基于鏈導(dǎo)法則的梁彎曲變形的精確分析

張曉晴，劉 晗，許銀勝，李志強(qiáng)

(1.華南理工大學(xué) a.土木與交通學(xué)院，b.機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510641； 2.太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，太原 030024)

結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的基本要求是結(jié)構(gòu)安全性[1-2]，安全性主要由結(jié)構(gòu)中的各個(gè)構(gòu)件體現(xiàn)，常見的構(gòu)件為梁和柱。結(jié)構(gòu)安全性主要包括結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的過程中，強(qiáng)度往往有精確的計(jì)算方式，而剛度的計(jì)算方式——撓曲線方程，是在忽略一些高階微量的條件下得到的近似方程。周根華等[3]基于近似撓曲線方程，建立了常用載荷作用下梁的轉(zhuǎn)角方程與撓曲線方程用撓曲線增量表示的解析式。趙紅華等[4]基于分析梁在偏心軸力、剪力作用下?lián)隙惹€得到的撓曲線方程，推導(dǎo)出反映彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)、翹曲和P-δ效應(yīng)的相互影響的剛度矩陣。可見撓曲線方程在基礎(chǔ)力學(xué)研究中的重要地位，推導(dǎo)出更加精確的撓曲線方程具有一定的實(shí)用價(jià)值。

國內(nèi)學(xué)者針對近似撓曲線方程做了一些研究改進(jìn)，張世杰[5]用待定系數(shù)法求梁在集中載荷作用下的撓曲線方程；劉明超等[6]利用拉氏變換求解梁的撓曲線方程；劉海波等[7]在不忽略任何高階微量的基礎(chǔ)上，對撓曲線函數(shù)進(jìn)行了精確推導(dǎo)，增加了剛度計(jì)算的精度，但也存在忽略鏈導(dǎo)法則引入的高階微量的情況。基于此，為了進(jìn)一步對梁彎曲變形進(jìn)行精確分析，本文不采用其他學(xué)者忽略部分微量進(jìn)行近似分析的方式，而考慮鏈導(dǎo)法則引入的高階微量，從幾何特性和微量關(guān)系出發(fā)，降低和消除梁彎曲變形推導(dǎo)過程產(chǎn)生的誤差，得到精確轉(zhuǎn)角函數(shù)，并在精確轉(zhuǎn)角函數(shù)的基礎(chǔ)上，得到精度更高的梁位移函數(shù)。

1 傳統(tǒng)梁撓曲線近似方程

梁剛度主要包括轉(zhuǎn)角和撓度兩部分，國內(nèi)外絕大多數(shù)材料力學(xué)教材中[8-11]對撓曲線近似函數(shù)的描述為：

(1)

式中：M(x)為梁的彎距；E是梁的彈性模量；I是彎曲軸的慣性矩。

將式(1)左右兩邊同時(shí)積分，得轉(zhuǎn)角函數(shù)：

(2)

其中θ(x)為梁的轉(zhuǎn)角。對式(2)左右兩邊同時(shí)積分，得到撓曲線近似函數(shù)：

(3)

通過兩次積分最終得到撓曲線近似函數(shù)，在轉(zhuǎn)角較小時(shí)，通過式(3)計(jì)算得到的誤差較小，但是在轉(zhuǎn)角較大時(shí)，其誤差可達(dá)10%.在實(shí)際工程中使用時(shí)，特別是結(jié)構(gòu)荷載較大時(shí)，式(3)的使用有較大的局限性，所以有必要對轉(zhuǎn)角函數(shù)和梁變形位移函數(shù)進(jìn)行精確推導(dǎo)。

2 基于鏈導(dǎo)法則的精確推導(dǎo)過程

鏈導(dǎo)法則是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的法則，其定義為：

若I，J是直線上的開區(qū)間，函數(shù)f(x)在I上有定義且在a點(diǎn)(a∈I)可微；函數(shù)g(y)在J上有定義(J?f(I))且在f(a)處可微，則復(fù)合函數(shù)(g°f)(x)=g(f(x))在a點(diǎn)可微(由上述條件易得g°f在I上有定義)。

若記μ=g(y)，y=f(x)，又因?yàn)閒在I上可微，g在J上可微，所以易得(g°f)′(x)=g′(f(x))f′(x).

利用鏈導(dǎo)法則，可以對梁彎曲變形做精確推導(dǎo)，即考慮鏈導(dǎo)法則引入的高階微量，進(jìn)一步提高精度，過程如下：

圖1 梁受彎形變示意圖[6]Fig.1 Bending deformation of cantilever beam

如圖1所示，為了簡化推導(dǎo)過程，利用懸臂梁模型進(jìn)行推導(dǎo)，該懸臂梁左端為固定約束端，右端為自由端，在B端僅受一豎直下的力F，梁受力后彎曲至圖中虛線位置。圖中虛線即為撓曲線f(x)，θ(x)即為所求的梁彎曲轉(zhuǎn)角函數(shù)，以向右為x軸，向下為y軸建立坐標(biāo)系。通過幾何關(guān)系可得，θ(x)實(shí)際上也為撓曲線上一點(diǎn)的切線與過該點(diǎn)的水平直線所成的銳角，根據(jù)求導(dǎo)的定義可得：

f′(x)=tan(θ(x)) .

(4)

由于曲率和梁的彎矩存在下列關(guān)系：

(5)

式中：ρ(x)為曲率半徑；M(x)為梁的彎矩；E是梁的彈性模量；I是彎曲軸的慣性矩。需要注意的是，M(x)可能為常函數(shù)，但M(x)始終存在連續(xù)可導(dǎo)的區(qū)域，此處推導(dǎo)忽略了M(x)上的奇點(diǎn)情況。

在數(shù)學(xué)幾何上，存在下式：

(6)

對式(4)左右兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)得：

(7)

利用鏈導(dǎo)法則進(jìn)一步化簡得：

(8)

化簡得：

(9)

將式(4)、式(9)代入式(6)中得：

(10)

因?yàn)?+tan2[θ(x)]=sec2[θ(x)]，所以式(10)可以化簡為：

(11)

聯(lián)立式(5)和式(11)得：

(12)

式(12)等號兩邊同乘dx得：

(13)

式(13)等號兩邊同積分得：

(14)

化簡得：

(15)

所以精確的轉(zhuǎn)角與彎矩函數(shù)間存在下列關(guān)系：

(16)

式(16)中的正負(fù)號僅用以保證等號兩邊的符號相同，對比式(16)與式(2)，不難理解在轉(zhuǎn)角較小時(shí)，sinθ(x)和θ(x)十分接近，此時(shí)使用式(2)進(jìn)行計(jì)算得到的結(jié)果誤差較小，但隨著轉(zhuǎn)角的增大，sinθ(x)和θ(x)的差值增大，此時(shí)使用式(2)計(jì)算所得的結(jié)果就與實(shí)際情況相差較大。式(16)等價(jià)于：

(17)

式(17)即為精確的梁彎曲轉(zhuǎn)角函數(shù)。對于任意非純彎曲的受彎梁，其精確轉(zhuǎn)角都可以用式(17)求得；同時(shí)，若給定材料的幾何尺寸、彈性模量和加載位置和加載方式，可以通過式(17)初步確定荷載的上限，具體如下：

3 基于精確轉(zhuǎn)角函數(shù)的撓度函數(shù)

由于式(17)所求出的彎曲轉(zhuǎn)角的精度較高，在式(17)的基礎(chǔ)上得到的近似撓曲線方程較傳統(tǒng)撓曲線方程的精度也會相應(yīng)提高。即：

(18)

式(18)的計(jì)算十分復(fù)雜，可利用相關(guān)軟件求得數(shù)值解。式(18)的推導(dǎo)中運(yùn)用了近似，若利用式(17)依據(jù)dx，θ，dθ的幾何關(guān)系，可以精確推導(dǎo)出梁的撓曲線方程，但是精確的撓曲線方程形式十分復(fù)雜，相關(guān)內(nèi)容將會在后續(xù)研究中進(jìn)行。

4 有限元分析

利用ANSYS參照圖1建立懸臂梁模型，有限元模型的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 有限元模型相關(guān)參數(shù)Table 1 Relevant parameters of the finite element model

按照表中的邊界約束條件在ANSYS中對懸臂梁模型施加載荷，求解得到梁上6點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和撓度。如圖2為懸臂梁模型的節(jié)點(diǎn)分布，如圖3為懸臂梁各節(jié)點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角結(jié)果，如圖4為懸臂梁各節(jié)點(diǎn)處的撓度結(jié)果。

圖2 懸臂梁節(jié)點(diǎn)分布Fig.2 Cantilever node distribution

圖3 懸臂梁各節(jié)點(diǎn)處轉(zhuǎn)角結(jié)果Fig.3 Rotation angle at each node of the cantilever beam

5 結(jié)果分析

依照式(17)寫出梁的精確轉(zhuǎn)角函數(shù)，利用精確函數(shù)計(jì)算轉(zhuǎn)角和撓度，具體過程如下：

M(x)=-Fx+FL=-1 000x+6 000 .

(19)

所以轉(zhuǎn)角和撓度分別為：

(20)

(21)

(22)

利用式(21)-(22)計(jì)算梁上6點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和撓度值，結(jié)果如表2所示。

表2 精確函數(shù)計(jì)算的各節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度值Table 2 Each node’s angle of rotation and deflection by the precise function

為了更加直觀地觀察本文所述精確轉(zhuǎn)角函數(shù)的精確性，將運(yùn)用本文所述精確轉(zhuǎn)角函數(shù)計(jì)算出的懸臂梁各節(jié)點(diǎn)處轉(zhuǎn)角結(jié)果與有限元軟件分析得出的轉(zhuǎn)角結(jié)果繪制于同一坐標(biāo)圖中，如圖5所示。

圖5 懸臂梁各節(jié)點(diǎn)處轉(zhuǎn)角結(jié)果不同方法對比Fig.5 Comparison of rotation angle results at each node of cantilever beam by different methods

將運(yùn)用本文所述精確轉(zhuǎn)角函數(shù)計(jì)算出的懸臂梁各節(jié)點(diǎn)處撓度結(jié)果、有限元軟件分析得出的撓度結(jié)果和其他學(xué)者所述方法計(jì)算出的撓度結(jié)果繪制于同一坐標(biāo)圖中，如圖6所示(以梁向下彎曲變形的撓度值為正方向)。

圖6 懸臂梁各節(jié)點(diǎn)撓度結(jié)果不同方法對比Fig.6 Comparison of cantilever beam deflection results by different methods

將圖4中運(yùn)用本文方法所得結(jié)果與有限元轉(zhuǎn)角結(jié)果對比可得，精確轉(zhuǎn)角函數(shù)計(jì)算的結(jié)果與有限元結(jié)果十分接近，誤差在1%以內(nèi)，可以說明精確轉(zhuǎn)角函數(shù)的精確性。從圖5可得，基于精確轉(zhuǎn)角函數(shù)推出撓度函數(shù)的計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果相比，誤差在3%以內(nèi)，而采用傳統(tǒng)近似函數(shù)，最大誤差接近10%[7]；且采用本文方法計(jì)算的撓度結(jié)果相較于文獻(xiàn)[7]所述方法計(jì)算得到的結(jié)果更接近于有限元仿真結(jié)果。

通過對比可以說明，利用精確函數(shù)計(jì)算得到的撓度結(jié)果，其誤差降低、精度提高，并且當(dāng)梁上荷載增大時(shí)，傳統(tǒng)近似函數(shù)的誤差普遍增大，此時(shí)精確函數(shù)的結(jié)果仍具有相當(dāng)高的精度，誤差范圍基本在1%～3%之間，可滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)要求。

6 結(jié)論

1) 精確轉(zhuǎn)角函數(shù)與撓度函數(shù)符合實(shí)際且計(jì)算精度較高，可以用于實(shí)際工程，利用相關(guān)軟件可以快速地得到計(jì)算結(jié)果，可用于設(shè)計(jì)輔助軟件的開發(fā)，擁有廣泛的應(yīng)用前景。

2) 通過考慮鏈導(dǎo)法則引入的高階微量，明顯降低轉(zhuǎn)角和位移誤差，并且在梁上荷載增大時(shí)，精確函數(shù)仍具有較高精度，而傳統(tǒng)公式誤差偏大。

3) 精確函數(shù)的推導(dǎo)過程側(cè)面證明了傳統(tǒng)公式的可行性，同時(shí)解釋了在荷載增大導(dǎo)致梁轉(zhuǎn)角增大時(shí)，傳統(tǒng)公式誤差增大的原因。

4) 利用精確轉(zhuǎn)角公式可粗略估計(jì)結(jié)構(gòu)上外加荷載的上限，為加載試驗(yàn)提供參考。