圓錐曲線的焦半徑公式的簡單運用

摘 要：本文舉例說明了橢圓和雙曲線焦半徑公式的簡單運用.

關鍵詞：橢圓;雙曲線;焦半徑;運用;探究

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0013-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：武增明（1965.5-），男，云南省易門人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

在圓錐曲線問題中若涉及焦半徑，如果想到應用焦半徑公式來求解，有時會使求解過程十分簡捷.下面舉例說明，供大家參考.

下面我們先看橢圓和雙曲線的第二定義.

橢圓的第二定義 若動點M（x，y）與定點F（c，0）（F（-c，0）或F（0，c）或F（0，-c））和它到定直線l：x=a2c（x=-a2c或y=a2c或y=-a2c）的距離的比是常數e=ca（a>c>0），則這個動點M（x，y）的軌跡是橢圓.定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數e是橢圓的離心率.

雙曲線的第二定義 若動點M（x，y）與定點F（c，0）（F（-c，0）或F（0，c）或F（0，-c））和它到定直線l：x=a2c（x=-a2c或y=a2c或y=-a2c）的距離的比是常數e=ca（c>a>0），則這個動點M（x，y）的軌跡是雙曲線.定點是雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率.圓錐曲線上任意一點M與其一個焦點F的距離|MF|叫做圓錐曲線的焦半徑.

為了便于理解，快速推導出橢圓和雙曲線的焦半徑公式，下面以表格的形式給出橢圓和雙曲線的主要性質.

橢圓和雙曲線的焦半徑公式沒有必要刻意記憶，根據解題需要，由橢圓和雙曲線的第二定義可快速推導出來.

例1 （2019年高考全國Ⅲ卷文T15，理T15題）設F1，F2為橢圓C：x236+y220=1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形，則點M的坐標為.

解析 不妨設F1，F2分別是橢圓C的左、右焦點，由點M在第一象限，△MF1F2為等腰三角形，知|F1M|=|F1F2|=8.設M（x0，y0），則由橢圓的焦半徑公式，得|F1M|=a+ex0.所以|F1M|=6+23x0.于是6+23x0=8，解得x0=3.又x2036+y2020=1，y0>0，所以y0=15.從而M（3，15）.

評注 此題解法較多，筆者認為，應用橢圓的焦半徑公式來求解速度較快.

例2 （2019年全國高中數學聯賽貴州賽區預賽試題第11題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點為F.過橢圓C上一點A作橢圓的切線，與y軸交于點Q，O為坐標原點.若∠QFO=45°，∠QFA=30°，則橢圓的離心率為.

解析 設A（x0，y0），則過點A的切線方程為x0xa2+y0yb2=1，從而Q（0，b2y0）.由橢圓的焦半徑公式，得|FA|=a+ex0.

又FQ·FO=（c，b2y0）·（c，0）=c2，FQ·FA=（c，b2y0）·（x0+c，y0）=cx0+a2，所以由向量的數量積公式，得cos∠QFOcos∠QFA=FQ·FOFQ·FA·|FQ||FA||FQ||FO|=c2cx0+a2·ex0+ac=ca·ex0+aex0+a=e.

故橢圓的離心率為e=cos∠QFOcos∠QFA=cos45°cos30°=63 .

評注 此題具有一般性結論：設F為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個焦點.過橢圓C上的一點A（A不是橢圓的頂點）作橢圓的切線交y軸于點Q，O為坐標原點，該橢圓的離心率為e.若∠QFO=α，∠QFA=β，則e=cosαcosβ.

例3 （2019年全國高中數學聯賽重慶賽區預賽試題第9題）已知過點P（3，0），斜率為k的直線l與雙曲線C：x2-y23=1的右支交于A，B兩點，F為雙曲線C的右焦點，且|AF|+|BF|=16，求k的值.

解法1 （應用兩點間的距離公式） 設A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為y=k（x-3），則x21-y213=1，x22-y223=1.

因為F（2，0），所以由兩點間的距離公式，得|AF|=（x1-2）2+y21=x21-4x1+4+3x21-3=（2x1-1）2=2x1-1.同理，可得|BF|=2x2-1.

所以由|AF|+|BF|=16，得2（x1+x2）=18.

由y=k（x-3），x2-y23=1，得（k2-3）x2-6k2x+9k2+3=0，所以x1+x2=6k2k2-3 .

依題意，得Δ>0，x1+x2>0，x1x2>0，

即36k4-4（k2-3）（9k2+3）>0，6k2k2-3>0，9k2+3k2-3>0， 解得k2>3.

故2·6k2k2-3=18，由此得k=±3，且滿足k2>3，于是k=±3.

解法2 （應用雙曲線的焦半徑公式） 設A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為y=k（x-3），則由雙曲線的焦半徑公式，得|AF|=2x1-1，|BF|=2x2-1.以下同解法1.

評注 從上述解法2我們可以看出，直接應用雙曲線的焦半徑公式求解，思路清晰，過程簡捷，求解速度快.

通過上述幾例的解答，我們發現，焦半徑公式充分體現了數學中的化歸思想，通過它可將二個變量x，y問題化歸為一個變量x或y來處理，體現了數學中的消元思想，減少了運算量，優化了解題過程.所以我們在平時的教學中，值得重視圓錐曲線的焦半徑公式的運用.

參考文獻：

[1]中國數學會普及工作委員會及數學奧林匹克委員會.高中數學聯賽備考手冊（2020）（預賽試題集錦）[M].上海：華東師范大學出版社，2020.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準試驗教科書（選修）數學2-1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]劉剛.一道2018年高考橢圓試題的探究[J].數理化學習，2018（08）：9-11.

[4]周春霞.焦半徑與2000年高考解幾試題[J].中學教研（數學），2000（10）：26-27.

[責任編輯：李 璟]