與學(xué)生談三角中的“數(shù)學(xué)美”

權(quán)家鑫

【摘要】三角知識(shí)同其他數(shù)學(xué)知識(shí)一樣，充滿美的情境.在平時(shí)的教學(xué)中，教師如果能常引導(dǎo)學(xué)生欣賞、感悟數(shù)學(xué)之美，那么將對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的提升大有裨益.

【關(guān)鍵詞】統(tǒng)一美;簡(jiǎn)單美;對(duì)稱美

數(shù)學(xué)中是充滿“美”的，平時(shí)同學(xué)們各種“忙”，顧不上睜開發(fā)現(xiàn)美的眼睛.數(shù)學(xué)之美是指從數(shù)學(xué)里得出的美學(xué).數(shù)學(xué)家常從數(shù)學(xué)中得到美的愉悅，形容數(shù)學(xué)是一種藝術(shù)形式，或是一種創(chuàng)造力活動(dòng)，如音樂與詩歌一般.

數(shù)學(xué)美一般包括統(tǒng)一美、簡(jiǎn)單美、對(duì)稱美.三角中這種“數(shù)學(xué)美”俯拾皆是.

一、統(tǒng)一美

1.“全家福”.

例1 化簡(jiǎn)：11+sin 2x+11+cos 2x+11+tan 2x+11+cot2x+11+sec2x+11+csc2x.

解 ∵11+sin 2x+11+csc2x=11+sin 2x+sin 2xsin 2x+1=1+sin 2x1+sin 2x=1，

同理，11+cos 2x+11+sec2x=1，11+tan 2x+11+cot2x=1，

∴11+sin 2x+11+cos 2x+11+tan 2x+11+cot2x+11+sec2x+11+csc2x=3.

例2 化簡(jiǎn)：11-sin 2x+11-cos 2x+11-tan 2x+11-cot2x+11-sec2x+11-csc2x.

解法同例1.

這兩題的特點(diǎn)是六個(gè)三角函數(shù)名在題目中同時(shí)出現(xiàn)，呈現(xiàn)了形式上的統(tǒng)一美.

例3 化簡(jiǎn)：11-11-11-sin 2α.

解 11-11-11-sin 2α（題中首先含有正弦sin α）

=11-11-1cos 2α（出現(xiàn)余弦cos α）

=11-11-sec2α（出現(xiàn)正割sec α）

=11-1-tan 2α=11+1tan 2α（出現(xiàn)正切tan α）

=11+cot2α（出現(xiàn)余切cot α）

=1csc2α（出現(xiàn)余割csc α）

=sin 2α.（回到正弦sin α）

這題的特點(diǎn)是六個(gè)三角函數(shù)名依次出現(xiàn)，最后回歸最先的那個(gè)三角函數(shù)名，有興趣的同學(xué)如果把最先的三角函數(shù)名換成別的三角函數(shù)名，還會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)哦！

以上例題讓六個(gè)三角函數(shù)名都出現(xiàn)了，相當(dāng)于拍下了一張“全家福”！

2.“超綱”的三倍角公式.

①sin 3α=3sin α-4sin 3α=4sin αsin（60°-α）sin（60°+α）.

②cos 3α=4cos 3α-3cos α=4cos αcos（60°-α）cos（60°+α）.

公式中，sin 3α，3sin α，sin 3α都有“3”，又都不一樣，和諧一體，擋不住的濃濃的“和諧美”啊！公式的最右邊從角的形式上的對(duì)應(yīng)，到三角函數(shù)名的統(tǒng)一，更是展開了一幅美不勝收的畫卷！

①的證明：

sin 3α=sin（α+2α）=sin αcos 2α+cos αsin 2α

=sin α（1-2sin 2α）+2sin αcos 2α=sin α-2sin 3α+2sin α（1-sin 2α）

=3sin α-4sin 3α=4sin α34-sin 2α=4sin α（sin 260°-sin 2α）

=4sin αsin（60°-α）sin（60°+α）.

（最后一步用的是公式：sin（α-β）sin（α+β）=sin 2α-sin 2β）

②的證明：

cos 3α=cos（α+2α）=cos αcos 2α-sin αsin 2α

=cos α（2cos 2α-1）-2sin 2αcos α=2cos 3α-cos α-2cos α（1-cos 2α）

=4cos 3α-3cos α=4cos αcos 2α-34

=4cos α[1-sin 2α-（1-sin 230°）]=4cos α（sin 230°-sin 2α）

=4cos αsin（30°+α）sin（30°-α）=4cos αcos（60°-α）cos（60°+α）.

三倍角公式可用來降次，如sin 3α=3sin α-sin 3α4，cos 3α=3cos α+cos 3α4.

我們又想起了一道熟悉的題目.

例4 求cos 20°cos 40°cos 80°的值.

解 cos 20°cos 40°cos 80°

=14×4cos 20°cos（60°-20°）cos（60°+20°）

=14cos（3×20°）=14×12=18.

若題目變了個(gè)“面孔”：“求sin 10°sin 50°sin 70°的值”，方法同上.

二、簡(jiǎn)單美

正弦定理、余弦定理是我們解三角形問題的重要法寶，只要從已知條件或結(jié)論中發(fā)現(xiàn)些許符合公式結(jié)構(gòu)特征或與公式的局部相仿，我們切不可錯(cuò)過嘗試構(gòu)造三角形的機(jī)會(huì)，這是一個(gè)化陌生為熟悉、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單美的大好時(shí)機(jī)！

例5 已知α，β都是銳角，且sin（α+β）=2sin α.求證：α<β.

分析 本題可以用反證法、放縮法來證明，這里我們用構(gòu)造法來解決.

證明 設(shè)γ=π-α-β，∵0<α<π2，0<β<π2，∴γ∈（0，π），則α，β，γ可以看作一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角.設(shè)α，β，γ的對(duì)邊分別是a，b，c，由正弦定理得：

csin γ=asin αcsin（α+β）=asin α，∵sin（α+β）=2sin α，∴c=2a.

而a+b>c=2a，∴a

我們因?yàn)榭吹奖绢}已知條件中的兩個(gè)正弦的關(guān)系，所以及時(shí)想到了三角形中的正弦定理，細(xì)細(xì)品味，妙在其中.長(zhǎng)此以往，你也能想出你的妙招——構(gòu)造法不是空穴來風(fēng)，它來自我們對(duì)于知識(shí)的熟稔！

例6 （1）在銳角三角形ABC中，已知sin 2A>sin 2B>sin 2C，求證：A

（2）在△ABC中，求證：cos 2A2+cos 2B2-cos 2C2=2cos A2cos B2sin C2.

（3）在△ABC中，若sin A=3cos Bcos C，求證：A>π3.

證明 （1）構(gòu)造△A1B1C1，使A1=π-2A，B1=π-2B，C1=π-2C，它們的對(duì)邊分別是a1，b1，c1.

∵sin 2A>sin 2B>sin 2C，∴sin（π-2A）>sin（π-2B）>sin（π-2C），即sin A1>sin B1>sin C1，∴A1>B1>C1，

∴π-2A>π-2B>π-2C，∴A

（2）構(gòu)造△A1B1C1，使A1=π2-A2，B1=π2-B2，C1=π2-C2，它們的對(duì)邊分別是a1，b1，c1.由余弦定理，得：a21+b21-c21=2a1b1cos C1，

易得sin 2A1+sin 2B1-sin 2C1=2sin A1sin B1cos C1，即

sin 2π2-A2+sin 2π2-B2-sin 2π2-C2=2sinπ2-A2sin π2-B2cos π2-C2，

∴cos 2A2+cos 2B2-cos 2C2=2cos A2cos B2sin C2.

（3）∵在△ABC中，sin A=3cos Bcos C>0，∴B，C都是銳角.

構(gòu)造△A1B1C1，使A1=π-A，B1=π2-B，C1=π2-C，它們的對(duì)邊分別是a1，b1，c1.

∵3cos Bcos C=sin A≥sin 2A（當(dāng)且僅當(dāng)A=π2時(shí)取“=”），

∴3sinπ2-Bsinπ2-C≥sin 2（π-A）3sin B1sin C1≥sin 2A1.

在△A1B1C1中，由余弦定理，得：cos A1=b21+c21-a212b1c1≥2b1c1-a212b1c1≥2b1c1-3b1c12b1c1=-12.由于當(dāng)且僅當(dāng)A=π2，B=C，即A1=π2，B1=C1=π4時(shí)取“=”，而cos π2=0>-12，因此上式不可能取“=”.

∴A1<2π3，∴π-A<2π3，∴A>π3.

三、對(duì)稱美

三角與其他知識(shí)一樣，我們常有“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的感受.我們既要多觀察、多積累，又要善思考、善聯(lián)系、善比較;既要能睹新思舊、熟練轉(zhuǎn)化，又要能縱覽全局、品味神韻.技熟者速，神悟者達(dá).對(duì)稱是一種美，更是一種思想.我們要善于發(fā)現(xiàn)對(duì)稱并利用之，這樣常有意外驚喜.

例7 已知a，b，c∈R+，求證：

a2+b2+ab+b2+c2+bc+c2+a2+ca≥3（a+b+c）.

學(xué)過三角，當(dāng)同學(xué)們看到a2+b2+ab時(shí)應(yīng)該想到三角形.若三角形兩邊長(zhǎng)分別為a，b，它們的夾角為2π3，則a2+b2+ab恰為第三邊長(zhǎng).但是本題中的a，b，c未必是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，所以a2+b2+ab不一定是c.綜合觀察題目的左邊，不難想到：從同一個(gè)點(diǎn)O引出三條線段OA=a，OB=b，OC=c，它們兩兩夾角為2π3，再連接AB，BC，CA.

這樣，要證明的問題轉(zhuǎn)化為“求證AB+BC+CA≥3（a+b+c）”.

在△AOB中，設(shè)∠OAB=α0<α<π3，則∠OBA=π3-α，由正弦定理得

a2+b2+ab=32asin α=32bsinπ3-α，

由等比性質(zhì)，得：a2+b2+ab=32（a+b）sin α+sinπ3-α=32（a+b）sinα+π3，

易知32

∴a2+b2+ab≥32（a+b），①

同理，b2+c2+bc≥32（b+c），c2+a2+ca≥32（c+a），

將這兩個(gè)式子與①相加即可得證.

何時(shí)等號(hào)成立？我們可以追溯到①式，等號(hào)成立的充要條件是α=π6，從而有a=b，所以當(dāng)題中等號(hào)成立時(shí)，應(yīng)該有a=b=c，此時(shí)，O是等邊三角形ABC的中心！

看似這種方法延續(xù)了前面說過的“構(gòu)造法”，其實(shí)本題證明過程中的一個(gè)重要的結(jié)論①式原本是一個(gè)很簡(jiǎn)單的問題——用基本不等式極易證明：

a2+b2+ab≥32（a+b）a2+b2+ab≥34（a+b）2（a-b）2≥0.

所以本題的關(guān)鍵是把原結(jié)論拆分成三個(gè)不等式：

a2+b2+ab≥32（a+b），b2+c2+bc≥32（b+c），c2+a2+ca≥32（c+a），再相加就立即得證.靠什么能發(fā)現(xiàn)這種拆分呢？對(duì)稱思想！

我國(guó)數(shù)學(xué)大師陳省身在封筆之作《對(duì)稱》一書中說到，“對(duì)稱是一個(gè)廣闊的主題，在藝術(shù)和自然兩方面都意義重大.數(shù)學(xué)就是它的根本，并且很難找到可以論證數(shù)學(xué)智慧作用的更好的主題.”

上例中，使用對(duì)稱性將右邊分成三個(gè)式子之和，不需要用到三角知識(shí)，直接用基本不等式就能夠快速得證了.知識(shí)的積累能讓我們自如地放飛思想，而思想是解決問題的導(dǎo)航.我們及時(shí)發(fā)現(xiàn)并利用對(duì)稱思想能快速發(fā)現(xiàn)解題途徑甚至直接預(yù)測(cè)結(jié)果.

例8 若三角形三邊a，b，c的對(duì)角分別為A，B，C，且滿足acos A+bcos B=ccos C，那么這個(gè)三角形一定是（? ）

A.正三角形B.以a為斜邊的直角三角形

C.以b為斜邊的直角三角形

D.以上結(jié)論都不正確

分析 我們由a，b在已知式子中的對(duì)稱性知B，C同真假，可見B，C均不正確.再由a，b，c之間的不對(duì)稱性排除A，故應(yīng)選D.

體會(huì)到了什么？思想的光芒！

例9 如圖，在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，∠ABC+∠ADC=180°，

AB=3，BC=AD=2，問∠B多大時(shí)，△ABC與△ADC

的面積之差最大？最大值是多少？

思路 利用對(duì)稱性，作出點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，由已知可以得到A，B，C，D′四點(diǎn)共圓.

解 作出點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D′.

易知∠AD′C+∠ABC=180°，∴D′，A，B，C四點(diǎn)共圓.

又∵AD′=AD=BC=2，∴D′C與AB成為圓中的平行弦，從而四邊形ABCD′是圓內(nèi)接等腰梯形.設(shè)CD=x，則CD′=x，∴cos B=AB-D′C2BC=3-x4，∴3-x=4cos B，

∴S=S△ABC-S△ADC=12×2×3×sin B-12·x·2·sin∠ADC=（3-x）sin B=2sin 2B≤2.

故當(dāng)∠B=45°時(shí)，△ABC與△ADC的面積之差最大，最大值是2.

本例中，因?yàn)椤螦BC與∠ADC互補(bǔ)，所以可用一個(gè)變量來表示，問題的關(guān)鍵在于CD的長(zhǎng)不易表示出來，而利用對(duì)稱性后，此問題迎刃而解！

例10 已知sin α+sin β+sin γ=0，cos α+cos β+cos γ=0.

求證：cos（α-β）cos（β-γ）cos（γ-α）=-18.

分析 注意到α，β，γ的對(duì)稱性，cos（α-β），cos（β-γ），cos（γ-α）也對(duì)稱，而-18=-123，因此只要先證明cos（α-β）=-12，這就利用對(duì)稱思想發(fā)現(xiàn)了思路.

證明 由sin α+sin β=-sin γ，cos α+cos β=-cos γ，

得2+2cos（α-β）=1cos（α-β）=-12，

同理可得：cos（β-γ）=-12，cos（γ-α）=-12，

三式相乘即得證.

與此類似的題還有很多.

求證：（1）cos 2α+cos（2α+120°）+cos（2α+240°）=0;

（2）cos 2A+cos 2（60°-A）+cos2（60°+A）=32;

（3）sin α+sin（α+72°）+sin（α+144°）+sin（α+216°）+sin（α+288°）=0;

……

波蘭數(shù)學(xué)奇才保羅·埃爾德什說過，“我知道數(shù)學(xué)是美麗的，若它不美麗，則世界上就沒有什么事物是美麗的了.”數(shù)學(xué)之美最強(qiáng)烈的體驗(yàn)是進(jìn)行積極的數(shù)學(xué)研究，以純粹被動(dòng)的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是很難體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的樂趣的，所以，想體會(huì)數(shù)學(xué)之美，必須先學(xué)會(huì)當(dāng)耕耘者.