抓知識聯系 促新知形成

趙興章　王文清

【摘 要】 本節課的教學是按照“自主學習與創新意識培養數學課堂教學模式”進行設計的，從學生上節課剛剛學過的多項式乘法法則開始，依據學生的“最近發展區”設計問題，在激發學生學習興趣，訓練學生數學思維的同時，自然而然地發現探索出了平方差公式，并培養了學生的數學能力和素養.

【關鍵詞】 最近發展區;數學思維;平方差公式

2020年11月我校數學組舉行了一次同課異構的教研活動，筆者之一在這次教研活動中上了一節觀摩課，課題是人民教育出版社義務教育教科書八年級上冊《數學》“14.2.1平方差公式”，本節課得到了與會專家和老師們的好評.現將其課堂實錄及點評呈現給大家，敬請批評指正.

1 教學目標與重點、難點

1.1 教學目標

（1）通過具體的多項式的乘法運算，經歷平方差公式的探索過程，會用多項式的乘法法則推導公式，掌握平方差公式的結構特征.

（2）理解平方差公式的符號語言、文字語言、圖形語言等三種數學語言，并能進行相互轉化.

（3）能運用平方差公式進行多項式的乘法運算，體會平方差公式在簡化運算中所起的作用.

1.2 教學重點、難點

重點：平方差公式及運用.

難點：平方差公式的發現及文字語言描述.

2 教學過程實錄

2.1 設計問題，創設情境

師：前不久，我們學習了多項式的乘法法則，請同學們回憶，并默寫.

生1：多項式乘多項式，用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘.

師：多項式乘多項式先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，即（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq.

問題1.計算下列多項式的積：（投出問題1）

（1）（x+2）（y-1）; （2）（y+1）（y-3）;

（3）（y+1）（y-1）;

（4）（m+3）（m-3）;

（5）（2n+1）（2n-1）.

（學生們獨立計算，然后主動回答，或提問，教師板書計算過程.）

師：同學們，這五道題目的最后結果有的是四項，有的是三項，有的是二項，你覺得哪種情況有研究價值和意義，為什么？

生2：結果是兩項的這種特殊的多項式相乘有研究價值和意義.因為若把它作為公式，當遇到相同形式的多項式相乘時，就可以直接運用公式寫出結果，從而簡化運算.

點評 多項式的乘法法則是平方差公式的“根”與“源”，從復習回憶學生已學過的多項式乘法法則，并在學生的“最近發展區”設置問題導入新課，是科學的、合理的、自然的.而且題目的選擇經過執教老師的精心思考，（1）是一般的多項式乘多項式;（2）是學生已接觸過的（x+p）（x+q），（3）（4）（5）是今天將要研究的多項式乘法，其目的是讓學生在比較中發現特殊情況，并弄清其研究價值，感受到研究這種特殊的多項式乘法的必要性和合理性.

2.2 學生探索，嘗試解決

問題2 請同學們觀察以下這三個式子，它們在形式上有什么共同特征？試寫出它們的一般形式.

（投出問題2，讓學生先獨立思考，遇到問題、困難，可以小組互助.）

2.3 信息交流，揭示規律

師：哪位同學能代表自己，或小組發表意見！

生3：共同特征是等號左邊的兩個多項式都是兩項式，這兩個多項式前面的項是相同的，后面的項的符號是相反的.

師：上面的多項式乘法只不過是多項式乘法（a+b）（p+q）中p=a，q=-b時的特殊情況，今后，對于具有與此相同形式的多項式相乘，我們可以直接寫出運算結果，即（a+b）（a-b）=a2-b2.由于它們的結果都是兩數的平方差的形式，所以我們把這個公式稱為平方差公式.

點評 學生通過計算、觀察、對比，教師引導學生思考幾個式子的共同特征，為學生歸納公式的結構特征做好了鋪墊，為發現公式提供了幫助.學生不僅經歷了歸納、猜想、證明這一重要數學方法的全過程，運用了由特殊到一般的數學思維方法，而且深知平方差公式無非是把某特殊形式的多項式相乘，寫成了公式的形式而已，是舊知識（多項式的乘法法則）的自然生長（兩個特殊多項式相乘，并把結果寫成公式的形式而已），并沒有多少新東西.學生認識到平方差公式與多項式乘法之間的特殊與一般的關系，從而使學生建立起新知與舊知的聯系，順利地將本節知識納入到原有知識結構之中.

問題3 請給出“平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2”的文字語言描述.

生5：右邊是兩個數的平方的差.

師：很好，那左邊呢？

生6：左邊是兩個數的和乘兩個數的差.

師：誰能說的更準確一些？

生7：左邊是兩個數的和與這兩個數的差的積.

師：誰能完整地描述一下？

生8：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.

師：（在前面平方差公式符號語言（a+b）（a-b）=a2-b2的下面板書或投出）兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.

點評 用文字語言表達平方差公式是一個難點，教師應該留給學生充分的沉淀時間，應在啟發學生的基礎上，引導學生逐步說出規范的文字語言.此環節教師的處理有些著急，有牽著學生走的嫌疑.可設計這樣的引導語：等號左邊前面的括號（（a+b））是什么？（兩個數的和），后面的括號（（a-b））呢？（兩個數的差），前后這兩個括號中的兩個數是什么關系？（相同），這樣后面的括號（（a-b））應怎樣表述？（這兩個數的差），綜合起來，等式的左邊應當怎樣表述？（兩個數的和與這兩個數的差的積），右邊的（a2-b2）又是什么？（兩個數的平方差）……，這樣的引導才能教會學生如何把數學公式的“符號語言”轉化為“文字語言”，達到現在的“教”是為了以后“不用教”的目的和效果.

活動一 同學們手中有一個邊長為a的正方形紙板，在其一個角剪掉了一個邊長為b的小正方形的紙板（a>b>0），（同時課件出示問題）如圖1，請根據圖形的面積關系，利用剪拼的方法驗證平方差公式：（a-b）（a-b）=a2-b2.

師：請同學們，首先獨立思考，然后再進行小組合作交流.

……

師：哪位同學愿意分享一下你的想法？

生9：可以把圖形（圖2）下側的小長方形剪下，貼在右側，形成一個新的圖形（圖3）.

同學們可以把“□”“△”看作兩個抽屜，用平方差公式解題，實際上是往“抽屜”里放式子，里面可以放數、單項式或者多項式，但需要注意的是，所有的“□”里放的式子必須是相同的，所有的“△”里放的式子也必須是相同的.

點評 這組題目教師意在讓學生明白正確運用公式的前提是，首先要弄清具體問題中的a和b分別是什么，體會公式中字母所代表的內容的廣泛性，并通過形象生動直觀化的方式表達了公式的內涵，更進一步加深了學生對公式的理解，通過學生獨立思考、生生互動、師生互動等一系列的活動，達到了預期的效果，克服了學生學習中的難點、易混點.

（三名學生上臺板演，其他同學獨立計算.）（具體過程從略.）

點評 例1、例2，教師采用“換一個”的策略，不用教材原例題，是在尊重原例題編寫意圖，保證其用到的知識不變，訓練的技能技巧不變，傳授探求的解題思路和方法不變，滲透的數學思想方法不變，培養的能力不變的前提下，改變原例題中的數值、字母或已知條件或求解目標等.即表面上換了一個例題，但其實質并沒有變化，目的是保證讓全體學生不僅動手而且真正動腦，還又不偏離教學目標.另外，教師設置的例2（3）小題，更是寓意深遠，不僅考查了對公式逆用，加深了對公式的深刻理解，訓練了逆向思維，而且為后面的因式分解埋下了伏筆，值得肯定和表揚.

師：很好！還有其他填法嗎？

生15：6b+2a，并立即說，只要先提出2來，即可用平方差公式進行計算.

師：很好！還有很多填法，我們無法一一窮盡.下面同學們做一個活動（同時課件展示）.

活動二 你出題，我來做.

（要求：同桌間每人利用平方差公式出一道題，然后交換解答.）

師：哪位同學愿意來分享自己的思考？

生16：我出的題目是（xy+1）（xy-1），我的答案是x2y2-1.

生17：我出的題目是（x-1）（x-3），

生18：（同位）：我認為這個題目不能用平方差公式，因為它不符合平方差公式的特征，如果把第一個括號中的1改成-3，或者把第二個括號中的3改成-1，就可以用了.

師：其他同學怎么想的？認為能用平方差公式計算的舉手（只有出題者舉手）.認為不能用平方差公式計算的舉手（很多同學舉手）.請說一下你的想法.

生17（出題者）：可以把（x-1）看成（x-2+1），把（x-3）看成（x-2-1）這樣就可以用了.即

師：你很棒?。ń淌依镯懫鹆苏坡暎?思考深刻、奇特，富有創新精神，值得表揚！可從上面的實際計算看，不僅沒有簡化計算，反而加大了運算量，拉長了解題長度，所以對于本題并不是好法、優法.

實際上所有形如（x+a）（x+b）的式子，都可以經過適當變形，應用平方差公式進行計算.同學們可留作課下思考.

點評 教師先通過問題4這一開放性問題，不僅充分發揮了學生的學習興趣、積極性，開闊了學生的思維，豐富了課堂素材，而且加深了學生對平方差公式的理解，并為后面的活動二讓學生自主編題做了鋪墊.活動二通過讓學生編題，不僅調動了學生的主動性、求知欲，而且有助于學生發散性思維能力和敢于發現問題、提出問題能力的培養，愛因斯坦曾說過“想象力比知識更重要.提出一個問題，往往比解決一個問題更重要.”學生從不同的角度編出不同層次的題目，說明他已經對平方差公式有了較為透徹的理解.特別是最后一名學生提出的問題更具有深度和挑戰性.

2.5 反思小結，觀點提煉

師：同學們思考（課件出示），通過本節課的學習：

（1）你收獲了哪些知識、技能？

（2）你是怎樣獲得這些知識、技能的？

（3）在獲得這些知識、技能的過程中用到了哪些思想、方法？

（4）你還有哪些疑惑？

點評 教師用“四問法”引導學生對本節課進行回憶、概括、整理，盤點收獲，“顆粒歸倉”，既問耕耘，也問收獲，實乃明智之舉.“四問法”課堂小結，分別對應課程標準中基礎知識、基本技能，基本數學活動經驗和基本思想方法等四個方面，通過課堂小結進一步落實四基.

2.6 當堂達標，查缺補漏（具體從略）

總評 （1）本教學是按照“自主學習與創新意識培養數學課堂教學模式”進行設計的，通過“設計問題，創設情境—學生探索，嘗試解決—信息交流，提示規律—運用規律，解決問題—變練演編，深化提高—反思小結，觀點提煉—當堂達標，查缺補漏”七個環節完整呈現了平方差公式的教與學過程.各環節之間環環相扣、層層遞進.從平方差公式的引入到平方差公式的發現、提出、猜想、證明、應用（正用、逆用），以及平方差公式的結構特征的探索、三種數學語言的轉化等，呈現了一個完整的公式學習的過程，突出了知識間的聯系性，便于學生構建知識體系，更新知識結構.

（2）本節課對教材例題，采用“換一個”的策略，不僅保證了教材編寫意圖的落實，而且保證了讓學生的學習、思考真正發生;通過開放題的引入，不僅激發了學生學習的積極性，而且加深了學生對平方差公式的本質認識;通過讓學生自主編題，不僅豐富了課堂教學素材，調動了學生學習的主動性，而且培養了學生的發散性思維和創新能力.

（3）課堂小結也是本教學設計的一個亮點.本教學設計的課堂小結采用“四問法”，對應課程標準的四基，特別是第（2）問“你是怎樣獲得這些知識、技能的？”指向的是學生基本數學活動經驗，這是落實基本數學活動經驗教學的有效措施.教學中教師引導學生及時歸納、總結，形成經驗，只有形成經驗對學生的發展才是有意義的.

（4）教學過程中，執教教師語言精確嚴謹，教態自然大方，師生積極投入，教學相長，課堂氣氛活躍，教學效果好.

參考文獻

[1]王文清.“自主學習與創新意識培養”數學課堂教學模式初探[J].中學數學雜志，2000，（6）.

[2]王文清.怎樣的數學課才算好課 怎樣才能上好數學課[J].中學數學雜志，2008，（8）.