重力擾動對SINS水平姿態的影響*

安 文，許江寧，吳 苗，李 峰

(1. 海軍工程大學 電氣工程學院， 湖北 武漢 430033； 2. 海軍研究院， 北京 100161)

慣性導航系統(INS，Inertial Navigation System)是目前水下大型航行器最常用的導航方式，隨著慣性測量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)精度的提升，以及對導航精度要求的提高，重力擾動對INS的影響愈發凸顯[1-3]，同時，重力擾動也成為限制慣性導航精度的重要因素[4]。尤其是水平重力擾動，1 mGal水平重力擾動約引起0.2″的水平姿態誤差[5]，而水平重力擾動常常為幾十到一百毫伽，個別地區可達到幾百毫伽[6]。因此，有必要對重力擾動引起的INS導航誤差的機理進行研究。

文獻[7]將垂線偏差視為平臺傾角誤差，利用簡化的垂線偏差統計模型推導了導航系統位置誤差的均方差。文獻[8]建立了包含重力擾動的捷聯慣導系統(Strapdown INS, SINS)誤差模型，仿真結果表明重力擾動垂直方向異常分量對慣性姿態測量系統的影響可以忽略，垂線偏差是影響系統精度的主要因素。文獻[9]研究了擾動引力對彈道導彈命中精度的影響，為補償地球擾動引力對導彈運動的影響提供了理論基礎。文獻[10]分析了重力擾動在定位定向系統中的誤差傳遞，并提出一種實時的重力補償方法。文獻[11]研究了靜基座下垂線偏差對INS初始對準的影響。文獻[12]從重力擾動對慣性導航誤差的影響機理分析入手，指出重力擾動是影響高精度零速修正導航精度的最主要誤差源之一。文獻[13]建立了包含重力擾動的慣導誤差模型，分三種情況討論了單通道下重力擾動矢量對INS的影響。文獻[14]分別闡述了初始對準和純慣導解算時，水平加速度計零偏與水平重力擾動間的耦合效應，重力擾動對慣導系統的影響等效為加速度計零偏。文獻[15]設計了一個INS/GNSS組合導航仿真軌跡發生器，但仿真中并未加入重力擾動。

水平重力擾動與位置相關，根據重力場的球諧函數模型，可以認為水平重力擾動是一系列與位置有關的正弦函數的疊加。當載體發生位移時，水平重力擾動不能視為常量作用于INS，而應該視為一列不同幅值和頻率的正弦波，因此有必要研究INS姿態誤差與水平重力擾動間的幅頻特性。但目前關于重力擾動與INS姿態誤差之間關系的研究，主要存在兩方面不足：一是沒有給出運動條件下水平重力擾動與INS水平姿態誤差間的誤差傳遞表達式；二是沒有研究組合導航模式下，重力擾動對INS水平姿態誤差的影響。

本文以SINS為研究對象，首先推導了南北方向、東西方向勻速直線運動時，純慣性解算的水平姿態誤差與水平重力擾動間的傳遞函數；然后繪制了常用速度和位置范圍內傳遞函數的零極點分布圖；之后根據組合導航模式下的誤差傳遞結構圖，推導了組合導航模式下水平姿態誤差與水平重力擾動間的傳遞函數；最后分別給出VN=10 m/s，L=30°和VE=10 m/s，L=30°時傳遞函數的Bode圖，分析了純慣性解算模式和組合導航模式下，傳遞函數的幅頻特性，并針對如何提高SINS解算精度問題給出建議。

1 純慣性解算時的誤差傳遞函數

由于SINS高度通道發散，實際中常常引入阻尼，因此只研究水平回路。由于重力測量作業時，要求載體盡可能沿直線勻速航行，水平方向的勻速直線運動可以分解為南北方向的勻速直線運動和東西方向的勻速直線運動，因此分別分析兩種方向勻速直線運動時水平重力擾動對SINS水平姿態誤差的影響。定義當地地理坐標系(東-北-天)為導航坐標系(n系)，SINS誤差方程為：

(1)

系統輸出方程為：

Y=Hx

(2)

式中：Y=(φE,φN)T為輸出量；H為2×7輸出矩陣，H1,1=1，H2,2=1。

根據式(1)和式(2)，繪制系統輸入、輸出間的結構圖，如圖1所示。

圖1 式(1)和式(2)對應的系統結構圖Fig.1 Diagram of system described by Eq.(1) & Eq.(2)

系統輸入輸出間的傳遞函數為：

(3)

1.1 南北方向勻速直線運動

當載體沿南北方向勻速直線運動時，狀態矩陣A中東向速度VE=0。根據式(1)～(3)和圖1，得到南北方向勻速直線運動時SINS水平姿態誤差與水平重力擾動間的傳遞函數為：

(4)

(5)

記式(4)和式(5)的極點為pi(i=1,2,3,…,6)，式(4)的零點為z1i(i=1,2,3,4)，式(5)的零點為z2i(i=1,2,3,4)，其中極點p1與p2，p3與p4，p5與p6，零點z11與z12，z13與z14，z21與z22，z23與z24分別互為共軛。

1.2 東西方向勻速直線運動

當載體沿東西方向勻速直線運動時，狀態矩陣A中北向速度VN=0。根據式(1)～(3)和圖1，得到東西方向勻速直線運動時SINS水平姿態誤差與水平重力擾動間的傳遞函數為：

(6)

(7)

記式(6)和式(7)的極點為pi(i=1,2,3,4)，式(6)的零點為z11和z12，式(7)的零點為z21和z22，其中極點p1與p2，p3與p4，零點z11與z12，z21與z22分別互為共軛。

2 傳遞函數零極點分布

從式(4)～(7)可以看出，SINS水平姿態誤差與水平重力擾動間的傳遞函數與載體速度和位置有關。圖2顯示了常用速度VN∈[-100 m/s,100 m/s]和位置L∈[0°,70°]范圍內，傳遞函數式(4)和式(5)的零極點分布。從圖2(a)可以看出，在上述速度和位置范圍內，傳遞函數式(4)的零極點分布非常集中，有一對零極點p5、p6與z13、z14的分布雖然相對不集中，但這對零極點可以相消。從圖2(b)可以看出，傳遞函數式(5)的零極點除了可對消的零極點對p5、p6與z23、z24之外，其他零極點的分布也非常集中。因此，可以選擇上述速度和位置范圍內任意一組速度和位置對應的傳遞函數的特征來代表整類運動模式下SINS水平姿態誤差與水平重力擾動間的誤差傳遞特征。

(a) 式(4)的零極點分布(a) Distribution of zeros and poles of Eq.(4)

(b) 式(5)的零極點分布(b) Distribution of zeros and poles of Eq.(5)圖2 南北方向運動的傳遞函數零極點分布Fig.2 Distribution of zeros and poles of transfer functions for north-south motion

(a) 式(6)的零極點分布(a) Distribution of zeros and poles of Eq.(6)

(b) 式(7)的零極點分布(b) Distribution of zeros and poles of Eq.(7)圖3 東西方向運動的傳遞函數零極點分布Fig.3 Distribution of zeros and poles of transfer functions for east-west motion

圖3給出了VE∈[-100 m/s,100 m/s]，L∈[0°,70°]時，傳遞函數式(6)和式(7)的零極點分布。從圖3可以看出，傳遞函數式(6)和式(7)的零極點也分布在一個集中的范圍，因此也可以選擇任意一對東向速度和位置對應的傳遞函數的特征來代表整類運動模式下SINS水平姿態誤差與水平重力擾動間的誤差傳遞特征。

3 組合導航模式下的誤差傳遞函數

當SINS工作在組合導航模式時，將陀螺漂移和加速度計零偏建模為常值項與隨機項之和，用位置作為觀測量，系統濾波模型為：

(8)

系統的輸出方程為：

(9)

Kalman濾波模型能夠得到x中能觀狀態的最優估計，并給出最優增益矩陣K。組合導航模式下，系統誤差傳遞的結構如圖4所示。

圖4 組合導航模式下系統結構圖Fig.4 Diagram of system under integrated navigation mode

(a) φE/gdN

(b) φN/gdE圖5 南北方向運動的傳遞函數Bode圖Fig.5 Bode diagram of transfer functions for north-south motion

(a) φE/gdN

(b) φN/gdE圖6 東西方向運動的傳遞函數Bode圖Fig.6 Bode diagram of transfer functions for east-west motion

根據式(8)、式(9)和圖4，系統輸入輸出間的傳遞函數為：

(10)

當沒有Kalman濾波環節時，K為零矩陣，傳遞函數退化為純慣性解算模式，如式(3)所示。比較式(10)和式(3)，可以看出，Kalman濾波器的引入改變了系統的基本模態，也會改變零極點分布。因此只分析純慣性解算模式SINS水平姿態誤差與水平重力擾動間的關系是不夠的。

4 仿真及應用分析

由第2節的分析可知，當載體沿南北方向或東西方向勻速直線運動時，可以選擇常用位置和速度范圍內任意一組位置和速度下傳遞函數的特征來代表整類運動。因此，不失一般性，選擇L=30°，VN=10 m/s代表南北方向勻速直線運動，選擇L=30°，VE=10 m/s代表東西方向勻速直線運動。

當載體沿南北方向勻速直線運動時，繪制SINS水平姿態誤差與水平重力擾動間傳遞函數的Bode圖，如圖5所示。圖5中：藍色曲線代表純慣性解算模式(pure)，即傳遞函數式(4)和式(5)；紅色曲線代表組合導航模式(KF)。

當載體沿東西方向勻速直線運動時，繪制SINS水平姿態誤差與水平重力擾動間傳遞函數的Bode圖，如圖6所示。圖6中：藍色曲線代表純慣性解算模式，即傳遞函數式(6)和式(7)；紅色曲線代表組合導航模式。

從圖5、圖6可以看出，在純慣性解算模式下，系統存在兩個在ωs附近的自然頻率。當水平重力擾動為常值時(如靜基座情況下)，SINS水平姿態誤差在重力擾動激勵下表現為振蕩運動，振蕩頻率約為ωs；當水平重力擾動的時間頻率等于自然頻率時，SINS水平姿態誤差將在重力擾動的激勵下振蕩幅值達到最大。在組合導航模式下，Kalman濾波器相當于在系統中加入阻尼，同時增大了系統的截止頻率，這意味著組合導航模式下，SINS姿態誤差受更多高頻重力擾動信號的影響。

將頻率范圍分成三個區間：當重力擾動信號的時間頻率低于7×10-4rad/s時，SINS水平姿態誤差與水平重力擾動間的傳遞函數近似為比例環節，如式(11)和式(12)；當重力擾動信號的時間頻率高于0.05 rad/s時，傳遞函數的幅值急劇衰減；當重力擾動信號時間頻率在7×10-4～5×10-2rad/s范圍時，純慣性解算模式下傳遞函數幅值以-40 dB/dec的速度衰減，組合導航模式下，傳遞函數相位存在滯后。

(11)

(12)

由于傳遞函數的自變量是時間頻率，而重力擾動信號是空間相關量，通過載體運動，轉換為時間頻率信號作用于系統，轉換關系如式(13)所示。

(13)

式中：ω為時間頻率，v為載體運動速度，λg為重力擾動信號波長。

不同重力擾動信號波長對應的傳遞函數特性見表1。

表1 不同重力擾動信號波長對應的傳遞函數特征

對組合導航模式而言，當重力擾動信號波長λg<40πvs/rad時，不會對SINS姿態解算帶來太大誤差，可以不用補償。當重力擾動信號波長λg≥40πvs/rad時，為了提高SINS的解算精度，需要補償該波段的重力擾動。

比較兩種解算模式，發現組合導航模式下，SINS姿態誤差受更多高頻重力擾動信號的影響，這意味著組合導航模式下的SINS需要更高分辨率的重力擾動數據來進行重力擾動補償。由圖5和圖6看出，系統存在截止頻率，這使得高于該頻率的重力擾動信號不會作用于SINS的水平姿態。這就說明在對高精度SINS進行重力擾動補償時，對于重力擾動分辨率的需求是有限度的，并不是越精細越好，因為過于精細的重力擾動數據一方面帶來測量壓力，另一方面帶來存儲壓力，卻并不會提高SINS的姿態精度。

5 結論

本文推導了載體勻速直線運動時，SINS水平姿態誤差與水平重力擾動間的傳遞函數，在常用速度和位置范圍內，傳遞函數的零極點分布非常集中。然后推導了組合導航模式下，SINS水平姿態誤差與水平重力擾動間的傳遞函數，Kalman濾波器的引入會改變系統的基本模態，也會改變零極點分布。仿真中，分別用L=30°，VN=10 m/s和L=30°，VE=10 m/s代表南北方向、東西方向勻速直線運動，分析了純慣性解算模式和組合導航模式下傳遞函數的幅頻特性。組合導航模式下，SINS姿態誤差受更多高頻重力擾動信號的影響。組合導航模式下的SINS需要更高分辨率的重力擾動數據來進行重力擾動補償。在對高精度SINS進行重力擾動補償時，對于重力擾動分辨率的需求是有限度的，不是越精細越好，過于精細的重力擾動數據一方面帶來測量壓力，另一方面帶來存儲壓力，卻并不會提高SINS的姿態精度。