12可見，在整個變形過程中，跳變過程中圓柱殼上的最大應(yīng)力大于跳回過程，而跳回過程中圓柱殼上的最大應(yīng)力變化更快，而且應(yīng)力分布情況更復(fù)雜。

圖12 整個跳變跳回過程中圓柱殼模型積分點上最大Mises應(yīng)力的變化情況Fig.12 The variation of the maximum Mises stress on the cylindrical shell during the entire process

4 結(jié)論

依據(jù)復(fù)合材料單層板應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與經(jīng)典層合板理論，建立了反對稱鋪層碳纖維復(fù)合材料圓柱殼有限元分析模型，并分析了跳變與跳回全過程。

1)在跳變過程中，應(yīng)力主要集中在載荷施加位置以及約束施加的位置，即壓桿和支撐面分別與圓柱殼的接觸位置。因為這兩個位置是外部載荷的施加位置，受到外部載荷作用。尤其是壓桿與圓柱殼接觸位置，在跳變過程形態(tài)切換瞬間的應(yīng)力達(dá)到整個變形過程中的應(yīng)力最大值。相比于支撐面與圓柱殼的接觸位置，壓桿與圓柱殼的接觸面更小，故而應(yīng)力集中現(xiàn)象更明顯。

2)在第二穩(wěn)態(tài)下，由于圓柱殼采用反對稱鋪層，材料鋪層設(shè)計本身關(guān)于圓柱殼的中心呈中心對稱分布，所以應(yīng)力關(guān)于圓柱殼的中心對稱分布。鋪設(shè)角為±45°，即碳纖維方向為圓柱殼的對角線方向，故沿對角線處的應(yīng)力較大，最大應(yīng)力位于圓柱殼的四角內(nèi)側(cè)附近。

3)在跳回過程中，圓柱殼上應(yīng)力較大的區(qū)域主要是第二穩(wěn)態(tài)下的應(yīng)力較大的區(qū)域以及圓柱殼與支撐面的接觸位置，同樣是因為該位置是外部載荷的施加位置。而圓柱殼與壓桿的接觸位置受到外部載荷的作用，產(chǎn)生的應(yīng)力恰好抵消了材料因變形而產(chǎn)生的應(yīng)力，總的應(yīng)力較小，低于整個結(jié)構(gòu)的平均值。

4)載荷即壓桿驅(qū)動力和圓柱殼上最大應(yīng)力的變化趨勢相同，但是并不同步。驅(qū)動力先于應(yīng)力到達(dá)最大值，之后結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)開始自動切換，驅(qū)動力減小。而在穩(wěn)態(tài)切換的過程中，圓柱殼在非線性屈曲最嚴(yán)重的狀態(tài)下應(yīng)力到達(dá)最大值。

通過分析圓柱殼上應(yīng)力的變化情況，可以對雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)、變形驅(qū)動裝置以及約束裝置等進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，如增大外載荷與圓柱殼的接觸面積，減小變形過程中雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力，減小結(jié)構(gòu)和材料的損傷，降低破壞風(fēng)險。