電容層析成像系統傳感器場域剖分及參數優化

張晉榮，王莉莉，楊博韜，劉 笑

(哈爾濱理工大學 計算機科學與技術學院，哈爾濱 150080)

0 引 言

電容層析成像(electrical capacitance tomography，ECT)技術是自20世紀80年代借鑒醫學CT技術發展起來的一種成本低廉且安全性能高的新型流動層析成像技術[1]，因其具有結構簡單、響應速度快等諸多優點，被廣泛應用于工業管道中兩相流或多相流的測量過程中。它可以在不破壞封閉管道內多相流混合體結構的前提下，采用均勻安裝在管道周圍的陣列式電容傳感器來獲得被測區域在不同角度或方向上的多個電容測量值，并將這些電容測量值作為投影數據由計算機采用某種圖像重建算法[2]，計算出各分相介質的濃度大小、分布狀況等相關過程參數。

1 電容層析成像系統的組成結構

一個典型的12電極ECT系統一般由傳感器系統，電容數據采集及信號處理系統和圖像重建系統三部分組成(如圖1所示)[3]。電容傳感器是ECT系統的重要組成部分，其結構如圖2所示，主要由絕緣管道、測量電極以及接地屏蔽罩3部分構成。傳感器性能的好壞將直接影響電容值的測量精度以及電極間敏感場分布的均勻性，進而影響著數據采集系統的可靠性和圖像重建的質量，因此合理選擇傳感器結構參數的工藝材料及物理尺寸，從而獲得靈敏度高且可靠性強的電容傳感器，對提高ECT系統的整體性能有著深刻的意義。

圖1 12電極ECT系統結構圖Fig.1 Structure of 12-sensor ECT system

圖2 傳感器結構圖Fig.2 Structure of sensor

2 電容傳感器的數學模型

由電磁場理論可知，電容傳感器內的電磁場可被認為是穩定的靜電場，即場內無自由電荷[5]。因此，傳感器內的電位分布滿足靜電場的拉普拉斯方程，見式(1)。

▽·[ε0ε(x,y)▽φ(x,y)]=0

(1)

式中：ε(x,y)和φ(x,y)分別為介電常數分布函數和電勢分布函數，▽·和▽分別為散度算子和梯度算子。當電極i為源電極(激勵電極)時，其相應的邊界條件可表述為：

(2)

式中：Γi、Γs、Γg分別為電極i(i=1,2,3,…,12)所在位置、屏蔽層位置和徑向電極所在位置。電場強度E(x,y)可表述為：

E(x,y)=-▽φ(x,y)

(3)

當電極i為激勵電極且電極j為檢測電極時，由高斯定理可得電極j上的感應電荷Qi,j為：

(4)

當Qi,j確定后，電極i和電極j之間的電容Ci,j為

(5)

式中Ui,j為電極i和電極j之間的電壓。

ECT系統中的研究問題主要分為正問題求解和反問題求解這兩類研究問題。對正問題的研究通常包括兩部分：一是已知被測區域的介電常數分布ε(x,y)以及相應的邊界條件，通過計算得到該介電常數分布下各電極間的電容值；二是仿真計算電極間相應的敏感場分布，為圖像重建提供先驗數據。而反問題求解過程則是將電容測量值作為投影數據，結合在正問題研究過程中獲得的敏感場分布，進行圖像重建。電容層析成像系統中正問題的求解過程通常采用有限元仿真來實現。

3 電容傳感器的有限元模型及敏感場計算

3.1 傳感器的有限元模型

有限元法是一種被廣泛應用于求解工程問題近似解的高效數值分析法。該方法將待求解區域剖分為一系列僅由節點連接的微小單元，并為每個微元進行分片插值，從而將偏微分方程求解問題離散為普通多元函數的極值問題，最后通過求解代數方程得到偏微分方程的數值解。場域的剖分問題是利用有限元法求解問題的關鍵，剖分結果的優劣將對ECT系統中正問題的求解結果以及重建圖像的準確性產生直接的影響[6]。因此在網格剖分時應特別注意：

1)在需要詳細分析的區域(場變量變化強烈的區域)，其單元剖分的密度應高于其他區域。

2)要盡可能使得剖分結果的對稱性與傳感器的對稱特性相一致，以便于完成電容敏感場的數值計算。

3)盡量使每個剖分單元各邊的長度相等，一般不宜超過3∶1，避免出現尖銳的單元。

根據以上3點要求，本文將三角形剖分與四邊形剖分相結合對傳感器的敏感場進行剖分。剖分結果如圖3所示，由于場域內不同位置的敏感強度不同，因此采用一種不均勻且不等間距的剖分方式進行剖分，離場變量變化強烈的區域越近剖分越細。并針對電極附近場變量變化強烈的區域，即需要重點研究的區域，采用三角形剖分方式，離極板較遠的管道中心以及外部絕緣層等敏感度較低的區域采用四邊形剖分形式。考慮傳感器的對稱性，整個管道截面被分為12個扇區，并在每個扇區的內部都采用相同的剖分方式。同時，在剖分時保證了每個單元各邊的長度盡可能相等。最后，管內區域共有672個節點，被剖分為684個四邊形單元；管壁區域共有384個節點，被剖分為576個三角形單元；外部絕緣層區域共有192個節點，被剖分為288個四邊形單元，整個管道截面共有1 248個節點，1 548個單元。從圖中可以看出，最小的同心圓實際上是被剖分為12個三角形單元，但這在管內所有的684個剖分單元中只是非常少的一部分，所以對管內區域的剖分結果仍舊認為是采用了四邊形剖分方式。

圖3 傳感器場域的剖分結果Fig.3 Sensor field domain segmentation results

3.2 電容傳感器的敏感場計算

采用有限元方法將管道截面剖分成N個單元(包括所有四邊形單元與三角形單元)，M個節點，當電極i為激勵電極時，式(1)可轉換為：

Kφ=T

(6)

其中：K為M×M的系數矩陣；T為M×1的列向量。由于假設場域內無自由電荷，所以T為零向量，因此只需利用有限元法求出系數矩陣K的值，便可以求得場域內各點的電勢分布。

對于檢測極板j上的感應電荷Qi,j，并不能由式(4)直接求得，最常用的方法是采用模擬電荷法，利用有限元分析中獲得的系數矩陣K和電勢分布φ由式(7)計算出Qi,j，并將結果代入式(5)中求得極板間的電容值。

Qi,j=∑(Kφ)n

(7)

式(7)中，(Kφ)n為矩陣K的第n行與場域中節點的電勢φ的標量積，其物理意義表示節點n上的凈電荷量。

由于對稱性使得12電極ECT系統中傳感器的66個相對敏感場只有6種不同的類型[7-8]，即Si,j(i=1，j=2,3,4,5,6,7)，其他的敏感場可通過旋轉的方法得到。定義極板間的靈敏度分布Si,j(k)為：

(8)

式中：Ci,j(k)為當管內第k個單元介電常數為ε1且其余單元介電常數為ε2時的電容值；Ci,j(ε2)和Ci,j(ε1)表示管內分別充滿介電常數為ε2和ε1物質時的電容值；Ak是單元k的面積。

通過有限元法求得電容值，并將其代入式(8)中計算得到傳感器的6個典型敏感場分布，如圖4所示。

圖4 傳感器敏感場分布Fig.4 Sensitive field distribution of sensor

從圖中可看出，相隔0個極板對(相鄰極板對)間的靈敏度分布呈現單峰狀，而相隔1、2、3、4、5的極板對間靈敏度分布都表現為馬鞍狀，這表明測量管道內的敏感場因受多相流介質分布的影響導致其分布并不均勻。在離極板較近的區域，由于場變量變化劇烈使得該區域敏感度較高，相反，對于距離極板較遠的管內中心位置而言，場變量變化平緩傳感器靈敏度較低，這將導致重建圖像精度不高，重建效果并不理想。因此，為了提高重建圖像的精度，獲取均勻的靈敏度分布是非常必要的，而合理調整優化傳感器的結構參數是改善敏感場的“軟場特性”獲得高質量重建圖像的一種有效方法。

4 傳感器性能優化函數的確定

由以上對敏感場特性的分析可知，使場內具有均勻相等的靈敏程度是傳感器優化的主要目標。分別定義靈敏度的均值和標準差為：

(9)

(10)

其中：n為有限元剖分的測試單元數目；Si,j(k)為電極i與電極j之間第k個測試單元的靈敏度值。Savg(i,j)表示n個剖分單元的平均靈敏度，Savg(i,j)的值越大，場域的整體敏感度越高，傳感器的性能就越好。Sdev(i,j)反映單個單元的靈敏度Si,j(k)相對于平均靈敏度Savg(i,j)的離散程度，Sdev(i,j)的值越小越好。

為了評估所有電極對間敏感場分布的均勻程度，定義傳感器結構參數的函數P為

(11)

此外，還應考慮使最大電容Cmax和最小電容Cmin的取值都在測量電路的量程范圍內。定義Kc=Cmax/Cmin，由于最大電容Cmax由相鄰極板間測量流體中全管為介電常數大的相決定[10]，最小電容Cmin由相對極板間介電常數小的相決定。因此，Kc越小，對電容測量電路的量程范圍要求越低。

在分析了影響電容傳感器性能的主要因素的基礎上，定義傳感器的性能優化函數如下：

G(X)=P+Kc

(13)

函數G(X)包含了影響傳感器性能的兩項主要指標，即傳感器結構參數的函數以及最大/最小電容比值。G(X)的值越小，電容傳感器的綜合性能越好。

分析該優化目標函數可知，目標函數G(X)和自變量X之間并不存在明確的函數關系，因此并不能用解析法求解，通常采用正交試驗法尋找最優參數。但由于正交試驗中所有可能的參數組合為事先選定而非自動生成，并且試驗的次數有限，因此存在一定的局限性。針對存在的問題，本文在正交試驗的基礎上，提出一種將RBF神經網絡與改進后的基于混沌理論和模擬退火算法的粒子群優化算法相結合的方法對電容傳感器的結構參數進行優化設計。

5 傳感器結構參數正交試驗設計

12電極ECT系統中電容傳感器的截面結構如圖5所示，其中θ為電極張角，R1為測量管道的內徑，R2為管道中心與電極之間的長度，R3為管道中心與屏蔽罩之間的長度，h1為徑向屏蔽電極的插入長度，ε3為管壁介電常數，ε4為絕緣填充材料介電常數。為了便于比較分析，在各個電極長度相等的條件下，定義基準傳感器的結構參數如下：θ=22°，R1=76.8 mm，R2=86.8 mm，R3=96.8 mm，h1=0 mm，ε3=5.8，ε4=2.2。

圖5 電容傳感器截面圖Fig.5 Sectional view of capacitive sensor

電容傳感器的有關優化參數約束條件如下：

1)在本系統中，電極數N=12，電極的軸向長度l=0.1 m。對于12電極系統而言，θ必須小于30°；

2)極板半徑R2>R1；

3)管道的厚度d1=R2-R1，其介電常數為ε3，采用介電常數ε3=8的陶瓷；

4)屏蔽罩與絕緣層之間的厚度d2=R3-R2，其介電常數為ε4，采用ε4=5.8的可加工玻璃；

徑向屏蔽電極的插入深度h1，h1

由以上分析可知，傳感器的參數優化問題是一個帶有約束條件的最優化問題，優化目標函數可表示為：

G(X)=f(θ,d1,R2,d2,h1)

(14)

自變量X是一個包含了5項結構參數的五維向量，則最優化問題的解轉換為在五維空間中尋找滿足自變量取值范圍且使目標函數取得最小值的點，這樣的點就是最優化問題的解。

選擇θ，d1，R2，d2，h1這5項結構參數作為優化試驗的主要考察對象，采用5水平正交表L25(55)安排試驗。表1為正交試驗的具體試驗方案以及試驗結果。

表1 正交試驗方案及結果Tab.1 Scheme and results of orthogonal experiment

試驗結果的極差分析如表2所示。表2中Ki(i=1,2,3,4,5)的值分別是該列對應參數因子取5個不同水平時相應試驗結果的均值。R為該列K1、K2、K3、K4、K5取值的極差，極差越大表示該因素的水平變化對G(X)的影響程度越大，即該因素對傳感器的性能影響越大。

表2 試驗結果的極差分析Tab.2 Range analysis of test results

由極差R的大小可知，各因素對G(X)的影響從大到小依次為電極張角θ，屏蔽罩與絕緣層之間的厚度d2，徑向屏蔽電極的插入深度h1，極板半徑R2，管道厚度d1。可以根據各因素所對應的5個水平的大小來確定各因素的最佳水平。由于G(X)的取值越小，傳感器的性能越好，通過上述正交試驗得到一組優化參數：θ=24°，d1=16 mm，R2=88 mm，d2=30 mm，h1=4.5 mm。利用有限元法進行仿真計算，得到這組參數對應的G(X)的值為4.212 68，優于已有的25次試驗結果，可以把這組參數作為電容傳感器優化設計的參考依據。

6 RBF神經網絡回歸分析

RBF神經網絡，即徑向基函數神經網絡，是一種包括輸入層、隱藏層和輸出層的三層前向神經網絡，其結構如圖6所示。

圖6 RBF神經網絡結構Fig.6 RBF neural network structure

一般的線性回歸或多項式回歸方法并不能準確地反映傳感器的結構參數與優化目標函數之間復雜的非線性關系，而RBF神經網絡能夠在一定條件下以任意精度逼近任意的非線性函數，反映系統內難以解釋的規律。因此，本文采用RBF神經網絡對正交設計的試驗結果進行回歸分析。

從表1的25組試驗數據中隨機選取20組作為訓練樣本，另外5組數據作為測試樣本。設置誤差參數為0.000 1，并將隱含層中神經元的最大數目設為20。在回歸分析前，需要對表1中正交設計的試驗數據進行歸一化處理，處理方法如下：

d1′=R2-R1/R1，d2′=R3-R2/R1

h1′=h1/R1

采用歸一化后的試驗數據作為RBF神經網絡的輸入，G(X)作為神經網絡的輸出，經過訓練得到回歸模型。并通過將5組測試樣本的預測結果與有限元仿真獲得的結果進行比較來驗證該回歸模型的預測能力。由表3中的實驗結果可知，回歸模型的預測誤差處于0.69%～1.32%之間，表明具有良好的預測能力，能夠很好地應用于粒子群算法中各粒子的適應度值計算中。

表3 預測值與仿真值對比表Tab.3 Comparison table between prediction values and simulated values

7 基于混沌模擬退火粒子群算法的傳感器結構參數優化

粒子群優化(PSO)算法是一種基于群體協作的隨機搜索算法，1995年由Eberhart和Kennedy提出[12]，已被廣泛用于解決多目標優化問題。其迭代形式如下：

(15)

(16)

傳統的粒子群算法雖然結構簡單，容易實現，但是在搜索過程中存在易陷入局部最優的缺點[13]，而改進后的基于混沌理論和模擬退火算法思想的PSO算法，在傳統的PSO算法中引入了模擬退火算法的概率突跳思想，在尋優過程中，使算法在退火溫度的控制下既可以接受好的解，也能以一定的概率接受劣質解[14]，從而有效地避免了粒子過早的陷入局部最優的缺點，提高了算法的全局遍歷性。

引入混沌理論對參數r1、r2隨機自適應賦值，使得在搜索過程中算法中的粒子群體運動更加高效，更加優化。采用Logistic模型對r1、r2進行動態賦值，產生的混沌序列如下：

(17)

本文采用改進后的粒子群算法對傳感器的結構參數進行尋優。定義適應度函數如下：

F(X)=α·P+β·Kc

(18)

其中，α、β為權重系數，可根據優化目標的側重點不同進行調整。傳感器優化問題轉化為在粒子群中尋求使F(X)取得最小值的參數組合，該組參數就是最優化問題的解。

根據傳感器的固有結構以及管道容量、機械強度的要求，設置各個結構參數的取值范圍為：R1∈[22,75]，R2∈[24,85]，R3∈[27,104]，θ∈[14°,30°)，h1∈(0,20)。設最大迭代次數為100，并采用訓練好的RBF神經網絡計算每個粒子的適應度值。

算法具體尋優過程如圖7所示，經過尋優，最終得到一組使F(X)取得最小值的最優結構參數：θ=24°，d1=15.5 mmd，R2=85.5 mm，d2=14.5 mm，h1=4.6 mm，將這組參數作為混沌模擬退火粒子群算法的尋優結果。

圖7 參數尋優過程Fig.7 The process of Parameter optimization

8 圖像重建

為了驗證優化后的傳感器性能，采用經典的LBP算法對基準傳感器、正交設計優化的傳感器以及混沌模擬退火粒子群算法優化的傳感器分別進行圖像重建。該仿真實驗的硬件環境為Intel Core 2.50 GHz CPU(RAM 4.00 GB)，軟件環境為Matlab2017a，實驗結果如圖8所示。

圖8 圖像重建結果比較Fig.8 Comparison of image reconstruction results

為了定量分析重建圖像的質量，本文通過計算重建圖像的相對誤差(IE)和相關系數(CC)來評估重建圖像的成像效果。相對誤差IE和相關系數CC分別定義如下：

(19)

(20)

表4 重建圖像相對誤差Tab.4 Relative error of reconstruction image

表5 重建圖像相關系數Tab.5 Correlation coefficient of reconstruction image

對實驗結果進行對比分析后可知，對于同一預設流型而言，正交試驗設計的傳感器重建圖像的相對誤差較小，相關系數較高，重建圖像的精度高于基準傳感器的精度，而采用RBF神經網絡與改進的粒子群算法優化的傳感器成像效果最佳，優于正交試驗設計的結果，重建圖像的相對誤差最小，重建圖像更加接近原型，能更好的還原管道內的真實情況。

9 結 論

本文采用有限元法建立了敏感場的數學模型，并對傳感器的敏感場分布特性進行了分析。為了改善敏感場的軟場問題，從而獲得相對均勻的靈敏度分布，對傳感器的結構參數進行了調整優化。通過分析影響傳感器性能的各項指標，確定了傳感器優化的目標函數。針對以往采用正交試驗進行優化設計所存在的問題，本文在正交試驗的基礎上，采用RBF神經網絡對正交設計的試驗結果進行了回歸分析，得到的預測模型能夠很好的反映優化參數與目標函數之間的復雜關系，并采用混沌模擬退火粒子群算法尋優獲得了一組優化參數。提出的新方法參數組合具有隨機性且尋優范圍大，采用優化后的傳感器進行圖像重建，重建圖像的精度有明顯的提高，對ECT系統的研究具有重要意義。