酉群的有限子群所生成的代數

羅來珍, 李興華, 陶元紅

(1.哈爾濱理工大學 理學院，哈爾濱 150080；2.浙江科技學院 理學院/曙光大數據學院，杭州 310027)

0 引 言

表示理論在數學中具有極其重要的作用，正如數學家蓋爾范德(Izrail Moiseevich Gelfand)所說，所有的數學都是某種表示理論。而有限群表示論是有限群論的核心內容，也是研究有限群結構最強有力的工具之一。有限群表示論是在代數和數論的研究中產生的，后來發展成為數論、代數、幾何和分析中的重要工具[1]。隨著代數學的不斷發展和完善，而后產生各種表示，如群表示、代數表示，而且表示論自身已成為獨立的數學分支。群表示論在很多領域都有應用，例如群表示論在直積網絡中[2]、在對稱系統控制[3]以及在群結構[4]研究等方面都有重要應用。酉群作為重要的一類群，有很多的相關研究[5-10]，本文主要研究一類酉群的子群生成的代數結構，它對于建立酉群和置換群的Schur-Weyl對偶有重要意義。

設H是一個Hilbert空間，B(H)表示其上有界線性算子全體構成的集合。設M?B(H)，M′為M的交換子，即H上與M 中每個算子可交換的有界算子全體，記作

M′={M′∈B(H):[M,M′]=0,對任意的M∈M′}

顯然，M′是包含單位元1的Banach算子代數。 若M是自伴的, 則M′是H上的C*-代數，從而有

M?M″=M(iv)=M(vi)=…

M′=M?=M(v)=M(vii)=…

定義1[12]H上的von Neumann代數是指B(H)的*-代數使得

M=M″

任給B(H)的一個子集{Aλ:λ∈Λ}，由其生成的von Neumann代數為Alg({1}∪{Aλ:λ∈Λ})，即

{Aλ:λ∈Λ}″=Alg({1}∪{Aλ:λ∈Λ})

設U(d) 為一個酉群，K是群H≤U(d)的子群，子群K的中心化子記作CH(K)，是指群H中與子群K中任意元素可交換的全體元素構成的集合，即

群H的任意子群的中心化子也是該群的子群，即CH(K)≤H。

設G為酉群U(d)的任意子群，C(G)表示G在U(d)的中心化子，C(G)的中心化子記作C(C(G))，則有G?C(C(G))。

1 預備知識

首先給出中心化子和交換子的關系：

命題1[13]對任意的酉群U(d)的子群H, 有H′=Alg(C(H)) 成立。

證明：顯然，Alg(C(H))?H′。由于C(H)是與H可交換的，H′是自同態的且與H可交換，滿足C(H)?H′。顯然H′是von Neumann代數，因此有Alg(C(H))?H′。

下證Alg(C(H))?H′。任選T∈H′，由于H′是von Neumann代數, 則對任意的s,t∈，有is(T+T*)和t(T-T*)都屬于H′，由此

exp[is(T+T*)], exp[t(T-T*)]∈H′

從而有exp[is(T+T*)]和exp[t(T-T*)]都與H可交換。 顯然exp[is(T+T*)]和exp[t(T-T*)]是酉的,且屬于C(H)?Alg(C(H))。由此

進而

由此可得，T∈Alg(C(H))。故有H′?Alg(C(H))。

命題2[12]H為一個Hilbert空間,A?B(H)是自伴隨的, 即當A∈A時有A*∈A。則A″是包含A的最小的von Neumann代數。

證明：假設B?B(H)是包含A的von Neumann代數。 只需證明A″?B, 事實上, 由于A?B,則有A′?B′, 從而有A″?B″=B。

定義2[12]H為一個Hilbert空間,M?B(H)。稱A是由M生成的von Neumann代數，若A是包含M的最小的von Neumann代數，記作A=G(M)。

命題3[12]H為一個Hilbert空間,M?B(H)，則有G(M)=(M∪M*)″,其中M*={M*:M∈M}。

命題4[二次交換子定理][12]H為一個Hilbert空間,設A?B(H)是自伴的且1∈A。則下列命題等價:

(ⅰ)A是von Neumann代數，即A=A″。

(ⅱ)A=SOT-[A];SOT-[A]表示A的強算子拓撲閉包；

(ⅲ)A=WOT-[A];WOT-[A]表示A的弱算子拓撲閉包；

(ⅳ)A=σ-SOT-[A];σ-SOT-[A]表示A的σ-強算子拓撲閉包；

(ⅴ)A=σ-WOT-[A];σ-WOT-[A]表示A的σ-弱算子拓撲閉包。

由此我們得到結論：

定理1若H是U(d)的子群, 則由H生成的代數Alg(H)是von Neumann代數，且有Alg(H)=H″。

證明：由于H?H″,則有Alg(H)?H″。顯然Alg(H)是自伴的，且單位元1∈Alg(H)。

由于Alg(H)是有限維的,B(d)上所有拓撲都是相同的, 因此在各種拓撲下的閉包與Alg(H)相同。

由命題4知, Alg(H)是von Neumann代數，H″是由H生成的最小的von Neumann代數, 因此H″?Alg(H)。

命題5[13]若H是U(d)的子群，則有(Alg(H))′=H′。

證明：由于Alg(H)=H″，從而有(Alg(H))′?H′；又由H?Alg(H),知H′?(Alg(H))′。對任意的T∈H′, 由命題1,對任意的T∈Alg(C(H)),exp[is(T+T*)]和exp[t(T+T*)]都屬于C(H)，得到exp[is(T+T*)]和exp[t(T+T*)]都與H可交換, 從而其與Alg(H)也可交換。 即exp[is(T+T*)]和exp[t(T+T*)]都屬于(Alg(H))′，從而有T∈(Alg(H))′。故H′?(Alg(H))′。

定理2若V(G)是有限群G的酉表示，則其成的代數Alg(V(G))是von Neumann代數。

證明：V(G)是U(d)的子群,則由定理2知，Alg(V(G)) 是von Neumann代數。

命題6[13]Alg(U(d))=End(d)，其中End(d)表示全體線性算子。

證明：U(d)是End(d)的子集,從而有Alg(U(d))?End(d)。只需要證明Alg(U(d))?End(d)。對任意的非零元T∈End(d),由極分解定理,T=U|T|，其中U∈U(d)。令λ1為|T|的極大特征值。記因此‖T′‖=1。

2 主要結果

本文的中心問題研究由有限酉子群生成的代數結構。

由命題5, 我們可以考慮滿足某種條件的von Neumann代數。 若H是U(d)的子群，且有限維|H|<+∞, 則有Alg(H)=[H]。

在群表示論中[14-20],任意的有限群H都可以生成群代數[H]。此外，當生成的群代數[H]被視為自身的表示(即正則表示)時，這種表示具有分解:其中是全不等價不可約H-模集，表示等價于Vα的不可約H-模集，從而有

(1)

假設A是包含于B(H)的von Neumann代數,E和F為A中的投影算子。

命題7[12]von Neumann代數A中的投影算子E是有限的當且僅當A中滿足F≤E和F～E的投影F，使得F=E。一個von Neumann 代數是否為有限的取決于單位元是否為有限投影算子。

命題8[12]若EAE≈AE是Abel代數，則稱E是Abel投影。稱代數A是離散的，若對每一個非零中心投影Z，都有非零的Abel投影F滿足F≤Z。稱代數A是連續的若其不包含非零Abel投影。稱A中投影E是連續或離散的，若其壓縮代數AE是連續或者離散的。

定義3[12]A是von Neumann代數，稱

(ⅰ)A是Ⅰ型的，若它是連續的；

(ⅱ)A是Ⅱ型的，若它是連續的且每一個非零中心投影控制一個非零有限投影；

(ⅲ)A是Ⅲ型的，若它不包含非零有限投影；

(ⅳ)A是Ⅰn型的，若它是Ⅰ型且有限的；

(ⅴ)A是Ⅰ∞型的，若它是Ⅰ型且無限的；。

(ⅵ)A是Ⅱ1型的，若它是Ⅱ型且有限的；

(ⅶ)A是Ⅱ∞型的，若它是Ⅱ型且無限的；

例1[12]若dim(H)=∞,B(H)是Ⅰ型，則有B(H)是Ⅰ∞型;若dim(H)=n<∞,則B(H)是Ⅰn型。

本文主要研究Ⅰ型von Neumann代數，事實上，在式(1)中，考慮對于某些不同的n，同構于Ⅰn型von Neumann代數中的直和的von Neumann代數。

由此我們研究的問題轉化為每個End(d)可由有限酉子群生成。

定理3對酉群U(d)，存在有限酉子群H，使得End(d)=[H]。

證明：令H0表示d維的廣義的Pauli算子，H0={XaZb:a,b=0,1,…,d-1}，廣義Pauli算子作用在計算基

X|j〉=|j+1modd〉 andZ|j〉=ωj|j,〉

其中ω=exp(2πi/d)。這個算子也被稱作Heisenberg-Weyl算子。顯然，

ZX=ωXZ

且對任意的a,b∈Zd，有

XaZb=ωabZbXa，ZbXa=ω-abXaZb

從而對任意的a,b,c,d∈Zd，

XaZbXcZd=ωad-cbXcZdXaZb

進而得到

Xa|j〉=|j+amodd〉,Zb|j〉=ωbj|j〉

(Xa)*|j〉=|j-amodd〉,(Zb)*|j〉=ω-bj|j〉

H0是End(d)的一組基，這是因為

〈XaZb，Xa′Zb′〉=dδa′,aδb′,b

事實上,

〈XaZb，Xa′Zb′〉=Tr(Xa′-aZb′-b)=

故End(d)=[H0]。

為了構造群H生成End(d), 令

H={ωcXaZb:a,b,c=0,1,…,d-1}

其中|H|=d3。則H是一個有限酉子群，故有End(d)=[H]。

從上述定理可以看出，有限維Hilbert空間上的每個von Neumann代數都可以由作用在同一Hilbert空間上的有限酉子群生成。

3 結 論

通過構造酉群(作為連續群)的有限子群從而證明End(d)可作為有限群的群代數。也就是說，有限維Hilbert空間上的每一個von Neumann代數同構于它的某個有限群的群代數。事實上，我們還可以考慮問題：是否存在一個酉群的有限子群G并且|G|