一類新特征函數(shù)的應(yīng)用

趙 亮，韓朝陽

(哈爾濱理工大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150080)

0 引 言

1 基本概念

在本文中，以X表示Banach空間，S(X),S(X*)分別表示X及其對(duì)偶空間X*的單位球面。

對(duì)于?x∈X,取定一個(gè)fx∈S(X*)滿足fx(x)=‖x‖，這樣便得到一個(gè)X到S(X*)映射

x→fx

并約定對(duì)?a>0,fax=fx。

考慮文[5]P.21的(1)：對(duì)于z1,z2∈S(X),λ>0有

fz1+λz2(z2)≥‖z1+λz2‖-‖z1‖≥λfz1(z2)

(1)

文[6]后來證明了式(1)對(duì)于一切z1,z2∈X和實(shí)數(shù)λ均成立。

在文[6]中定義了[0,+∞)上的關(guān)于t的實(shí)函數(shù)fx+ty(x),fx+ty(y)。并且證明了fx+ty(y)單調(diào)遞增，fx+ty(x)單調(diào)遞減。

定義1[4]函數(shù)

被稱為是Banach空間X的廣義凸性模。

定義2[7]函數(shù)

x,y∈S(X)},α∈(0,1)

被稱為是Banach空間的廣義光滑模。

定義3設(shè)M={(x,y)∈S(X)×S(X),?fx∈S(X*),fx(x)=‖x‖,fx(y)=0}。

這里的α便是廣義凸性模，廣義光滑模中的α。

當(dāng)g′(s)存在時(shí)

文[8]的結(jié)果表明

因而g′(t)=N±(x+ty,y)=fx+ty(y),

證閉。

2 主要內(nèi)容

在給出了一些說明與基本定義之后，下面便是對(duì)廣義凸性模，廣義光滑模與特征函數(shù)關(guān)系的探討，于是我們可以得出下面的定理與推論。

其中α′=min{α,1-α}。

證明：先證明不等式的右半部分成立

δX(α)(t)=inf{1-‖αx+(1-α)y‖:x,y∈S(X),‖x-y‖≥t}=

inf{1-‖x+(1-α)(y-x)‖:x,y∈S(X),‖x-y‖≥t}=

S(X),‖x-y‖≥t}

由式(1)得

(1-α){1-fx(y):‖x-y‖≥t,x,y∈S(X)}。

由于fy∈S(X*)，所以‖fy‖=1,|k1|=|fy(k1y+k2x)|≤|k1y+k2x|,?k1,k2∈R。

即有 |k1y+k2x|≥|k1|,?k1,k2∈R。

(ⅰ)若‖y+4tx‖≥2,則

(ⅱ)若‖y+4tx‖<2,‖y+4tx‖-1<2t,則

(ⅲ)若‖y+4tx‖<2,‖y+4tx‖-1>2t，則

綜上可得

(1-α)[1-sup{fx(y):‖x-y‖≥t,x,y∈S(X)]≤

(1-α)[1-sup{fy+4tx(y):(y,x)∈M}]=cα(4t)

下面證明不等式的左半部分成立。

x,y∈S(X)，‖x-y‖=t}=

S(X)，‖x-y‖=t}≥

S(X)，‖x-y‖=t}]

由式(1)有

‖x-y‖=t}]=

注意此時(shí)

則有

x,y∈S(X),‖x-y‖=t}≥

S(X)，‖x-y‖=t}]

由本文中的式(1)有

此時(shí)

則

由此我們可以得出這樣的一個(gè)推論：

推論1X一致凸當(dāng)且僅當(dāng)

其中α′=min{1-α,α},0≤t≤α′。

證明：

(1-α):x,y∈S(X)}≥

(1-α):(x,y)∈M}≥

(由于fx(y)=0,由fx+sy(y)的單調(diào)遞增可知fx+sy(y)≥0)

下面不等式的左半部分成立

則fx(z)=0,從而(x,z)∈M。

即

所以

(x,z)∈M。

而

又

所以

綜上定理2得證，于是我們可以得出下面的一個(gè)推論。

推論2X是一致光滑的充分必要條件為