基于可移動變形組件拓撲優化方法的梁柱節點拉壓桿模型研究

喬文正，陳國榮，路國運

(1.河海大學 力學與材料學院，南京 211100；2.呂梁學院 建筑系，山西 呂梁 033000； 3.太原理工大學 土木工程學院，太原 030024)

拉壓桿模型(strut-and-tie models，STM)是一種廣泛使用的鋼筋混凝土結構塑性設計方法，是類桁架模型的一般化。由塑性理論可知，STM的理論依據是極限分析下限定理[1]。不同于傳統的截面設計方法，該方法將受壓區的混凝土抽象為壓桿，將受拉區的鋼筋抽象為拉桿，將整個結構的力學行為抽象為由拉桿、壓桿和結點組成的拉壓桿模型。STM的空間架構特性使得其特別適用于混凝土結構中由幾何或靜力不連續所產生的D(discontinuity)區域的設計，但Schlaich指出STM經過適當調整亦可適用于符合伯努力假定的B(Bernoulli)區域的設計[2]。

混凝土結構中梁柱節點就是一個典型的D區域。由于梁柱節點復雜的應力分布，傳統的彈性應力跡線法或荷載路徑法[3]很難生成合適的拉壓桿模型，且由于設計者工程經驗的差異，可能生成多種形式的STM。隨著拓撲優化方法[4-5]的不斷發展，基于拓撲優化的拉壓桿模型逐漸成為一個熱門的研究方向。最初基結構法[6]被用來產生拉壓桿模型，但是該方法可能產生局部或者奇異最優解。此后基于性能的優化方法(PBO)[7]和固體各向同性懲罰方法(SIMP)[8]等其他連續體拓撲優化方法也相繼被用來產生拉壓桿模型。然而，在上述兩種拓撲優化方法中，拓撲優化結果的邊界不能用表達式顯式地描述，即邊界采用基于單元的黑白像素的方式表示，因此具有隱式的特性。這會造成以下兩方面的問題：一方面，鋸齒狀的模糊邊界難于形成明確的邊界，從而不利于STM的形成；另一方面，隱式的拓撲優化方法中，優化變量數與有限單元數相等。較多的優化變量導致優化效率較低，這一點在三維構件中尤為明顯。

2014年，大連理工大學郭旭提出了基于可移動變形組件(moving morphable components，MMC)的拓撲優化方法[9]。該方法采用拓撲描述函數來顯式表達優化結果的邊界，并通過一組可移動、變形、交叉和重疊的組件來表示結構的拓撲。本質上，MMC拓撲優化方法將結構的拓撲優化轉化為組件的形狀優化和尺寸優化。近年來，該方法與等幾何分析、增材制造技術和比例邊界元相結合，獲得了較大的成功。作為一種顯式的拓撲優化方法，該方法具有邊界相對光滑、設計變量數較少、不存在灰度單元等優點。ZHANG et al[10]提出了一種基于MMC的多種材料的拓撲優化方法，并通過一組二維和三維的算例驗證了該方法的有效性和高效性。SUN et al[11]用一組MMC來模擬復合加筋板的加勁肋，將基于MMC的拓撲優化方法用于加勁肋的布局優化設計。CUI et al[12]采用符合基爾霍夫板理論的板單元，研究了基于MMC 拓撲優化方法的薄板結構設計方法。

綜上所述，基于MMC的拓撲優化方法雖然在多個領域獲得了成功應用，但是在混凝土結構中的應用研究較少。鑒于組件和拉壓桿的相似性，本文將顯式的拓撲優化方法與鋼筋混凝土結構中的拉壓桿模型相結合，以期準確、高效地生成可靠的STM.此外，在實際工程中，結構上的多種荷載往往不是同時作用的，因此多荷載工況的分析尤為重要。在文獻[13-14]的基礎上，本文通過3種不同荷載作用下混凝土結構梁柱節點算例，研究了基于MMC的拓撲優化的拉壓桿模型，考慮了單荷載和多荷載兩種工況，證實了該方法的可行性、有效性和高效性。

1 基于MMC拓撲優化方法

1.1 結構的拓撲描述函數

先給出一個組件的拓撲描述函數為：

(1)

式中：x表示設計域D0中點的位置坐標；χi(x)表示第i個組件的拓撲描述函數，Ωi和?Ωi分別是第i個組件的內部區域和邊界。

為了簡化，本文僅討論平面問題。骨架為直線型且厚度呈二次函數變化的組件如圖1，組件更多的幾何形式參見文獻[14].

圖1 單個組件的幾何描述Fig.1 Geometric description of a single component

從而可得到χi(x)的具體表達式：

(2)

其中

(3)

式中：x和x'分別為設計域內在整體和局部坐標系下點的橫坐標；y為設計域內在整體坐標系下點的縱坐標；x0i和y0i分別為第i個組件在整體坐標系下中心點的橫、縱坐標；Li和θi分別為第i個組件長軸的一半和從x軸正方向逆時針旋轉的傾斜角；參數p取為6.

從而χS(x)可由下式表達：

(4)

其中

χS(x)=max(χ1(x),…,χnc(x)) .

(5)

式中：nc表示所有組件的個數，ΩS是所有組件所占的區域。

1.2 問題列式

按照慣例，將產生最優拉壓桿模型轉換成求解一個體積約束下最小柔度優化問題。

最小化

使得

(6)

2 數值實現

2.1 有限單元法

有限單元分析中，采用四結點四邊形單元求解結構在荷載作用下的位移響應，彈性模量E采用混凝土的彈性模量。混凝土的虛擬楊氏模量Ee為：

(7)

其中正則化函數H(x)為：

(8)

式(6)中的表達式可進一步整理為：

(9)

(10)

(11)

2.2 設計靈敏度

本文采用移動漸近線法[15]作為最優化算法。該算法需要提供靈敏度信息。這里給出目標函數和不等式約束函數的靈敏度，分別為：

(12)

(13)

式中：a表示任意一個設計變量。

3 數值算例

本節給出MMC拓撲優化的混凝土結構梁柱節點在單荷載和多荷載兩種工況下的算例，說明用MMC拓撲優化方法產生拉壓桿模型的可行性和有效性。單荷載工況考慮了兩種不同的受力情況，分別為梁柱節點僅受彎矩作用和受彎矩和剪力共同作用；多荷載工況為梁柱節點受到彎矩、剪力和軸力的共同作用。梁柱節點的幾何尺寸見圖2.在所有工況中，梁柱節點初始的組件布置都是相同的，均采用24個組件，見圖3.本文的工作是在MATLAB優化代碼[13]基礎上進行的。根據拉壓桿模型的通用做法，粗實線代表拉桿，粗虛線代表壓桿。

圖2 梁柱節點幾何尺寸Fig.2 Geometric dimensions of beam-column connections

圖3 梁柱節點初始組件布置Fig.3 Initial layout of components in beam-column connections

為了與其他研究者的工作進行比較，混凝土的楊氏模量取為28 567 MPa，泊松比為0.15.為了研究的簡化，梁和柱的厚度均取為300 mm，體積百分比的上限取為0.4.有限元分析中均采用四結點平面正方形單元，單元的邊長為25 mm.

3.1 梁柱節點僅受彎矩作用

梁柱節點僅受彎矩作用的情況屬于單荷載工況，其所受荷載為M=40 kN·m，FV=0 kN，FN=0 kN.彎矩的施加方式為在距梁上下表面各50 mm處施加一對水平向右和向左的力，大小為100 kN.受彎矩作用的梁柱節點拓撲過程和相應的拉壓桿模型見圖4。經過239次迭代后，達到最優拓撲，最小柔度目標函數值為51.68 J.

在優化過程中，采用了24個組件，設計變量共168個。由圖4可知，優化結果中邊界并非呈現理想的直線，一方面是由于梁柱節點區存在凹角，即所謂的幾何不連續；另一方面由于計算機繪圖的原因，在組件相交處會存在不同程度的彎曲。柔度目標和體積約束函數的收斂過程見圖5.荷載通過受拉和受壓兩條路徑傳遞到固端支座，在節點區有兩個拉桿連接這兩條荷載路徑。

為了進行直觀的比較，采用了SIMP的拓撲優化方法對該算例進行了研究。圖6為SIMP方法的最優拓撲結果。在優化結果中存在灰度單元，而且邊界是鋸齒狀的。表1為一個典型迭代步MMC和SIMP方法的CPU時間比較。在傳統的SIMP方法中，設計變量數與有限單元數量相同，即1 360個。由表1可知，兩種方法中有限元分析和靈敏度分析所用時間相差不大，MMA所用時間則相差較大?？梢奙MC方法使得優化求解效率會得到極大的提升。

圖4 僅受彎矩作用梁柱節點優化過程和拉壓桿模型Fig.4 Optimization process and STM in beam-column connections under bending moment

圖5 目標和約束函數收斂過程曲線Fig.5 Convergence history curves of objective and constraint functions

圖6 SIMP方法最優拓撲結果Fig.6 Optimal topology by SIMP method

表1 一個典型迭代步MMC和SIMP方法CPU時間比較Table 1 A comparison of CPU time for a typical iterative step between MMC and SIMP approaches

3.2 梁柱節點受彎矩和剪力共同作用

考慮到梁端在豎向荷載下可以產生彎矩和剪力，梁柱節點受彎矩和剪力共同作用仍可按單荷載工況考慮，其所受荷載為M=40 kN·m，FV=80 kN，FN=0 kN.剪力施加位置同3.1節中力偶的施加位置，施加方式為豎直向上各40 kN.受彎矩和剪力共同作用的梁柱節點拓撲過程和相應的拉壓桿模型見圖7.經過693次迭代后，達到最優拓撲，最小柔度目標函數值為284.80 J.

圖7 受彎矩和剪力共用作用梁柱節點優化過程和拉壓桿模型Fig.7 Optimization process and STM in beam-column connections under bending moment and shear force

隨著荷載數目的增多，結構中應力分布更加復雜，迭代所需次數也增多。與3.1節不同的是，剪力的存在，使得結構受力機理也發生變化。在拉壓桿模型中表現為增加了一個傾斜的拉桿來抵抗豎向的剪力。

3.3 梁柱節點受彎矩、剪力和軸力共同作用

考慮到梁柱節點在水平荷載作用下會產生軸向力，梁柱節點受彎矩、剪力和軸力共同作用的情況可視為多荷載工況，其所受荷載為M=40 kN·m，FV=80 kN，FN=80 kN.為了簡化，柔度組合系數取1.彎矩和剪力的施加方法同3.2節，軸力的施加位置同3.2節中剪力的施加位置，施加方式為水平向右各40 kN.受彎矩、剪力和軸力共同作用的梁柱節點拓撲過程和相應的拉壓桿模型分別見圖8和圖9.經過396次迭代后，達到最優拓撲，最小柔度目標函數值為366.62 J.

圖8 受彎矩、剪力和軸力共用作用梁柱節點優化過程Fig.8 Optimization process in beam-column connections under bending moment, shear force, and axial force

圖9 受彎矩、剪力和軸力共用作用梁柱節點拉壓桿模型Fig.9 Strut-and-tie models of beam-column connections under bending moment, shear force, and axial force

為了使用的方便，在形成拉壓桿模型過程中對模型的結點位置進行了一定程度的簡化。圖9(b)中數字0表示該桿件所受軸力為0.由于軸力的存在，荷載傳遞路徑有所不同。相比于3.2節的STM，用位于柱上端一個斜向的拉桿來承受由軸力引起的柱中剪切應力。

4 結論

將基于MMC的拓撲優化方法應用到混凝土結構拉壓桿模型中，以梁柱節點的拉壓桿模型為例研究了3種不同荷載情況下的節點拉壓桿模型，考察了這一方法的可行性、有效性和高效性，得到以下結論：

1) 作為一種基于構件的拓撲優化方法，基于MMC的拓撲優化方法從機理上適合于形成可靠的梁柱節點拉壓桿模型。

2) 由于顯式的特性，基于MMC拓撲優化的結果克服了傳統的隱式拓撲優化的缺點，如灰度單元、網格依賴性、鋸齒的邊界等。此外，由于設計變量數的大幅減少，極大地提高了優化求解效率。

3) 基于MMC的拓撲優化方法不僅適用于單荷載工況，也適用于多荷載工況，所產生的梁柱節點拉壓桿模型符合力學原理，合理可靠。